許震宇，盧 強，李 斌

（同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

與光子晶體類似，聲子晶體是由兩種或兩種以上彈性材料構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu).由于具有聲帶隙等特性，對聲子晶體的研究得到越來越多學(xué)者的關(guān)注.聲子晶體的研究方向之一是如何設(shè)計能獲得較大帶寬的結(jié)構(gòu).常見的方法包括疊加法、多元材料法、可調(diào)法等［1-2］.

亥姆霍茲共鳴器是一種最基本的聲共振系統(tǒng)，可受外面聲場的激發(fā)并消耗其能量，形成重要的吸聲體結(jié)構(gòu)［3］.其最典型的應(yīng)用就是音樂廳、電影院吸音墻的微結(jié)構(gòu)［4］.亥姆霍茲共鳴器有三維腔體、二維管狀等結(jié)構(gòu).將亥姆霍茲共鳴管周期排列，可以形成一維或二維聲子晶體結(jié)構(gòu)［5-6］.該結(jié)構(gòu)可以形成布拉格散射效應(yīng)、局域共振效應(yīng)以及亥姆霍茲共鳴管對聲波的吸收效應(yīng)，故有可能獲得更大的帶寬并具有其他聲學(xué)特性.Fang等人基于亥姆霍茲共鳴器一維陣列，設(shè)計了具有負模量的超材料并進行了實驗驗證，這種材料具有負折射率等性質(zhì)［7］.Zhang等人在Fang等人的工作基礎(chǔ)上，設(shè)計了超材料聲學(xué)透鏡，并且通過實驗證明這種結(jié)構(gòu)可以將亞波長的超聲波聚焦［8］.可以預(yù)見，亥姆霍茲共鳴器將在新型聲學(xué)器件的設(shè)計中得到更多的應(yīng)用.

可以利用平面波展開法、傳輸矩陣法、多重散射法、有限元法、時域有限差分法等方法計算聲子晶體、聲學(xué)超材料等結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性［9］.這些方法有各自的適用范圍.例如，平面波展開法在處理聲固耦合問題時，很難得到收斂的結(jié)果；多重散射法只能計算球形散射體結(jié)構(gòu)的帶隙性能；而時域有限差分法和有限元法具有更廣泛的適用性［9］.本文設(shè)計了二維的亥姆霍茲共鳴管周期陣列結(jié)構(gòu)，并應(yīng)用有限元方法計算該結(jié)構(gòu)的聲傳輸特性.首先介紹了亥姆霍茲共鳴管二維陣列的結(jié)構(gòu)，以及有限元方法的基本原理，通過經(jīng)驗公式的計算結(jié)果驗證了有限元法的可靠性，然后利用該方法計算了陣列結(jié)構(gòu)的聲透射性能.

1 結(jié)構(gòu)

一個空心圓球插一根短管就構(gòu)成亥姆霍茲共鳴器，短管可以只連到空球或插入球心，也可以只在空球開一個口.圖1是幾種亥姆霍茲共鳴器的示意圖.圖中，d為頸或開口的直徑；l為頸的長度；V為容器的容積.

圖1 亥姆霍茲共鳴器示意圖Fig.1 Several examples of Helmholtz resonators

亥姆霍茲共鳴器吸聲性能的特點是對頻率有較強的選擇性，只在某一個特有頻率附近有較強的吸聲作用，而在其他頻率范圍吸聲作用很小，這個頻率稱為共振器的共振頻率f0.圖1中的幾種共鳴器都有各自的共振頻率.可以針對吸聲的不同頻率要求選擇和設(shè)計不同的共鳴器形式.共振頻率的計算公式為［4］

式中：c為聲速（本文中均取為340m·s-1）；S為頸或開口的截面積，m2.

本文的二維陣列結(jié)構(gòu)的截面如圖2所示.每一個亥姆霍茲共鳴管兩端無限長，并在橫向周期排列在空氣中，形成二維陣列.其外徑為2.04cm，內(nèi)徑為1.84cm，開口長度為2mm，排列周期為2.4cm，材質(zhì)為鋼材.

圖2 二維的亥姆霍茲共鳴管周期陣列Fig.2 Two dimensional array of Helmholtz resonators

2 計算方法

對于無源無粘的介質(zhì)，諧波響應(yīng)的Helmholtz方程為

式中：p為聲壓，N·m-2；ρ為空氣密度，kg·m-3；ω為角頻率，弧度·s-1.

本文采用商用軟件Comsol Multiphysics計算該方程的特征值問題，也稱為頻響分析.該軟件是一個專業(yè)有限元數(shù)值分析軟件包，是對基于偏微分方程的科學(xué)和工程問題進行建模和仿真計算的交互開發(fā)環(huán)境，可以處理任意數(shù)目的耦合問題.對于聲學(xué)問題，該軟件可以處理的邊界條件包括：剛性；柔性；聲源；指定法向加速度；阻抗；輻射等.本文中，將共鳴器或二維陣列圍在矩形的計算區(qū)域中，并劃分網(wǎng)格.由于與結(jié)構(gòu)相比空氣的密度較低，所以將結(jié)構(gòu)視為剛體，結(jié)構(gòu)與空氣的邊界應(yīng)用剛性邊界條件.矩形計算區(qū)域的一條邊為入射聲源，設(shè)置為幅值為1的諧波.其他三條邊使用了輻射邊界條件以模擬無反射邊界.計算過程中，取空氣密度為1.29 kg·m-3，聲速為340m·s-1.將入射波的頻率在一定范圍內(nèi)取值，即可以計算得到該頻率透射波的聲壓衰減值.

為了驗證有限元方法的可靠性，考察圖1a所示結(jié)構(gòu)的共振頻率.其中，頸的直徑d為2cm，頸的長度l為10cm，球腔的容積V為2.2dm3.圖3顯示了利用頻響分析得到的圖1a所示結(jié)構(gòu)的頻響曲線.可以看出在58 Hz結(jié)構(gòu)有共振現(xiàn)象.利用式（1）的計算結(jié)果為60Hz，兩者相符.所以，可將該方法用于計算結(jié)構(gòu)的頻響特性.

圖3 單個亥姆霍茲共鳴器的頻響曲線Fig.3 Frequency response of one Helmholtz resonator

3 結(jié)果

對于圖2所示的聲子晶體結(jié)構(gòu)，可以計算得到其（100）方向的透射性能，如圖4a所示.注意到，在5 500Hz到9 500 Hz有一個較寬的帶隙.圖4b顯示了完整二維周期結(jié)構(gòu)（由無開口管周期排列構(gòu)成）的計算結(jié)果.其帶隙出現(xiàn)在6 500Hz到9 500Hz范圍內(nèi).兩者相比，圖4a中的該帶隙更向低頻擴展.同時，在所考察的頻率范圍內(nèi)二維亥姆霍茲共鳴管周期陣列在2 000Hz到3 000Hz還出現(xiàn)了新的帶隙.所以，在結(jié)構(gòu)總體尺寸相同的情況下，二維亥姆霍茲共鳴管周期陣列可以禁止頻帶更寬并且頻率更低聲波的通過.

圖4 兩種結(jié)構(gòu)聲透射性能的比較Fig.4 Sound transmission of two structures

為了考察聲波入射方向?qū)β晭兜挠绊懀嬎懔寺暡ú煌肷浞较蛳?，結(jié)構(gòu)的頻響特性.圖5 是（010）方向入射波的頻響曲線.可以看出，不同傳播方向上的聲帶隙位置、寬度基本相同.

圖5 （010）方向入射波的頻響曲線Fig.5 Frequency response with the（010）incident wave

如果將亥姆霍茲共鳴管的位置不變，而開口方向隨機排列，可計算其頻響曲線如圖6所示.可見其聲帶隙位置和寬度與規(guī)則排列相比，差別也很小.說明聲波在結(jié)構(gòu)中傳播時存在局域共振效應(yīng).

如果將亥姆霍茲共鳴管的位置和開口方向都隨機排列，可計算其頻響曲線如圖7所示.可見其聲帶隙位置和寬度與規(guī)則排列相比，差別仍然很小.比較圖4～圖7，可知在2 000Hz附近的帶隙應(yīng)該是由于開口的存在造成的，并且其位置和帶寬與開口的方向和散射體的位置無關(guān).也就是說，頻率在2 000Hz附近的聲波在亥姆霍茲共鳴管中共振而不繼續(xù)傳播，從而形成帶隙.這也是局域共振型聲子晶體的典型特征.

圖6 開口方向隨機排列結(jié)構(gòu)的聲透射性能Fig.6 Transmission property with the random directions openings

圖7 開口方向和散射體位置隨機排列結(jié)構(gòu)的聲透射性能Fig.7 Transmission property with the random directions openings and random positions of scatterers

4 結(jié)論

二維亥姆霍茲共鳴管周期陣列作為一種新的聲子晶體結(jié)構(gòu)，其聲帶隙性能與完整二維周期結(jié)構(gòu)相比，有很大的不同.由于具有布拉格散射效應(yīng)、局域共振效應(yīng)以及亥姆霍茲共鳴管對聲波的吸收效應(yīng)等綜合效應(yīng)，二維亥姆霍茲共鳴管周期陣列可以禁止更低頻聲波的通過.進一步可以考察其他類型共鳴管構(gòu)成的周期陣列，優(yōu)化亥姆霍茲共鳴管的結(jié)構(gòu)和尺寸.還可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計聲屏障、聲透鏡等其他具有獨特功能的聲學(xué)器件.

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