陳富堅，郭忠印，柳本民，陳富強

（1.同濟大學 交通運輸工程學院，上海201804；2.桂林電子科技大學 建筑與交通工程學院，桂林541004）

城市道路平面交叉口交通管制方式主要分全無控制、主路優(yōu)先控制、信號燈控制和環(huán)形設置等幾種方式，其中信號燈控制是城市道路交叉口最普遍的交通管理形式.信號燈設置得當，可以改善交叉口的交通秩序，提高交叉口的通行效率和交通安全狀況；信號燈設置不當，非但浪費了設備及安裝費用，且對交通還會造成不良的后果［1］.因此，制定科學合理的交通信號燈設置標準有重要的現(xiàn)實意義.目前，美國的《統(tǒng)一交通控制設施手冊》［2］及我國的《道路交通信號燈設置與安裝規(guī)范》（GB14886—2006）［3］規(guī)定的設置交通信號燈條件的主要理論分析依據(jù)是交通量與延誤，此外，還有學者提出采用交通沖突分析法來確定機動車信號燈設置標準［4］.鑒于設置交通控制信號的理論分析方法目前尚未統(tǒng)一，因此，對其設置標準作進一步的理論研究還是有必要的.

道路交叉口各方?jīng)_突的實質(zhì)是爭奪有限的時空資源，一方得到意味著另一方失去，因此，他們之間的關系本質(zhì)上是存在利益相互依存性的博弈關系.目前，博弈論在交通領域［5-8］已有應用，但在道路交叉口信號燈設置標準方面，尚未見文獻報道.本文以博弈論為基礎，建立道路交叉口斗雞博弈模型，并采用混合策略納什均衡分析方法和有限理性進化穩(wěn)定策略分析方法來分析模型的解，以此導出交叉口信號燈的設置標準，并通過示例和參數(shù)變化分析來說明結果的合理性.

1 交叉口博弈的建模及其解的分析

交叉口沖突交通流之間的博弈可分為兩部分：沖突機動車流之間的博弈以及沖突機動車流與人流或非機動車流（為簡化，后面提及行人的內(nèi)容都包括非機動車）之間的博弈.根據(jù)博弈論［5］，機動車間的博弈可看作雙人對稱斗雞博弈，行人與機動車間的博弈可認為是雙人非對稱斗雞博弈.因此，交叉口博弈可分解為雙人對稱斗雞博弈和雙人非對稱斗雞博弈兩部分，下面分別予以分析.

1.1 機動車之間的雙人對稱斗雞博弈

1.1.1 模型的建立

假設：一方采取冒進策略而另一方采取禮讓策略時雙方的得益分別為b和-b（以一個城市車輛的平均時間價值計算，b為正數(shù)）；當雙方都采取冒進策略時會引起兩敗俱傷，此時雙方的得益都是-a（以一個城市的平均交通沖突損失計算，a為正數(shù)且遠大于b）；當雙方都采取禮讓策略時雙方的得益均為-b.顯然，機動車間的博弈是完全信息靜態(tài)博弈［5］，見表1.表中的下劃線是采用劃線法分析博弈均衡解的標志.下同.

表1 雙人對稱博弈模型Tab.1 Symmetrical chicken game model

采用劃線法分析得益矩陣可知，該博弈是一個多重納什均衡博弈，存在兩個純策略納什均衡，分別為：機動車1冒進和機動車2禮讓，及機動車1禮讓和機動車2冒進.從表1還可看出，對于這兩個納什均衡，雙方的偏好完全不一致，利益是沖突的.在非合作博弈框架內(nèi)，這兩個納什均衡是不穩(wěn)定的，不能作為斗雞博弈模型的解，需要尋找另外的具有穩(wěn)定性的解，即均衡策略.根據(jù)納什定理［9］，此模型應當還存在一個混合策略納什均衡，即博弈雙方以一定的概率分布隨機選擇冒進與禮讓兩種策略進行博弈，這個混合策略納什均衡才是斗雞博弈模型的穩(wěn)定解.因此，現(xiàn)在的關鍵問題是求出這個混合策略納什均衡解，即計算出各博弈方分別選擇冒進和禮讓兩種策略的最佳概率分布.下面對此進行分析.

1.1.2 雙人對稱斗雞博弈的混合策略均衡解

根據(jù)理性經(jīng)濟人假定和混合策略均衡的策略選擇原則［9］，博弈方1的最佳策略是逼對方選擇禮讓而自己得以通過，即自己選擇冒進策略的概率最好讓對方選擇冒進策略的期望得益與選擇禮讓策略的期望得益相等，從而使對方不得不禮讓；由于博弈方2與1的地位是對稱的，當雙方都采取這種策略時，博弈便達到混合策略納什均衡局勢.設博弈方1采用冒進策略的概率為Pj，則采取禮讓策略的概率為1-Pj.由于地位對稱性，則博弈方2采用冒進策略和禮讓策略的概率也分別為Pj和1-Pj.

博弈方2各種策略的得益函數(shù)為：

冒進策略的期望得益：

禮讓策略的期望得益：

根據(jù)上述均衡原則，博弈方1的最佳策略為所選擇的Pj滿足：

解該方程，得博弈方1的最佳策略為：P＊j=2b／（a+b），1-P＊j=（a-b）／（a+b）；根據(jù)對稱性可知，這也是博弈方2的最佳策略.畫出博弈方1采取冒進策略的得益函數(shù)圖像，則所求解得到的最佳策略即是得益函數(shù)與x軸的交點，如圖1所示（圖中a′，b′是根據(jù)相關參數(shù)變化后的a，b）；對博弈方2同樣如此.因此，當博弈方1和2分別采取P＊j=2b／（a+b）和1-P＊j=（a-b）／（a+b）作為冒進和禮讓策略的概率時，博弈達到混合策略納什均衡的穩(wěn)定狀態(tài)，在此狀態(tài)下，任何一方單獨改變策略都將不能改善自己的期望得益.此狀態(tài)下雙方發(fā)生沖突的概率：

根據(jù)納什（Nash）的混合策略群體行為解釋［9］，相互沖突機動車流的司機對混合策略（冒進和禮讓兩種策略的概率）的選擇，可以理解為一個地區(qū)或城市的交通事故發(fā)生頻率和該地區(qū)中謹慎和冒進兩種類型駕駛員的比例，混合策略均衡就是上述頻率和比例之間的平衡關系.

圖1 博弈方1的混合策略Fig.1 Mixed strategies of No.1player

下面對混合策略納什均衡局勢下交叉口博弈的系統(tǒng)整體效益ue進行分析：

式中，ue1和ue2分別為博弈方1和2的期望得益.

可以看出，混合策略納什均衡局勢下交叉口博弈的整體效益與雙方都采取禮讓策略時的系統(tǒng)總得益相等，都是-2b，差于兩個純策略納什均衡局勢下博弈系統(tǒng)的總得益（都是0）.因此，引入系統(tǒng)外的相關均衡機制（信號燈）是很有必要的，以便以輪換的方式輪流實現(xiàn)兩個純策略納什均衡來提高交叉口博弈系統(tǒng)的整體社會效益，問題的關鍵是確定引入信號燈均衡機制的臨界點.

根據(jù)上述群體行為解釋，可以將混合策略均衡狀態(tài)下的交通沖突率4b2／（a+b）2理解為一個城市或地區(qū)道路交叉口的平均交通安全狀態(tài).當某個道路交叉口的交通沖突率高于該城市的平均交通沖突率4b2／（a+b）2時，意味著該交叉口的交通沖突現(xiàn)象比較嚴重，博弈效率差，需要引入交通信號燈來實現(xiàn)更有效率的均衡.因此，4b2／（a+b）2可作為交叉口信號燈設置標準來參考.

1.1.3 交叉口斗雞博弈的進化博弈分析

根據(jù)復制動態(tài)分析方法，設x為一個城市的所有機動車司機中采用冒進策略的博弈方（冒進型司機）的比例，則1-x為采用禮讓策略的博弈方（保守型司機）的比例，那么，采用兩種策略博弈方的期望得益uje和群體平均期望uebj得益分別為：

根據(jù)上述得益函數(shù)可得復制動態(tài)方程如下：

根據(jù)進化穩(wěn)定策略的定義和微分穩(wěn)定原理［9-10］可知，符合要求的進化穩(wěn)定策略是滿足以下方程組的解：

滿足F（x）=0 的解有三個：x＊1=0（全是保守型），x＊2=1（全是冒進型）和x＊3=2b／（a+b）（兩種類型各占一定的比例）.計算可知x＊3=2b／（a+b）是真正的進化穩(wěn)定策略.

上述進化博弈分析結果的現(xiàn)實意義是，在交叉口的長期進化博弈中，冒進型博弈方的數(shù)量比例最終會穩(wěn)定在總數(shù)量的2b／（a+b）左右水平，這意味著：①一方禮讓另一方通過交叉口的概率是（4ab-4b2）／（a+b）2；②發(fā)生交通沖突的概率會穩(wěn)定在4b2／（a+b）2左右的水平；③雙方由于無法判斷對方的策略而都采取禮讓的保守策略時的概率為（a-b）2／（a+b）2，其實，出現(xiàn)這種情況意味著司機是較謹慎的，其結果是絕大部分會轉(zhuǎn)化為①，即一方禮讓另一方通過.總之，②③兩種狀態(tài)都會導致交叉口通行能力某種程度的損失.隨著交叉口流量的增加，發(fā)生②③兩種狀態(tài)的總數(shù)量也逐步增大，所導致的交叉口通行能力損失和生命財產(chǎn)損失也逐步增大.當某交叉口斗雞博弈所導致的社會損失增大到該市的平均交通損失水平4b2／（a+b）2時，可認為該交叉口開始進入被過度利用的低效率狀態(tài)，此時應當在交叉口設置交通信號燈來提高通行效率和經(jīng)濟效益.因此，1.1.2得到的標準從進化博弈的角度看是合理的.

1.2 機動車與行人間的雙人非對稱斗雞博弈

1.2.1 模型的建立

當考慮斗雞博弈模型得益矩陣中雙方的損失不相等時，博弈就變?yōu)榉菍ΨQ條件下的雙人斗雞博弈，此時可理解為機動車與行人博弈.博弈模型如表2所示，表中每一個得益數(shù)組的第1個數(shù)字為機動車司機的得益，第2個數(shù)字為行人的得益.得益矩陣中行人采取禮讓策略的負得益以期望禮讓時間乘以所在城市居民的平均時間價值進行計算.

綜合兩口井資料，氣水內(nèi)邊界線的作圖深度平均為-5 140m，氣水外邊界線的作圖深度平均為-5 175m。

表2 非對稱條件的斗雞博弈模型Tab.2 Asymmetrical chicken game model

同理分析可知該博弈存在兩個純策略納什均衡和一個混合策略納什均衡，且只有混合策略納什均衡才是合理解.

1.2.2 雙人非對稱斗雞博弈的混合策略納什均衡解

圖2 斗雞博弈中行人的混合策略Fig.2 Mixed strategies of pedestrian in chicken game

圖3 斗雞博弈中機動車司機的混合策略Fig.3 Mixed strategies of drivers in chicken game

同理可求得雙人非對稱條件下發(fā)生交通沖突的概率為

1.2.3 非對稱條件下的兩人斗雞博弈的進化分析

同樣采用大群體成員隨機配對復制動態(tài)進化機制進行長期博弈的進化穩(wěn)定策略分析.設強勢方群體中冒進型的比例為x，則強勢方群體中謹慎型的比例為1-x；設弱勢方群體中冒進型的比例為y，則弱勢方謹慎型的比例為1-y.分別求出強勢方群體和弱勢方群體的復制動態(tài)方程如下：

根據(jù)復制動態(tài)方程（4）和（5），可分析強勢方和弱勢方兩個群體互動關系下的聯(lián)合進化穩(wěn)定策略，見圖4.根據(jù)圖4箭頭所示的進化收斂方向可看出，在非對稱斗雞博弈的長期進化博弈中，當初始情況落在A 區(qū)時會收斂到進化穩(wěn)定策略x＊=0、y＊=1，即強勢博弈方都采取保守策略而弱勢博弈方都采取冒進策略；當初始情況落在D 區(qū)時會收斂到進化穩(wěn)定策略x＊=1、y＊=0，即強勢博弈方都采取冒進策略而弱勢博弈方都采取保守策略；當初始情況落在B和C 兩個區(qū)域時，會收斂到x＊=2b2／（a2+b2）、y＊=2b1／（a1+b1），這是混合策略均衡狀態(tài)，是不穩(wěn)定性的，有可能向A 或D 區(qū)轉(zhuǎn)化.

圖4 非對稱斗雞博弈群體復制動態(tài)和穩(wěn)定性Fig.4 Replicator dynamics of asymmetrical chicken game

由于一般有b1遠小于a1，b2遠小于a2，且a1小于a2（現(xiàn)實意義為交通事故對機動車司機意味著經(jīng)濟損失而對行人意味著生命損失或重傷），則圖4中A 和D 兩個區(qū)域的面積實際上是非常小的，且A 遠小于D，B區(qū)域占了整體封閉區(qū)域面積的絕大部分.這表明非對稱斗雞博弈的長期趨勢收斂于D.但對于非長期博弈的沖突概率，式（3）作近似計算是合理的，因此，可作為行人信號燈的設置標準.

2 轉(zhuǎn)換為交通沖突數(shù)的信號燈設置標準

綜合上述對稱和非對稱斗雞博弈分析，可以式（1）和式（3）分別作為交叉口機動車和行人專用信號燈設置標準.當一個交叉口的相應交通沖突率分別達到式（1）和式（3）規(guī)定值的水平時，應考慮設置相應的信號燈.為方便實際操作，此處對式（1）和式（3）在四路交叉口和三路交叉口中具體化，轉(zhuǎn)換為以交通沖突數(shù)為單位的計算標準.對于圖5的四路交叉口，其有12股機動車流，具有斗雞博弈特征的有8股，共16個博弈點.對于圖6的三路交叉口，具有斗雞博弈特征的機動車流有3股，共3個博弈點.圖5和圖6的四路交叉口和三路交叉口中，行人過街有可能遇到6股機動車流，由于左轉(zhuǎn)與直行車流往往能合并，可簡化為4股車流，實際博弈點可認為有4個，則行人與機動車間的斗雞博弈數(shù)為過街行人數(shù)的4倍.設交叉口每年的機動車和行人流量分別為Qsj，Qr，并假定交通流在各流向均勻分布，則求得相應的交通沖突數(shù)為：

圖5 十字路交叉口博弈位置圖Fig.5 Game spots at crossroad intersection

圖6 三路交叉口博弈位置圖Fig.6 Game spots at T-shape intersection

對于十字交叉口：

式（6）～（7）中，Njj，Njr分別為交叉口機動車間沖突數(shù)和機動車與行人間沖突數(shù).

對于三路交叉口：

如果能調(diào)查得到式（6）～（9）中交通沖突損失平均值，并選定合適的年交通量作臨界值，代入式（6）～（9）可得交叉口博弈導致的年交通沖突總數(shù).鑒于現(xiàn)實中有大量的輕微交通沖突沒有進入交警部門的事故統(tǒng)計檔案或沒有上報［12］，因此，應根據(jù)實際調(diào)查得到的交通事故數(shù)和交通沖突數(shù)的比例進一步將式（6）～（9）的計算結果換算為交通事故數(shù)，作為操作性更強的信號燈設置標準.

3 應用示例

據(jù)統(tǒng)計，2007年上海市一般處理程序以上交通事故損失費平均為4 900元·次-1，城市車輛的平均時間價值為127元·h-1，上海市居民的人均時間價值為18元·h-1.假定沒有進入交警部門事故統(tǒng)計檔案的輕微交通沖突的數(shù)量是進入交通事故處理檔案的交通事故數(shù)量的10倍，則每起交通沖突中各方平均損失為223元；假定無信號交叉口對稱博弈中一方禮讓另一方通過的期望時間為3s，則機動車時間價值b為0.20元，非對稱博弈中機動車禮讓行人的期望時間為5s，行人禮讓機動車的期望時間為3s，則機動車時間價值b1和行人的時間價值b2分別為0.31元和0.02元.將各值代入式（1）和（3），即得可作為上海市道路交叉口信號燈設置標準值的年交通沖突率（次沖突·10-6·車輛數(shù)-1）：

我國現(xiàn)行國標［3］的4.11條安裝信號燈的依據(jù)為：雙向機動車車道數(shù)達到或多于3條，雙向機動車高峰小時流量超過750pcu 以及12h 流量超過8 000pcu的路段上，當通過人行橫道的行人高峰小時流量超過500人次時，應設置人行橫道信號燈及相應的機動車道信號燈.現(xiàn)計算該流量條件下四路交叉口的期望交通事故數(shù).假定在上述條件下交叉口24h的機動車流量和行人流量分別為10 000輛·d-1、6 000人·d-1，求解可得交叉口一年內(nèi)發(fā)生一般處理程序以上的機動車間的期望交通事故數(shù)為1.4起，機動車和行人間的期望交通事故數(shù)為4.4起，兩者合計約6起.因此，4.11條信號燈安裝依據(jù)在上海本地化后可轉(zhuǎn)換為：當交叉口一年內(nèi)發(fā)生一般處理程序以上的交通事故總數(shù)達到6起及以上程度時，可考慮設置信號燈.顯然，轉(zhuǎn)換后的規(guī)定與該規(guī)范的4.9.1條很接近.因此，博弈論可以將兩者在本質(zhì)上統(tǒng)一起來.

4 斗雞博弈模型參數(shù)變化的影響分析

4.1 b，b1，b2 變化的影響分析

從圖1～圖3可看出，當各博弈方的得益b，b1，b2增大（虛線所示）而相應的損失水平不變時，任一博弈方想迫使對方讓路必須加大采取冒進策略的概率，這必然引發(fā)交叉口交通沖突概率的增加，所導致的交通事故損失和交叉口通行能力損失也跟著加大.其現(xiàn)實意義是：當交叉口的交通流量增大且交通流結隊通過交叉口的情況較普遍時，搶先獲得通過的一方將獲得較大的時間價值得益，而禮讓的一方被迫等待更長的排隊時間.作為經(jīng)濟理性人的各博弈方自然更不愿意禮讓，而傾向于采取更冒進的 “搶行”策略，從而導致交叉口的交通事故率增加，直到局面達到新的納什均衡狀態(tài)，式（2）表明，此時博弈系統(tǒng)的整體效率更差.因此，對于交通管理部門，選擇合適的納什均衡點，即交通沖突率作為設置信號燈的標準，一方面避免交叉口交通安全狀況的惡化和通行效率的降低，另一方面避免過早設置信號燈所帶來的問題.

4.2 a，a1，a2 變化的影響分析

從圖1～圖3 可以看出，加大某博弈方的損失a，a1，a2（點劃線所示）而相應的得益水平b，b1，b2不變時，另一博弈方可以更小的冒進策略概率就能達到讓對方讓路的目的，禮讓行為出現(xiàn)的概率更大.下面結合無過錯免責原則與交通事故處理法規(guī)進一步闡述圖1～圖3的現(xiàn)實意義.

對于機動車間的對稱斗雞博弈，雙方都是強者，地位對稱，發(fā)生交通事故時雙方都受損，因此，對事故責任的處理應秉承公平原則，實行過錯方負全責而無過錯方免責，過錯方還應對無過錯受損方進行賠償，這實質(zhì)是加重對違規(guī)行為的處罰，圖1 表明，可促進交通禮讓行為，降低事故率.

對于機動車與行人間的非對稱斗雞博弈，行人與機動車間發(fā)生沖突時，行人非死即重傷，而機動車方一般完好無損，故對這類交通事故，如果也實行無過錯免責原則，相當于加大行人的損失而減少機動車方的損失，機動車方會更強悍更冒進，迫使行人讓路所需要的冒進策略的概率更小（圖3），而行人方如要迫使機動車方讓行則必須加大采取冒進策略的概率（圖2）.因此，無過錯免責原則的實際效果是行人總體上更容易讓行而機動車方則更強悍，總體上交通沖突率會明顯降低；但是，由于機動車方更強悍，往往缺乏必要的謹慎，特別是無過錯情況下的行為克制，在人口密集的城市必然會導致惡性交通事故率的增加.典型的例子是我國北方某城市實施無過錯免責的《行人與機動車道路交通事故處理辦法》（俗稱 “撞了白撞”法規(guī)），實施此規(guī)則的城市幾年間盡管交通秩序明顯好轉(zhuǎn)，但惡性交通事故率不降反增［13］.因此，如果要求無過錯機動車方對非故意撞車的行人的傷害負一定責任，其效果如同圖2所示的加大機動車方的損失，則必然會使得機動車方更為克制和警惕，對降低惡性交通事故率、體現(xiàn) “人本” 精神有促進作用.

5 結論

（1）道路交叉口博弈的實質(zhì)是相互沖突的交通流爭奪有限的時空資源，一方得到意味著另一方失去，基于博弈論的交叉口信號燈設置標準綜合考慮了交叉口交通量、博弈效率和社會損失等多方面因素，從本質(zhì)上將以交通量或交通事故數(shù)為依據(jù)的信號燈設置標準統(tǒng)一起來，可作交叉口信號燈定量設置標準參考.

（2）傳統(tǒng)上計算無信號交叉口通行能力的“空檔”理論模型，因沒考慮交叉口博弈中存在的交通沖突和相互禮讓（通常表現(xiàn)為減速觀望）兩種狀態(tài)下的通行能力損失而偏大，特別是概率很大的相互禮讓狀態(tài)下的通行能力損失.從博弈論角度看，需要對所得的通行能力計算結果進行適當?shù)恼蹨p.

（3）在交叉口博弈中，無過錯免責原則對于機動車間的對稱博弈所導致的交通事故的處理是公平的，能有效抑制交通沖突率并促進交通文明；然而，對于機動車與行人間的非對稱博弈交通事故，無過錯免責原則盡管總體上能降低交通沖突率、提高通行效率，但卻使得作為強者的機動車方更冒進強悍，缺乏必要的警惕和行為克制，從而導致行人死傷的非對稱博弈惡性交通事故率不降反增.

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