梁發(fā)云，于 峰，黃茂松

（1.同濟大學(xué) 地下建筑與工程系，上海200092；2.同濟大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海200092）

基坑或隧道開挖等引起的土體側(cè)移將會對鄰近樁基產(chǎn)生作用，在此情況下，鄰近樁基上既有軸向荷載與這種土體側(cè)移形成耦合作用，使樁上產(chǎn)生附加的變形和內(nèi)力，從而對既有軸向受荷樁的安全構(gòu)成潛在威脅.既有軸向受荷樁在附加土體側(cè)移作用下所引起的工程事故問題時有發(fā)生，姚國圣等［1］對此類問題進行了簡要評述.

目前巖土工程界對于土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用的分析還較少.在實際工程中，按軸向受荷樁進行設(shè)計的樁基，由于種種原因，在使用期間受到了土體側(cè)移作用，附加的土體側(cè)移在設(shè)計階段一般沒有加以考慮，軸向荷載會與土體側(cè)移產(chǎn)生耦合作用，即P-Δ效應(yīng)，可能導(dǎo)致樁基產(chǎn)生較大的側(cè)向附加荷載和彎曲變形，甚至發(fā)生折斷破壞.因此，土體側(cè)移對既有軸向受荷樁承載性狀的影響不容忽視.如何對土體側(cè)移作用下既有軸向受荷樁的承載性狀進行分析，已成為巖土工程近期亟待研究的一個重要問題.國外學(xué)者如Chen等［2］，Guo和Ghee［3］采用室內(nèi)模型試驗對此類問題進行了一些探索.在理論研究方面，對于土體位移作用下被動樁問題常用分析方法主要有整體分析法和兩階段法［4］，其中由Poulos等［5］提出的兩階段法較為簡便.Yokoyama Yukimitsu［6］曾指出：同時承受軸力和水平力作用的樁，嚴(yán)格地來說，應(yīng)力的疊加原理是不適用的，需要采用耦合方法進行分析.文獻［7］在研究軸向和橫向荷載作用的樁基時考慮了兩者的相互影響，對于研究土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用具有參考價值.

需要注意的是，Poulos［8］通過數(shù)值分析指出，土體位移作用不能簡單地等效為荷載的作用.由于土體位移作用的復(fù)雜性，對于軸向荷載與水平位移耦合作用的被動樁分析，目前鮮有文獻報道.

本文基于Winkler地基模型和兩階段法，結(jié)合彈性樁的撓曲微分方程，提出了一種土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用下單樁性狀的簡化算法，與已有文獻的對比驗證了本文方法的可行性，并通過參數(shù)分析研究土體側(cè)移對既有軸向受荷單樁性狀的影響.

1 土體側(cè)移下既有軸向受荷單樁簡化算法

1.1 基于Winkler地基模型的兩階段法

兩階段法是Poulos等［5］針對受土體位移作用的被動樁問題而提出的.本文在該方法的基礎(chǔ)上進一步引入了樁身軸力的作用，將該方法推廣至受土體側(cè)移作用的軸向受荷單樁性狀分析.

兩階段法將被動樁的分析分為兩個階段，第一階段得到?jīng)]有樁時的自由土體位移，第二階段將自由土體位移作為已知條件，施加于單樁，計算單樁的反應(yīng).樁土相互作用的計算模型采用如下假定：①基于Winkler地基模型將樁視作彈性地基梁；②土體為連續(xù)變形體；③樁與土之間的相互作用采用彈簧模擬，樁土緊密接觸且變形協(xié)調(diào).

假設(shè)土體位移引起的自由土體位移為hs（z），在樁基的作用下，土體的自由位移受到約束，設(shè)樁身的最終側(cè)向位移為U（z），基于樁土變形協(xié)調(diào)假定，該位移即為土體的最終側(cè)向位移.土體的約束位移也就是 樁土的相對位移為Δ=hs（z）-U（z），由Winkler地基模型，約束位移產(chǎn)生的樁側(cè)土壓力為

式中，kz為樁周土的基床反力模量，kN·m-2，可定義為樁身某處單位長度上樁周土的抗力與樁土相對位移的比值.

本文采用Vesic［9］所提出的基床反力模量kz確定方法，該方法將基床反力模量與土體的彈性參數(shù)和土的泊松比聯(lián)系起來的，表示如下：

式中：Es為土體的彈性模量，kPa；ν為土的泊松比；EI為樁的抗彎剛度，kN·m2；d為樁的直徑，m.

1.2 土體側(cè)移下既有軸向受荷單樁的撓曲微分方程

將樁視作彈性地基梁，建立土體側(cè)移作用下既有軸向受荷單樁的撓曲微分方程如式（3），方程中的第2項是為了考慮軸力影響而引入的軸力影響項.

式中，Nz為樁在z深度處承受的軸力，kN.

結(jié)合式（1），可以得到土體水平位移對單樁影響的水平位移控制微分方程：

受到微分方程求解的限制，只有均質(zhì)土體的情況（即kz沿深度不變）可直接求解得到解析解.而天然土體大多為分層地基，此時可采用有限差分法進行求解.將樁離散為n個長度為δ的單元后，式（4）可轉(zhuǎn)化為對第i節(jié)點（i=0，1，2，…，n）的差分方程.

求解差分方程時由于樁頂和樁底處存在U-2，U-1以及Un+1，Un+2等虛擬節(jié)點的樁身側(cè)向位移，故需要利用式（5）的位移與彎矩、轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，并結(jié)合式（6）的樁頂和樁底邊界條件來消除這些待定項之后方可進行求解.

（1）對于頂端自由的樁，樁頂施加有剪力H，彎矩M，得到兩個邊界條件：

式中，Ui表示i節(jié)點處的樁身側(cè)向位移，其中U-2，U-1表示樁頂處兩個虛擬節(jié)點的位移.

（2）若頂端固定，樁頂無位移和轉(zhuǎn)角，則得：

（3）若頂端約束位移不約束轉(zhuǎn)動，則得：

同理，樁底節(jié)點根據(jù)其邊界條件也可得到上述類似方程.消去待定項后求解矩陣方程，可求得樁身各個節(jié)點的位移.將節(jié)點位移回代到式（6），即可求得各節(jié)點的彎矩.

2 算例驗證

2.1 與離心試驗結(jié)果對比（樁頂無軸力作用）

Leung等［10］通過離心模型試驗研究了基坑開挖引起的土體側(cè)移對樁的影響，樁頂無軸力作用.本算例采用文獻［10］的試驗參數(shù)，其中基坑開挖深度為4.5m，樁到基坑的距離為3m；樁長為12.5m，樁的直徑為0.63m，EI=2.2×105kN·m2；土體彈性模量按照深度z變化規(guī)律為Es=6z（MPa）；自由土體位移按文獻［10］的試驗實測結(jié)果取值，如圖1中虛線所示；樁頂約束條件為樁頂水平位移為零，但不約束轉(zhuǎn)角.

利用本文方法計算所得的水平位移和彎矩與實測數(shù)據(jù)對比如圖1和圖2所示，本文計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)基本吻合，驗證了本文方法在樁頂無軸力作用時的適用性.

圖1 與文獻［10］算例的位移對比Fig.1 Comparison of displacements with Reference［10］

圖2 與文獻［10］算例的彎矩對比Fig.2 Comparison of bending moments with Reference［10］

2.2 與LPile軟件結(jié)果對比（樁頂有軸力作用）

目前關(guān)于樁受水平位移與軸力耦合作用的算例鮮見文獻報道，為驗證本文算法的合理性，與LPile軟件計算結(jié)果進行了比較.該軟件采用p-y曲線法（即水平荷載作用下某深度處的土反力p與該點樁的撓度y之間的關(guān)系曲線）來描述水平受荷樁樁周土體的非線性變形特性.LPILE 是由美國德州奧斯汀大學(xué)Reese教授主持開發(fā)的商業(yè)軟件，已成為美國工程界應(yīng)用最為廣泛的水平樁分析程序之一，筆者在文獻［11］中對該軟件進行了詳細(xì)介紹.

軸向受荷樁長徑比為L／d=25，截面面積為A，土體彈性模量Es與土的粘聚力cu之比Es／cu=143，fc為樁身材料的抗壓強度設(shè)計值，為便于分析，可取為樁身材料彈性模量的1／1 000；樁頭自由；ν=0.49.參照Poulos［12］的分析算例，假定樁受到如圖3所示的土體初始位移場作用.

圖3 土體側(cè)移分布模式Fig.3 Displacement mode of lateral soil movement

通過量綱分析，可將樁頂承受的軸向荷載、樁身位移和彎矩等參數(shù)分別表示為樁頂壓應(yīng)力的量綱一值，在本算例中取KN為30%；樁身位移的量綱一值；樁身彎矩的量綱一值

將本文方法計算得到的單樁位移和彎矩與LPile軟件計算結(jié)果進行對比，如圖4 和圖5 所示.本文算法與LPile軟件計算結(jié)果基本吻合，驗證了本文算法在考慮軸向荷載與土體側(cè)移耦合作用時的可行性.本文方法與LPile軟件的計算結(jié)果稍有差異，其原因主要是兩種方法對于基床反力模量確定方法的不同而造成的.

圖4 與LPile軟件的位移對比Fig.4 Comparison of displacements with LPile software

圖5 與LPile軟件的彎矩對比Fig.5 Comparison of bending moments with LPile software

3 參數(shù)影響分析

土體側(cè)移作用將使樁身產(chǎn)生較大的彎矩和撓曲變形，軸向荷載也將由于樁身撓曲變形的出現(xiàn)而產(chǎn)生附加彎矩（即所謂的 “P-Δ”效應(yīng)），而該附加彎矩又將影響到樁身撓曲變形的增加.土體側(cè)移一定的情況下，P-Δ效應(yīng)的影響因素主要有三個方面：①樁身的材料性質(zhì)；②土體彈性模量；③樁頂?shù)倪吔鐥l件.本節(jié)針對這些參數(shù)的影響進行分析.

3.1 樁身材料對單樁及其P－Δ 效應(yīng)的影響

不同材料的樁由于彈性模量以及設(shè)計強度的不同，在軸向荷載和側(cè)向土體位移作用下表現(xiàn)的性質(zhì)也有所不同.本節(jié)中基坑開挖深度為4.5m，樁到基坑距離為3m；樁長為30 m，樁外徑0.63 m，內(nèi)徑0.43m；土體彈性模量Es=6z（MPa）；樁頂自由；土體位移與第2.1 節(jié)中Leung 等［10］的試驗結(jié)果一致.

圖6，圖7分別給出了C30和C80 混凝土的樁在無軸向荷載作用以及軸向荷載達到各自80%樁身強度時的位移和彎矩，圖中fC30和fC80分別為C30和C80混凝土的抗壓設(shè)計值，其他類同.

圖6 不同樁身強度的位移對比Fig.6 Comparison of displacements with different pile’s strength

圖7 不同樁身強度的彎矩對比Fig.7 Comparison of bending moments with different pile’s strength

對于沿樁長的水平位移，如圖6所示，基坑開挖深度4.5m，水平位移的影響范圍主要限于地表以下15m 之內(nèi)，而樁長15～30m 位移很小甚至為零.

為分析混凝土強度對于樁身位移的影響，將樁頂附近位移放大后進行分析，可以發(fā)現(xiàn)：無軸向荷載作用時，C80混凝土樁的樁頂位移小于C30 混凝土樁，這是由于C80混凝土剛度較大，能夠?qū)ν馏w的自由側(cè)移產(chǎn)生的較大約束作用，或者說抵抗土體側(cè)移的能力較強.但是當(dāng)樁頂加載KN=80%，即同樣在80%樁身強度的軸向力作用下，C80 樁頂位移則超過了C30樁，說明C80樁在同等計算條件和樁頂壓應(yīng)力水平下，其P-Δ效應(yīng)比C30樁更為明顯.

對于沿樁長的彎矩，如圖7所示，彎矩的影響范圍也集中于樁上方20m 以內(nèi)，20～30 m 內(nèi)則彎矩很小甚至為零.當(dāng)樁頂無軸向荷載時，C80樁最大彎矩大于C30彎矩，并且最大彎矩深度較C30樁略深一些，但都在7.5～8.0m 左右.當(dāng)樁頂加載80%樁身強度的軸向力時，兩種材料的樁身最大彎矩的深度都有向上變化的趨勢，最大彎矩值都增大，但是C80增大的幅度要比C30更大.

為了進一步研究樁身材料對P-Δ效應(yīng)大小影響的規(guī)律，本文試算了6種樁身材料在相同計算條件下樁身位移和彎矩相對于無軸向力時的增幅情況，如圖8和圖9 所示，圖中fc是與橫坐標(biāo)相對應(yīng)的混凝土抗壓設(shè)計值，fC50為C50混凝土的抗壓設(shè)計值，可得出了如下一些結(jié)論.

圖8 樁頂位移增幅對比圖Fig.8 Comparison of increase in displacements of pile head

圖9 最大彎矩增幅和最大彎矩深度對比Fig.9 Comparison of increase in maximum moments and corresponding depths

（1）當(dāng)樁頂作用有相對于材料強度同等比例的軸力時，隨著材料標(biāo)號越大，P-Δ效應(yīng)也越大.由圖可見，在80%樁身強度的荷載作用下，C20樁較無樁頂軸力時位移僅增大了3.3%，彎矩僅增大了1.6%，C80相應(yīng)增加了9.5%和8.2%.

（2）當(dāng)樁頂軸力絕對值相同時，隨著材料標(biāo)號的增大，P-Δ效應(yīng)減小.這一點從圖8、圖9中的曲線4可以看出，各種材料樁都作用有0.8fc50A的軸力，C20位移和彎矩分別增大了7.3%和5.8%.這是因為在相同的軸力下，樁的EI值越大，抵抗P-Δ效應(yīng)的能力就越強.

（3）P-Δ效應(yīng)作用結(jié)果不符合疊加原理.如圖8和圖9 所示，兩圖中曲線1 分別代表軸向荷載為0.4fcA時樁頂位移和最大彎矩的增幅，曲線2分別代表軸向荷載為0.4fcA時樁頂位移和最大彎矩的增幅的2倍，曲線3 分別代表軸向荷載為0.8fcA時樁頂位移和最大彎矩的增幅.可見軸向荷載為0.8fcA時的增幅大于0.4fcA時增幅的2倍.這表明了P-Δ效應(yīng)對荷載和位移的影響不符合簡單的疊加效應(yīng).

3.2 土體彈性模量對單樁及P－Δ 效應(yīng)的影響

樁土相互作用中，土體的性質(zhì)非常重要，特別在Winkler地基模型中，土體彈性模量決定了土體對樁基作用力的大小.本節(jié)旨在研究相同土體側(cè)移模式下土體彈性模量的影響，采用與第3.1節(jié)相同的計算模型.圖10和圖11中繪制了C50混凝土的樁在Es=2z（MPa）和Es=6z（MPa）兩種彈性模量分布下的位移和彎矩，z為地面以下深度，土體彈性模量沿深度線性變化.

圖10 不同土體彈性模量的位移對比圖Fig.10 Comparison of displacements with different elastic modulus of subsoils

如圖10和圖11所示，在樁頂有軸向力時兩種土體彈性模量分布模式下的位移和彎矩都出現(xiàn)了增大的趨勢.同時，土體彈性模量分布模式Es=6z在無軸向荷載以及有軸向荷載時位移和彎矩分別大于Es=2z相應(yīng)條件下的位移和彎矩.這是因為在土體彈性模量大的時候?qū)兜牡挚棺饔靡簿驮酱?

圖11 不同土體彈性模量的彎矩對比圖Fig.11 Comparison of bending moments with differentelastic modulus of subsoils

Leung等［10］認(rèn)為：對于密砂，彈性模量分布宜取Es=6z至Es=8z之間.圖12中選取了Es=8z，6z，4z，2z，z五種分布模式，計算了對C50混凝土樁的影響情況，得到了以下結(jié)論：

（1）隨著土體彈性模量的減小，P-Δ效應(yīng)增大.這是因為當(dāng)土體彈性模量減小時土體對樁的側(cè)向支撐減小，引起了更大的附加彎矩和位移.

（2）土體彈性模量較大時，樁頂位移增幅大于最大彎矩增量，但隨著彈性模量的減小，最大彎矩的增幅將逐漸超過樁頂位移的增量.料強度

圖12 不同土體彈性模量的樁頂位移、最大彎矩增幅對比圖Fig.12 Comparison of increase in displacements of pile head and max moments with different elastic modulus of subsoils

通時過，以高上強?的度參樁數(shù)身?分材析料可的知P，-當(dāng)Δ充 效分?應(yīng)利比用低樁強身材度樁身材料的要大，而土體彈性模量低時P-Δ效應(yīng)比土體彈性模量高時的要大.因此，當(dāng)模型試驗采用鋼管、鋁管來模擬樁基受土體側(cè)移和軸向荷載耦合作用時，而所用的模型土又偏軟弱時，可能會導(dǎo)致試驗測得的耦合效應(yīng)比實際工程的偏大，這一點在實際應(yīng)用時應(yīng)引起必要的注意.

3.3 樁頂約束條件對單樁及其P－Δ 效應(yīng)的影響

不同樁頂約束條件對樁身變形和樁土相對位移產(chǎn)生明顯影響，從而影響樁最終的受力狀態(tài)；不同約束條件下樁的P-Δ效應(yīng)也顯著不同.

無初始軸向荷載的C50 混凝土樁在彈性模量Es=2z土中受到同第3.1節(jié)的土體側(cè)移作用，其余參數(shù)也與第3.1節(jié)相同，則在不同樁頂約束條件下算得的位移和彎矩如圖13和圖14所示.

圖13 不同樁頂約束條件的位移對比圖Fig.13 Comparison of displacements with different boundary conditions of pile head

圖14 不同樁頂約束條件的彎矩對比圖Fig.14 Comparison of bending moments with different boundary conditions of pile head

由圖13和圖14可見，當(dāng)樁頂自由時，由于樁頂缺乏有效約束，樁頂位移將相對較大，造成既有結(jié)構(gòu)有過大變形和使用性能下降，但是由于樁頂約束放松，樁身的彎矩較小，對于樁身受力是有利的.當(dāng)樁頂約束位移而不約束轉(zhuǎn)動時，最大位移出現(xiàn)在約5 m 深度處，樁的變形明顯減小，但彎矩相對樁頂自由時的作用方向相反且絕對值有所增大；當(dāng)樁頂完全固定時，樁的變形進一步減小，但樁頂出現(xiàn)了較大的正彎矩.因此，在樁身材料相同的情況下，樁頂固定時的受力最為不利.

其次，在P-Δ效應(yīng)上，如圖15所示樁頂自由時由于樁頂有較大的側(cè)向變形，且缺乏有效支撐.故當(dāng)承受KN=80%的軸向荷載時，樁的最大水平位移和最大彎矩相對于無軸向荷載時增大了12.2%和11.0%.而當(dāng)樁頂存在有效約束時，這個增幅則將大幅減小.即樁頂約束的存在明顯降低了土體側(cè)移和既有軸力耦合作用帶來的附加不利影響.

圖15 不同樁頂約束條件的最大位移、最大彎矩增幅對比Fig.15 Comparison of increase in maximum displacements and maximum bending moments with different boundary conditions of pile head

4 結(jié)語

本文基于Winkler地基模型，引入樁身軸力作用建立了近似考慮土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用下的單樁撓曲微分方程，并采用兩階段法進行求解.分析結(jié)果表明，相對于土體側(cè)移單獨作用時，土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用所產(chǎn)生的P-Δ效應(yīng)對于樁基受力和變形特性具有一定的影響.

通過對樁身材料、土體彈性模量以及樁頂約束條件等影響因素的分析，研究了這些因素對受土體側(cè)移作用軸向受荷單樁承載性狀的影響程度，其中樁頂約束條件對樁的位移和彎矩分布特性具有顯著影響.同時算例分析也表明了由于P-Δ效應(yīng)，土體側(cè)移與軸向荷載的耦合作用確實不符合簡單的疊加效應(yīng).結(jié)合Poulos等［12］提出的樁-樁相互作用系數(shù)概念，本文分析方法還可以進一步推廣到群樁受土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用的分析中.

［1］ 姚國圣，梁發(fā)云，李鏡培，等.土體側(cè)移作用下軸向受荷單樁承載性狀三維數(shù)值分析［J］.同濟大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，39（1）：1.YAO Guosheng，LIANG Fayun，LI Jingpei，et al.3Dnumerical analysis for behavior of axially loaded pile subjected to lateral soil movement［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2011，39（1）：1.

［2］ Chen C C，Takahashi A，Kusakabe O.Change in vertical bearing capacity of pile due to horizontal ground movement［M］／／ Physical Modelling in Geotechnics.Rotterdam：Balkema Publishers，2002：459-464.

［3］ Guo W D，Ghee E H.Behavior of axially loaded pile groups subjected to lateral soil movement［C］／／ Proceedings of Sessions of GeoShanghai.Shanghai：GSP，2006，153：174-181.

［4］ 黃茂松，張陳蓉，李早.開挖條件下非均質(zhì)地基中被動群樁水平反應(yīng)分析［J］.巖土工程學(xué)報，2008，30（7）：1017.HUANG Maosong，ZHANG Chenrong，LI Zao.Lateral response of passive pile groups due to excavation-induced soil movement in stratified soils ［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2008，30（7）：1017.

［5］ Poulos H G，Chen L T.Pile response due to excavationinduced lateral soil movement［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，ASCE，1997，123（2）：94.

［6］ 橫山幸滿.樁結(jié)構(gòu)物的計算方法和計算實例［M］.唐業(yè)清，吳慶蓀譯.北京：中國鐵道出版社，1984.Yokoyama Yukimitsu.The calculation method and examples of pile foundation ［M］.Translated by TANG Yeqing，WU Qingsun.Beijing：China Railway Publishing House，1984.

［7］ 趙明華.軸向和橫向荷載同時作用下的樁基計算［J］.湖南大學(xué)學(xué)報，1987，14（2）：68.ZHAO Minghua.The calculation of piles under simultaneous axial and lateral loading［J］.Journal of Hu’nan University，1987，14（2）：68.

［8］ Poulos H G.Ground movements—a hidden source of loading on deep foundations［J］.DFI Journal，2007，1（1）：37.

［9］ Vesic A S.Bending of beams resting on isotropic elastic solids［J］.Journal of Soil Mechanics and Foundation Engineering，ASCE，1961，87（2）：35.

［10］ Leung C F，Chow Y K，Shen R F.Behavior of pile subject to excavation-induced soil movement ［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2000，126（11）：947.

［11］ 梁發(fā)云，韓杰，李鏡培.基坑開挖引起的土體水平位移對單樁性狀影響分析［J］.巖土工程學(xué)報，2008，30（Sup.1）：260.LIANG Fayun，HAN Jie，LI Jingpei.A preliminary study on behavior of a single pile subject to lateral soil movement induced by excavation［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2008，30（Sup.1）：260.

［12］ Poulos H G，Davis E H.Pile foundation analysis and design［M］.New York：John Wiley and Sons，1980.