蔡靜靜

（同濟大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200092）

1 引言

本文研究下面二階m點脈沖微分系統(tǒng)正解的存在性

其中λ＞0，μ＞0，ai＞0，bi＞0，ci＞0，di＞0，ai（t），bi（t）∈LP［J］，1≤p＜+∞，J=［0，1］，ρi=aici+bici+aidi＞0，ξj∈J′=（0，1），∈（0，+∞），i=1，2，j=1，2，…，m -2，fi，gi∈C（J×R+×R+，R+），Ii，k∈C（R+，R+）.

微分系統(tǒng)（1）是含有脈沖項的多點邊值問題，它能模擬許多物理現(xiàn)象，如描述由多個不同性質(zhì)的部分組成的金屬導(dǎo)線橫截面的震動情況，而脈沖描述的是物體在某個時刻有突然變化.由于其廣泛的背景，這類方程的研究受到廣泛重視［1-4］.最近，文獻［1］利用不動點定理研究了下面的邊值問題正解的存在性：

其中g(shù)（t）∈LP［0，1］，f∈C（［0，1］×R+，R+），筆者在條件 “f0=0，f∞=∞，或者f0=∞，f∞=0” 下得到問題（2）的正解.其中.然而不能解決當(dāng)λ 變化及函數(shù)x 有跳躍時的情況.而本文是在參數(shù)λ及μ變化和函數(shù)x有多個跳躍點時利用不動點指數(shù)理論考察系統(tǒng)（1）正解的存在性.文獻［2］得到了下面二階m點邊值問題的正解：

其中f連續(xù).但實際問題中非線性項有時奇異甚至只是LP可積，此時文獻［2］的方法不能解決這類問題.而本文研究的問題（1）中的非線性項有不同性質(zhì)且其系數(shù)LP可積.

本文的主要思想來源于文獻［1-2］等，并本質(zhì)改進和推廣了其中的結(jié)果，在非線性項有奇異性、函數(shù)含有脈沖點及參數(shù)可有不同取值范圍情況下，不僅研究了正解存在性也討論了正解不存在情況.

2 引理及一些結(jié)論

空 間PC1［0，1］：= ｛u∈C［0，1］：u′（t）在t≠ti處連續(xù)，且u′（t+i）和u′（t-i）存 在，u′（ti）=u′（t-i），i=1，2，…，n｝在范數(shù)‖x‖=max｛‖x‖∞，‖x′‖∞｝下為Banach 空間.定義PC1［0，1］×PC1［0，1］中范數(shù)‖（x，y）‖2=‖x‖+‖y‖.本文作以下記號

其中ψi（t）=bi+ait，φi（t）=ci+di-cit，t∈J是x″=0的線性無關(guān)解.對i=1，2，令

易知Gi（t，s）有以下性質(zhì)：

本文對u，v∈R，i=1，2定義

其中μ=0或者μ=+∞.用g代替以上的f得到gi，μ和gμi的定義.記Fi（t，x，y）=ai（t）fi（t，x，y）+bi（t）gi（t，x，y）（i=1，2）.記2×2矩陣的行列式，其中a，b為2維列向量.aT為a的轉(zhuǎn)置.

引理1［5］設(shè)K是實Banach空間E中的錐，對r＞0記.設(shè)A：全連續(xù)，且當(dāng)時，則下面結(jié)論成立：

定義算子T：PC1［0，1］× PC1［0，1］→PC1［0，1］×PC1［0，1］如下：T（x，y）=（Aλ（x，y），Bμ（x，y））.則BVP（1）的正解等價于T的正的不動點.

引理2 設(shè)條件（A1），（A2）滿足，則T：K×K→K×K是全連續(xù)的.

證明 由條件（A1），（A2）知，Aλ（x，y）（s）≥0，s∈J且 對于t∈Jθ有x（t）≥σ‖x‖，另一方面注意到對于t∈Jθ，s∈［0，1］，有G（t，s）≥σG（s，s），ψ（t）≥σψ（s），故由Aλ（x，y），Bμ（x，y）的定義得Aλ（x，y）（t）≥σ‖Aλ（x，y）‖，Bμ（x，y）（t）≥σ‖Bμ（x，y）‖，從而T：K×K→K×K.同文獻［2］可證明T全連續(xù).

3 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)（A1），（A2）和（H1），（H2）成立，則當(dāng)μ和λ足夠大時BVP（1）至少有兩個正解.

證明 首先考慮當(dāng)條件（A1），（A2），（H1），（H2）成立時.令

即

另一方面，由f1，∞=+∞知存在R1＞1使得對于任意的及，有

故

另一方面，由g2，0=+∞知存在R3＞0且R3＜1 使得對于任意的及，有

由式（6），（9），（11）及引理1知BVP（1）至少有兩 個 正 解和并 且

注 滿足（H1）和（H2）的函數(shù)gi很多，如gi≡常數(shù)；

定理2 設(shè)（A1），（A2）和（H3）成立，則當(dāng)μ充分大λ充分小時BVP（1）至少有一個正解.

證明 由f1，∞=+∞知存在L1＞0使得對任意的及有，令，則

其中ε0滿足

因此由式（14），對于（x，y）∈?Ω5有

故由式（15）和式（16），對于任意的（x，y）∈?Ω5得到

由引理1、式（12）和（17）知T有一個不動點

定理3 設(shè)（A1），（A2）和下面的（H＊）成立，則當(dāng)λ充分小時BVP （1）沒有正解.

（H＊）存在n（s）∈L［J，R+］使得

證明 假設(shè)BVP（1）存在正解（x，y），則x，y∈K，取，則有

這是矛盾的，因此BVP（1）沒有正解.

［1］ Zhang X，F(xiàn)eng M，Ge W.Multiple positive solutions for a class of m-point boundary value problems［J］.Applied Mathematics Letters，2009，22（1）：12.

［2］ Feng M，Xie D.Multiple positive solutions of multi-point boundary value problem for second order impulsive differential equations［J］.J Computational and Applied Mathematics，2009，223（1）：438.

［3］ Lomtatidze A.Positive solutions of boundary value problems for second order ordinary differential equations with singularities［J］.J Differential Equations，1987，23（10）：1146.

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