吳志紅，陳國強(qiáng)，朱 元，田光宇

（1.同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海201804；2.同濟(jì)大學(xué) 中德學(xué)院，上海200092；3.清華大學(xué) 汽車安全與節(jié)能國家重點實驗室，北京100084）

脈寬調(diào)制（pulse-width modulation，PWM）廣泛應(yīng)用于電能轉(zhuǎn)換、調(diào)速、伺服等系統(tǒng)中，長期以來，是電力電子研究的主要內(nèi)容之一［1-5］.在基于數(shù)字信號處理器的電機(jī)控制中，廣泛采用的是空間矢量脈寬調(diào)制（space vector PWM，SVPWM）技術(shù)，因為它具有直流母線電壓利用率高、易于實現(xiàn)、諧波特性好等優(yōu)點［6-7］.由于實現(xiàn)簡單，確定性調(diào)制方法（如固定調(diào)制周期、固定零矢量分配方式）被廣泛采用，但是諧波主要集中在載波頻率（調(diào)制頻率）的整數(shù)倍附近，容易引起電磁輻射、聲頻噪聲和機(jī)械振動等.雖然，提高調(diào)制頻率可以得到改善，特別是若將調(diào)制頻率提高到18kHz以上即可降低聲頻噪聲，但是高的開關(guān)頻率必然增加開關(guān)損耗［8］.將集中于調(diào)制頻率整數(shù)倍附近的集簇頻譜展開進(jìn)行平鋪可以在較低的開關(guān)頻率下減小開關(guān)噪聲等不良效應(yīng).大量的文獻(xiàn)對此進(jìn)行了深入的研究，特別是隨機(jī)PWM正在吸引著越來越多的學(xué)者為之努力.理論上，在滿足 “伏-秒平衡”的約束下，所涉及的一切因素都可以注入隨機(jī)特性，但是考慮到實現(xiàn)代價，只有部分方案具有實用價值.隨機(jī)PWM可分為如下幾類：（1）隨機(jī)開關(guān)頻率PWM［9-10］是原理最為明顯，研究最多的一種方法，無論是在小調(diào)制比還是大調(diào)制比下都能獲得良好的頻譜展開效果.但是在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，面臨著電流采樣、控制器參數(shù)確定等問題；（2）隨機(jī)脈沖位置PWM是在滿足基本矢量作用順序和時間不變的情況下，通過改變?nèi)嗫刂菩盘柛唠娖降奈恢?，來達(dá)到展開頻譜的目的［11］.文獻(xiàn)［8］對兩相模式下隨機(jī)對稱中心PWM（隨機(jī)脈沖位置PWM的一個特例）進(jìn)行了研究，并提出了根據(jù)調(diào)制比的大小來選擇零矢量進(jìn)而進(jìn)行隨機(jī)化，可以在整個線性調(diào)制區(qū)獲得良好的隨機(jī)性能.隨機(jī)脈沖位置PWM與隨機(jī)開關(guān)頻率PWM在一定的程度上是等價的［8］.但是，同樣面臨著電流采樣等問題.（3）隨機(jī)零矢量分配PWM（random zero-vector distribution PWM，RZDPWM）是通過隨機(jī)分配兩個零矢量的作用時間來實現(xiàn)的［12-13］.文獻(xiàn)［1］對此進(jìn)行了研究，并得出結(jié)論：在小調(diào)制比下，隨機(jī)零矢量分配可獲得良好的性能.（4）兩種及兩種以上隨機(jī)方法的結(jié)合［14-15］.在電機(jī)控制等閉環(huán)控制系統(tǒng)中，需要反饋相電流，同步采樣得到的相電流更加接近于基波分量［16］.固定周期的RZDPWM在電機(jī)的閉環(huán)控制系統(tǒng)中實現(xiàn)簡單、方便電流同步采樣，具有巨大的實用價值.諧波均方值和畸變率是評價調(diào)制策略的重要指標(biāo)，很多文獻(xiàn)對RZDPWM進(jìn)行了卓有成效的研究，但是都沒有給出RZDPWM諧波均方值和畸變率的計算公式.

PWM在一個調(diào)制周期內(nèi)以 “伏-秒平衡”原理為基礎(chǔ)，以多邊形磁鏈逼近圓形磁鏈，必然導(dǎo)致逼近誤差.再者，由于電力電子器件固有的開關(guān)特性，其電壓控制總是伴隨著諧波［7］.基于此，本文通過綜合分析磁鏈諧波、電流諧波，推導(dǎo)RZDPWM策略下磁鏈／電流的諧波均方值和畸變率的計算公式.

1 RZDPWM的基本原理

經(jīng)典的兩電平三相逆變器［6-7］共有8種開關(guān)狀態(tài)，對應(yīng)著8個基本電壓矢量，其中包括6個非零電壓矢 量（U1（100），U2（110），U3（010），U4（011），U5（001），U6（101））和兩個零電壓矢量（U0（000）和U7（111））.如圖1所示，括號中的數(shù)字1表示上臂導(dǎo)通，0表示上臂不導(dǎo)通，每相的上下臂導(dǎo)通狀態(tài)互補(bǔ)；αβ為兩相靜止坐標(biāo)系；A，B，C 為三相標(biāo)號.對于幅值為Uo、相角為θ的參考電壓矢量Us可由臨近的兩個非零基本電壓矢量和零矢量按照 “伏-秒平衡”的原則進(jìn)行合成.圖1 所示的是在第一區(qū)的情況，設(shè)Us，U1，U2作用的時間分別為Ts，2T1，2T2，則

圖1 基本電壓矢量及合成Fig.1 Basic voltage vectors and the reference vector generation method

零矢量U0和U7作用時間為2T00和2T07，總時間為

為了方便數(shù)字控制系統(tǒng)實現(xiàn)，廣泛采用的兩個零矢量作用時間均分的對稱7 段式調(diào)制策略如式（3）所示，以下稱此為SVPWM.

在RZDPWM中，兩個零矢量作用時間隨機(jī)分配，設(shè)半個PWM周期內(nèi)U7的作用時間為

式中，ε為隨機(jī)變量.

則U0的作用時間為

2 磁鏈諧波產(chǎn)生的原因

圓形磁鏈?zhǔn)峭ㄟ^多邊形磁鏈來逼近，多邊形的邊數(shù)取決于載波比.隨著PWM頻率的提高，逼近誤差越來越小.因此，在進(jìn)行磁鏈諧波分析時，假定多邊形邊數(shù)為無窮，此時多邊形磁鏈就變成了圓形磁鏈.這是磁鏈諧波分析的基本假設(shè).

在忽略定子電阻時，參考電壓矢量為磁鏈?zhǔn)噶繉r間的導(dǎo)數(shù)，電壓矢量與磁鏈軌跡相切.如圖2所示，參考電壓矢量是由臨近的兩個基本矢量和零矢量合成的，所以，實際的磁鏈軌跡在理想的軌跡附近波動，不斷穿越理想軌跡.其法向誤差帶的形狀如圖3所示，誤差帶的寬度為

圖2 磁鏈諧波示意圖Fig.2 Diagram of the harmonic flux

圖3 磁鏈誤差帶圖Fig.3 Diagram of the flux error region

從式（6）和圖3可以得出：（1）磁鏈法向誤差帶的寬度隨著調(diào)制比的增大而增大.這是因為在相角相同的情況下，調(diào)制比的增大使得兩個非零基本矢量的作用時間增加，由于參考電壓矢量（相角為0°，60°，120°，180°，270°時除外）與合成的基本矢量相角并不相同，所以基本矢量在法向上的誤差（圖2中的h）會增大.（2）在每個區(qū)的邊界（見圖3），誤差帶最大，距離邊界越遠(yuǎn)，誤差越??；在區(qū)的中心法向誤差為零，因為此時參考電壓矢量與基本矢量的方向一致.（3）磁鏈切向誤差對相角依賴不大，但是對調(diào)制比依賴較大.切向誤差的最大值取決于零矢量的作用時間和分配方式，隨著調(diào)制比的增大，零矢量作用時間減小，切向誤差減小.

參考電壓矢量是由臨近的兩個矢量和零矢量合成的，而這些基本矢量和參考矢量之間存在差值，可定義電壓誤差矢量

諧波是由切向誤差和法向誤差共同形成的，7段合成方法的誤差三角形如圖4所示［1，6］.F為參考電壓矢量Us的端點；H，I，J和L，K，P為兩個三角形的頂點；D和E為兩個三角形的質(zhì)心；l為質(zhì)心到Us的端點的距離.三角形的形狀和大小與調(diào)制比、參考矢量的相角、零矢量分配方式都有關(guān).在SVPWM中，兩個三角形的邊IJ和PK完全重合；在RZDPWM中，重合度是隨機(jī)的.

圖4 磁鏈和電壓誤差矢量圖Fig.4 Trajectory of voltage and flux error vector

3 諧波均方值及畸變率公式的推導(dǎo)

在感性占主導(dǎo)地位的負(fù)載中，磁鏈?zhǔn)噶亢碗娏魇噶恐g只相差一個大小為等效電感的比例因子，因此，磁鏈?zhǔn)噶空`差三角形和電流矢量誤差三角形是相似的.因此，本文只對電流諧波均方值和畸變率計算公式進(jìn)行推導(dǎo).文獻(xiàn)［7］以三角形負(fù)載為例，給出了諧波電流均方值的表達(dá)式

式中：u1=eA／（UDC／2） ；u2=eB／（UDC／2） ；Lσ為 等 效電感；eA，eB為PWM周期內(nèi)的平均電壓.

諧波畸變率（harmonic distortion factor，HDF）為

3.1 SVPWM的微觀（PWM周期）諧波畸變率

對于經(jīng)常采用的SVPWM，ε=0.由于7段調(diào)制方法的對稱性，因此只需要分析前半個PWM周期即可.6個區(qū)具有對稱性，所以僅在第一區(qū)進(jìn)行推導(dǎo).三相電壓在半個PWM周期內(nèi)的平均值為

用式（10）替代式（8）和（9）中的平均電壓，分別計算fAB（M，θ），fAC（M，θ），fBC（M，θ），三 者 相 加可得

3.2 SVPWM的宏觀（基波周期）諧波畸變率

由文獻(xiàn)［7］可得SVPWM的宏觀HDF

3.3 RZDPWM的微觀（PWM周期）諧波畸變率

在RZDPWM中，式（10）的平均電壓多了一項

令

則

對式（8），考慮

那么只需要對多出來的一部分進(jìn)行分析，令

由此可得NAB，同理可得NAC和NBC，如下

三者相加并將式（1），（2）代入，可得

因此，RZDPWM的微觀HDF為

3.4 RZDPWM的宏觀（基波周期）諧波均方值

考慮到對稱性，只需要對ΔiAB在半個基波周期進(jìn)行計算即可.在第一區(qū)中

因為ε為隨機(jī)變量，可設(shè)數(shù)學(xué)期望

因為N1（ε）是個隨機(jī)變量，對其數(shù)學(xué)期望E［N1（ε）］在（0，π／3）積分，可得

在第五區(qū)中

式中：T1，T2為基本矢量U5，U6的作用時間.

對E［N5（ε）］在（4π／3，5π／3）積分，可得

在第六區(qū)中

式中：T1，T2為基本矢量U1，U6的作用時間.

對E［N6（ε）］在（5π／3，2π）積分，可得

因此，RZDPWM的宏觀HDF為

則在基波周期內(nèi)，電流的諧波均方值為

4 結(jié)果討論與仿真實驗

根據(jù)本文推導(dǎo)的RZDPWM的HDF 公式（31）和文獻(xiàn)［7］給出的經(jīng)典的連續(xù)與不連續(xù)PWM（discontinuous PWM，DPWM）策略HDF 的表達(dá)式，可繪制圖5.圖中，SPWM為正弦脈寬調(diào)制，

DPWM0， DPWM1， DPWM2， DPWM3，DPWMMAX，DPWMMIN 為6 種不同的DPWM.因為不連續(xù)調(diào)制的開關(guān)次數(shù)比連續(xù)調(diào)制減少約1／3，因此其開關(guān)頻率可以提高到以前的3／2倍，因此，圖中將兩種情況繪制在一起.從圖5，可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

（1）當(dāng)調(diào)制比很小時，非零矢量作用時間短，零矢量作用時間雖然長；但是此時誤差矢量e0長度很小，誤差三角形小，極端的狀況是調(diào)制比為零時，三角形縮為一個點.因此，此時諧波畸變小.總的來說，隨著調(diào)制比的增大，誤差三角形變大，則HDF增加.

（3）RZDPWM下，隨機(jī)變量ε2的特征影響HDF，在圖5 所繪制出的三種分布中，均勻分布時HDF最大，正態(tài)分布（3 倍標(biāo)準(zhǔn)差為0.5，只保留［-0.5，0.5］的部分）最小.這是由于在這三種分布中，正態(tài)分布時數(shù)學(xué)期望最小，均勻分布時最大.這在一定程度上也說明了SVPWM在零矢量分配上是準(zhǔn)優(yōu)的.

圖5 不同調(diào)制策略下宏觀HDFFig.5 HDF for the various modulation strategies

如果將誤差三角形看作線密度均勻的框架，則諧波的均方值即為此三角形框架繞固定轉(zhuǎn)軸（在復(fù)平面內(nèi)的投影為參考電壓矢量的端點，圖4 中的F點）的轉(zhuǎn)動慣量（之間相差一個比例因子，但不影響問題的分析）.轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理為：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.則諧波均方值λ2rms為

式中：J0為每個三角形繞著自己質(zhì)心D，E 的轉(zhuǎn)動慣量；m為每個三角形框架的質(zhì)量；l為三角形質(zhì)心D、E到參考電壓矢量端點的距離.

在SVPWM中，兩個零矢量作用時間是相等的，即IF=KF=PF=JF；在RZDPWM中，兩個零矢量作用時間隨機(jī)分配，也就是說，在保證參考電壓矢量端點F固定、兩個三角形在PJ直線上的邊有重合的前提下兩個三角形沿著直線JP隨機(jī)朝相反的滑動.對于SVPWM和RZDPWM來說，式（33）右邊的第一項2J0是相同的，不同的是式（33）右邊的第二項2ml2.當(dāng)調(diào)制比很大時，邊JI和KP很小，兩個三角形滑動的范圍很小，l的變動范圍很小.此時，RZDPWM與其他調(diào)制策略的諧波趨于一致.

在3.1和3.3部分分析微觀HDF時，是將三相的電流的HDF相加；而在3.4部分推導(dǎo)宏觀HDF時只包含了一相.實際上，如果將式（23）在區(qū)間（0，π／3）積分，并求均值，也可得到宏觀的HDF，只不過得到的結(jié)果是三相的相加，則為單相時的3倍.為了便于和圖5 比較，在繪制微觀HDF 時將其縮小3倍.

如果PWM周期趨于0，則RZDPWM的微觀HDF就變?yōu)樗矔r值，均勻分布時在6 個區(qū)內(nèi)HDF的數(shù)學(xué)期望如圖6所示.圖7給出了與SVPWM相比，RZDPWM（均勻分布）增加的HDF.

圖6 RZDPWM在整個線性調(diào)制區(qū)的微觀HDFFig.6 HDF for RZDPWMin the linear modulation zone

圖7 RZDPWM比SVPWM增加的微觀HDFFig.7 Increased HDF for RZDPWMrelative to SVPWM

從圖7 可以看出，隨著調(diào)制比的增加，RZDPWM增加的HDF先增大隨后又減小.這與圖5所示的宏觀上HDF的變化趨勢是一致的.

在計算機(jī)上對三相逆變器拖動電機(jī)進(jìn)行仿真，基波頻率為30 Hz，PWM頻率為2.2kHz.仿真測得的定子電流的軌跡如圖8所示，為了更加清楚地表現(xiàn)誤差帶的形狀，在繪圖的時候，將諧波幅值進(jìn)行了放大.電流矢量誤差帶與圖3所示的理論誤差帶形狀基本一致，隨著PWM頻率的不斷提高，誤差帶將越來越趨近圖3所示的理論誤差帶.在SVPWM中，兩個三角形沿著圓形軌跡勻速向前推進(jìn)；但是在RZDPWM中，由于零矢量的隨機(jī)分配，使得三角形前進(jìn)的速度呈隨機(jī)性.

圖8 測得的電流矢量軌跡Fig.8 Measured current vector trajectories

5 結(jié)論

本文對RZDPWM的磁鏈／電流諧波進(jìn)行了深入分析，并推導(dǎo)出了磁鏈／電流諧波均方值及畸變率在微觀（PWM周期）和宏觀（基波周期）上的理論表達(dá)式，最后對理論結(jié)果進(jìn)行了討論并用仿真實驗進(jìn)行了部分驗證.得出了如下結(jié)論：

（1）磁鏈誤差主要來源于多邊形逼近誤差和PWM“伏-秒平衡”原理帶來的誤差，隨著PWM頻率的不斷提高，后者為主要因素；

（2）隨機(jī)分布的特征對RZDPWM的諧波均方值及畸變率有較大影響，隨機(jī)數(shù)的數(shù)學(xué)期望越大，諧波越大.當(dāng)調(diào)制比接近最大值時，隨機(jī)化效果變差.此時，常見的幾種PWM諧波趨于一致.雖然RZDPWM的諧波比SVPWM有所增加，但是它的諧波集簇效應(yīng)比SVPWM小；

（3）在SVPWM中，穩(wěn)態(tài)時磁鏈／電流矢量誤差三角形沿著理想的圓形軌跡勻速前進(jìn)； 在RZDPWM中，誤差三角形前進(jìn)的速度呈隨機(jī)性.也就是說，磁鏈／電流矢量軌跡的切向誤差在隨機(jī)變化.這種非周期性地前進(jìn)是頻譜展開的根本原因.

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