史仍輝,趙曉群,李立志

(同濟大學 電子與信息工程學院, 上海201804)

在準同步CDMA (quasi-synchronous code division multiple access ,QS-CDMA)系統(tǒng)中,系統(tǒng)的同步可以適當放寬, 允許其同步誤差控制在1 個碼片或幾個碼片的范圍內.這樣就要求作為區(qū)分用戶的地址碼在同步誤差范圍內(1 個或幾個碼片周期)具有理想的相關特性.范平志等學者提出了零相關區(qū)(zero correlation zone,ZCZ)序列集[1-2]的概念, 并將其應用在QS-CDMA 系統(tǒng)中.在QS-CDMA 系統(tǒng)中, 采用ZCZ 序列集作為其擴頻序列集, 可以降低或消除系統(tǒng)中如共信道干擾等一些干擾.唐小虎等將零相關區(qū)概念推廣到低相關區(qū)(low correlation zone, LCZ)[3],LCZ 序列集的相關函數(shù)在零時延附近的一定區(qū)域內取極小值而不是等于零,利用LCZ 序列集可以實現(xiàn)低共信道干擾.顯然,LCZ序列集的范圍更廣, ZCZ 序列集是LCZ 序列集的特例.

零、低相關區(qū)序列都可作為QS-CDMA 系統(tǒng)的地址碼.但是這些序列的設計仍然在一定程度上受到相關性、理論界的限制.趙曉群等提出了序列偶(陣列偶)相關的概念[4],相應的研究成果有最佳二進陣列偶[4]、差集偶[5]、準最佳二進陣列偶[6]、最佳屏蔽二進陣列偶[7]、ZCZ 陣列偶[8]等,這進一步擴大了地址碼的可選范圍.

本文在序列偶的基礎上,將偽隨機屏蔽序列偶應用到LCZ 序列偶集的構造中,通過使用交織技術[9],構造了一類LCZ 屏蔽序列偶集,對構造方法進行了理論證明并舉例說明.由于LCZ 序列偶集的存在范圍更加廣闊,可為實際的工程應用提供更多的選擇.

1 基本定義和引理

定義1 設序列x=(x0 ,x1,…,xL-1)和y=(y0,y1,…,yL-1)分別是周期為L的2 個序列, 則序列x和y構成1 個序列偶, 記為(x,y), 若其中xi∈{+1 ,-1},y i∈{+1 ,-1},i=0,1,2,…,L-1,則稱序列偶(x,y)為二進(二元)序列偶, 序列偶(x,y)的周期自相關函數(shù)R(x,y)(τ)定義為[4]

式中,τ為序列的時延,(i+τ)=(i+τ)modL,當τ=0 時,R(x,y)(0)稱為自相關函數(shù)的主峰,當τ≠0 時,R(x,y)(τ)稱為自相關函數(shù)的副峰.

定義2L長序列x=(x0,x1,…,x L-1)的p-屏蔽序列y=(y0,y1,…,y L-1)定義為

其中,p為序列x的屏蔽位數(shù),若x i∈{+1 ,-1},則p-屏蔽序列y稱為p-屏蔽二進序列,序列偶(x,y)稱為屏蔽二進序列偶[10].

定義3 若L長屏蔽二進序列偶(x,y)的周期自相關函數(shù)滿足

則稱序列偶(x,y)為偽隨機屏蔽序列偶[10];若屏蔽二進序列偶(x,y)的周期自相關函數(shù)滿足

則稱序列偶(x,y)為廣義偽隨機屏蔽二進序列偶[11].

定義4L長p個屏蔽位屏蔽二進序列偶的能量效率η定義為[11]

定義5 任意2 個L長序列偶(x,y)與(u,v)的周期互相關函數(shù)定義為[8]

式中,j=0 ,1,2,…,M-1 ,k=0,1,2,…,M-1,δ為一個較小的值, 則稱該序列偶集合為一個低相關區(qū)序列偶集, 簡稱為LCZ(N,M,LCZ,δ)序列偶集;當M=1 時,稱為LCZ(N,1 ,LCZ,δ)序列偶.當C中序列偶為屏蔽序列偶時,稱為LCZ 屏蔽序列偶集.

定義7 交織序列[9,13]:設一長為L N的序列u=(u0 ,u1,…,uLN-1),可由一個L ×N 矩陣表示

若uL×N中的每一列等于一個L長序列x的移位序列,則稱u為一個(L,N)交織序列.若用uj表示上面矩陣的第j列,則有u j=L ej(x), 0 ≤j＜N,其中,L ej(x)表示序列x的左循環(huán)e j移位,e=(e0 ,e1 ,…,e N-1)稱為移位序列, 0 ≤e j＜L,u=I(L e0(x),L e1(x), …,L eN-1(x))表示交織序列.

定義8 給定L長序列x和y,x=(x0,x1,…,x L-1)和y=(y0,y1,…,yL-1),N長移位序列e=(e0 ,e1,…,eN-1), f =(f0 ,f1,…,f N-1),通過交織方法可以生成2 個(L,N)交織序列a 和b ,它們的矩陣表示形式分別為

引理1[9,13]對于由上述定義8 生成的交織序列a 和b ,令τ=Nτ1+τ2,0 ≤τ2＜N,則序列a 和b的互相關函數(shù)滿足下式:

2 基于偽隨機屏蔽序列偶的LCZ 屏蔽序列偶集的交織構造

給定周期為L的偽隨機屏蔽序列偶(x,y),N長移位序列e,以及N×N階正交矩陣HN,x=(x0,x1,…,x L-1),y=(y0,y1,…,y L-1),e=(e0,e1,…,e N-1),通過交織方法可以生成LN長序列偶(a ,b).通過利用HN中的的第i 行hi分別與a 和b 相乘,可以得到序列偶集D=(D0,D1,…,D N-1), 其中,Di=(X i,Y i)=(h ia ,h ib),h ia 表示如下:

h ib 表示與h ia 類似, 則D為一個LCZ 屏蔽序列偶集,顯然, 集合D內各屏蔽序列偶的能量效率與偽隨機屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.當選取不同的移位序列時, 可以得到不同低相關區(qū)長度的LCZ 屏蔽序列偶集,移位序列的選擇可以由定理1～3 得到.

設(x,y)為周期為L的偽隨機屏蔽序列偶, 其周期自相關函數(shù)滿足式(3),e=(e0,e1,…,e N-1)為N長移位序列,運用交織方法生成LN長序列偶(a ,b).

定理1 若gcd (N,L)=1,且et=N-1·t(modL),則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

證明 若gcd(N,L)=1 ,且e t=N-1t(modL),則由式(8)可得

(1)當0 ＜τ=Nτ1 +τ2 ＜L時,Nτ1 +τ2 ≠0(modL),又因gcd(N,L)=1,所以τ1+N-1τ2≠0(modL),R(a,b)(τ)=N(-1)=-N.

(2)當τ=Nτ1+τ2=L時, τ1+N-1τ2=0(modL),R(a,b)(τ)=NR(x,y)(0)=NE.

由以上結果和定義6 可知,序列偶(a,b)的低相關區(qū)長度LCZ=L-1,δ=N,(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

定理2 若N|L,且et=(L/N)t(modL), 則(a ,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

證明 若N|L,且e t=(L/N)t(modL), 則由式(8)可得

(1)當0 ＜τ=Nτ1+τ2≤L-2 時, 0 ≤τ1＜(L/N)-1 ,或τ1=(L/N)-1 ,0 ≤τ2＜N-1 ,所以(L/N)τ2+τ1≤L-2 ,且當τ1=(L/N)-2,τ2=N-1時等號成立, 即當0 ＜τ=Nτ1 +τ2 ≤L-2 時,R(a,b)(τ)=-N.

由以上結果和定義6 可知,序列偶(a,b)的低相關區(qū)長度LCZ =L-2,δ=N,(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

定理3 若L|N,且et=t(modL),則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

證明 若L|N,且e t=t(modL),則由式(8)可得

由以上結果和定義6 可知,序列偶(a,b)的低相關區(qū)長度LCZ=L-2,δ=N,(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

同理可證, 當-L＜τ＜0 時, 上述定理也成立.當將此LCZ 屏蔽序列偶與N階正交矩陣各行相乘后就可以得到序列偶數(shù)為N的LCZ 屏蔽序列偶集,且該LCZ 屏蔽序列偶集中各屏蔽序列偶的能量效率與用來產生交織序列偶的偽隨機屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.

若(x,y)為周期為L的廣義偽隨機屏蔽二進序列偶,其周期自相關函數(shù)滿足式(4),e=(e0 ,e1,…,e N-1)為N長移位序列, 運用交織方法生成LN長序列偶(a ,b),則有推論1～3 成立.

推論1 若gcd (N,L)=1,且et=N-1·t(modL),則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

推論2 若N|L,且et=(L/N)t(modL), 則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

推論3 若L|N,且et=t(modL), 則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

推論1～3 的證明與定理1～3 的證明過程類似,在此省略.

定理4 設(x,y)為周期為L的偽隨機屏蔽序列偶(或為廣義偽隨機屏蔽二進序列偶),e=(e0,e1,…,eN-1)為N長移位序列,H N為N×N階正交矩陣,運用交織方法生成L N長交織序列偶(a,b),將H N的的第i行分別乘以a 和b,可以得到一個擴展的序列偶集合D,其中:

(1)若gcd(N,L)=1,且e t=N-1t(modL),則D為LCZ(LN,N,L-1 ,N)屏蔽序列偶集.

(2)若N|L,且e t=(L/N)t(modL),則D為LCZ(LN,N,L-2 ,N)屏蔽序列偶集.

(3)若L|N,且e t=t(modL), 則D為LCZ(LN,N,L-2 ,N)屏蔽序列偶集.

證明 對于D中的任意2 個序列偶D i=(X i,Y i)和D j=(X j,Y j)的互相關函數(shù)為

當τ=0 時, 如 果i≠j,由于h i,h j正交, 則R(Di,Dj)(0)=0 .

當|τ|＞0 時,由定理1～3 及推論1～3 可知,在序列偶(a ,b)的低相關區(qū)內, 集合D內序列偶的自相關函數(shù)和互相關函數(shù)滿足低相關區(qū)序列偶集的定義.該LCZ 屏蔽序列偶集中的各屏蔽序列偶的能量效率與屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.

以上為采用行交織方法得到的LCZ 屏蔽序列偶集, 此方法還可以推廣為列交織或者行列均交織的方法,通過選擇適當?shù)囊莆恍蛄泻蛡坞S機屏蔽序列偶可以生成體積更大的LCZ 屏蔽序列偶集.

3 構造實例

例1 8 長偽隨機屏蔽序列偶(x,y),x=(1,1 ,-1 ,1 ,-1 ,-1 ,-1 ,-1),y=(1,1 ,-1,1,0,0 ,-1 ,0), 其周期自相關函數(shù)主峰值為5,副峰值為-1 ,能量效率為62 .5 %.H4為一個4 ×4 階正交矩陣,移位序列為e=(0 ,2,4,6), 根據(jù)定理2 和定理4 ,可得LCZ 屏蔽序列偶集D={Di}={(X i,Y i)},其中,“ +” 表示1 ,“-” 表示-1 ,i=0 ,1 ,2 ,3 .

計算集合D內各序列偶的自相關函數(shù)和互相關函數(shù),限于篇幅下面只列出D0的自相關函數(shù)值及D0與D1,D0與D2,D0與D3的互相關函數(shù)值,可以驗證D為LCZ(32 ,4,6,4)屏蔽序列偶集, 能量效率為62 .50 %.

例2 12 長廣義偽隨機屏蔽二進序列偶(x , y),x =(1 ,1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , 1 , -1 , 1 , -1), y =(1 ,1 , -1 , -1 ,0 , -1 , -1 , 0 ,1 , -1 , 0 , -1),R(x,y)(τ)=(9 , -1 , 1 ,1 , 1 , -1 , -1 ,1 , 1 , -1 , 1 ,1),τ=0 , 1 ,2 , …,11 ,其周期自相關函數(shù)滿足式(4), 能量效率為75 %.H4為一個4 ×4 階正交矩陣, 移位序列為e =(0 ,3 , 6 , 9), 根據(jù)推論2 和定理4 , 可得LCZ(48 , 4 ,10 ,4)屏蔽序列偶集,能量效率為75 .00 %.

例3 :16 長廣義偽隨機屏蔽二進序列偶(x , y),x =(1 ,1 , -1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 ,1 , -1 ,1 , -1), y =(0 , 1 , -1 , -1 , 1 , 1 , 0 , -1 , -1 ,-1 , -1 , 0 ,1 , -1 , 1 , -1), R (x , y)(τ)=(13 ,1 , -1 ,-1 , 1 ,1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1), τ=0 ,1 , 2 , …,15 ,其周期自相關函數(shù)滿足式(4), 能量效率為81 .25 %.使用一個8 ×8 階正交矩陣H8和8 長移位序列e =(0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14), 可得LCZ(128 ,8 ,14 ,8)屏蔽序列偶集, 能量效率為81 .25 %.

4 結語

給出了基于偽隨機屏蔽序列偶的低相關區(qū)屏蔽序列偶集的構造方法, 基于偽隨機屏蔽序列偶和正交矩陣,通過選擇不同的移位序列, 經過交織變換可以生成具有一定長度、序列偶數(shù)目和低相關區(qū)長度的LCZ 屏蔽序列偶集.該方法可同樣基于廣義偽隨機屏蔽二進序列構造LCZ 屏蔽序列偶集.生成的LCZ 屏蔽序列偶集的能量效率與用來產生交織序列偶的屏蔽序列偶能量效率相等.由于LCZ 序列偶集存在的范圍更加廣闊, 可為實際的工程應用提供更多的選擇.

[1] Fan P Z, Suehiro N,Kuroyanagi N,et al.C lass of binary sequences with zero correlation zone [J] .IE E Electronic Letters, 1999, 35(10):777.

[2] Fan P Z, H ao L,Generalized o rthogonal sequences and their applications to synchronous C DMA systems [J] .IEIC E Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, 2000, E83-A(11):2054.

[3] Tang X H,Fan P Z .Aclass of pseudonoise sequences over GF(P) with low co rrelation zone[J] .IEEE Transactions on Information T heory,2001, 47(4):1644.

[4] 趙曉群, 何文才, 王仲文, 等.最佳二進陣列偶理論研究[J] .電子學報, 1999, 27(1):34.ZH AO Xiaoqun, H E Wencai, WANG Zhongwen, et al.The theory of the perfect binary array pairs[J] .AC TA Electronica Sinica,1999, 27(1):34.

[5] 許成謙.差集偶與最佳二進陣列偶的組合研究方法[J] .電子學報, 2001, 29(1):87.XU Chengqian.Differences set pairs and approach for the study of perfect binary array pairs[J] .Acta Electronica Sinica ,2001, 29(1):87.

[6] 蔣挺, 趙曉群, 李琦, 等.準最佳二進陣列偶[J] .電子學報,2003, 31(5):751.JIANG Ting ,ZH AO Xiaoqun, LI Qi,et al.T he quasi-perfect binary array pairs [J] .Acta Electronica Sinica,2003, 31(5):751.

[7] 蔣挺, 侯藍田, 趙曉群.最佳屏蔽二進陣列偶理論研究[J] .電子學報, 2004, 32(2):282.JIANG Ting,H OU Lantian, ZH AO Xiaoqun.The theory of perfect punctured binary array pairs[J] .Acta Electronica Sinica,2004, 32(2):282.

[8] 高軍萍, 李琦, 戴居豐, 等.ZCZ 陣列偶及其構造方法研究[J] .通信學報, 2008, 29(9):62.GAO Junping,LI Qi, DAI Jufeng,et al.Research of ZCZ array pair and its construction methods [J] . Journal on Communications, 2008, 29(9):62.

[9] GONG Guang .New designs for signal sets with low cross correlation, balance property,and large linear span:GF(p)case[J] .IEEE Transactions on Information T heory,2002, 48(11):2847.

[10] 李兆斌, 蔣挺, 鄒衛(wèi)霞, 等.一種新的擴頻序列偶的研究[J] .電子與信息學報, 2009, 31(4):889.LI Zhaobin, JIANG Ting,ZOU Weixia,et al.Research on a new spread spectrum sequence pairs[J] .Journal of Electronics& Information Technology,2009, 31(4):889.

[11] 李琦, 高軍萍, 趙曉群.廣義偽隨機屏蔽二進序列偶理論研究[J] .河北工業(yè)大學學報, 2009, 38(4):61.LI Qi, GAO Junping,ZHAO Xiaoqun.Research on generalized pseudorandom punctured binary sequence pairs[J] .Journal of H ebei University of Technology,2009, 38(4):61.

[12] ZHO U Zhengchun, TANG Xiaohu, GONG Guang .A new class of sequences with zero or low correlation zone based on interleaving technique[J] .IEEE Transactions on Information Theory ,2008, 54(9):4267.

[13] 王龍業(yè), 唐小虎.零相關區(qū)序列的交織構造[J] .西南交通大學學報, 2006, 41(3):319.WANG Longye,TANG Xiaohu.Construction of sequences with zero co rrelation zone based on interleaved technique[J] .Journal of Southw est Jiaotong University,2006, 41(3):319.