陳希瑞，龔憲生

(1.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶400030;2.重慶大學(xué)機械工程學(xué)院，重慶400030; 3.重慶工商大學(xué)機械工程學(xué)院，重慶400067)

塑料合金關(guān)于溫度－頻率－振幅的本構(gòu)模型

陳希瑞1，2，3，龔憲生1，2

(1.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶400030;2.重慶大學(xué)機械工程學(xué)院，重慶400030; 3.重慶工商大學(xué)機械工程學(xué)院，重慶400067)

以經(jīng)典Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)理論為基礎(chǔ)，建立新型BTG塑料合金的改進Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)動態(tài)本構(gòu)模型，該模型綜合描述了溫度、頻率和振幅與BTG塑料合金模量的關(guān)系.通過動態(tài)熱分析儀DMA242，獲取了BTG塑料合金幾個溫度下，振幅恒為30 μm時的頻率掃描和幾個頻率下的恒溫幅值掃描的動態(tài)存儲模量和損耗模量實驗數(shù)據(jù).首先分析頻率掃描實驗數(shù)據(jù)，識別出各溫度下的改進分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型的系數(shù)，然后研究這些系數(shù)關(guān)于溫度的變化規(guī)律，以此建立了溫度頻率模型.其次分析幅值掃描數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)不同頻率的各實驗振幅的模量與各自振幅30 μm的模量比值相等，所以建立了模量比值關(guān)于振幅的函數(shù)模型.將溫度頻率模型與模量比值振幅模型相乘就建立了綜合考慮溫度－頻率－振幅的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系.建立的綜合考慮溫度－頻率－振幅的本構(gòu)模型能準(zhǔn)確表達實驗數(shù)據(jù).結(jié)果表明：改進的綜合考慮溫度、頻率和振幅的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)動態(tài)本構(gòu)模型真確合理，該模型適合于BTG塑料合金的動態(tài)模量變化規(guī)律的描述.

塑料合金;存儲模量;損耗模量;分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù);本構(gòu)模型

BTG塑料合金加工工藝性能好，具有良好的摩擦磨損性能和抗疲勞磨損性能，由此材料生產(chǎn)的彈性聯(lián)軸器在使用中也表現(xiàn)出較好的隔振降噪功能.彈性聯(lián)軸器工作環(huán)境復(fù)雜，其工作啟停、速度變換頻繁，工作頻率范圍大，工作環(huán)境溫度不穩(wěn)定，波動范圍也較大，由于其承受的載荷不均勻，外載變化沒規(guī)律，導(dǎo)致其工作時承載的外部載荷振幅頻繁變化且變化幅值大.而BTG塑料合金具有非線性粘彈特性，其存儲模量和損耗模量不是常數(shù)，大小會隨著其工作頻率、工作溫度和工作振幅的變化而變化.為計算BTG塑料合金的聯(lián)軸器在不同工作頻率、溫度和振幅下的強度或強度范圍，建立能夠準(zhǔn)確描述BTG塑料合金的模量關(guān)于溫度、頻率和振幅變化規(guī)律的本構(gòu)模型十分必要.

目前常用來描述粘彈材料本構(gòu)模型的幾種模型有標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型、分?jǐn)?shù)指數(shù)模型和微振子模型［1－10］，研究表明，不能說某一個模型更合理更科學(xué)，針對不同的材料需不同的模型來描述，即使是對材料實驗數(shù)據(jù)采用同一模型，但采用不同的識別方法，得到的參數(shù)不同，其模型精度也不一樣［1，4－6］.實際計算表明，這些模型也不一定能夠同時準(zhǔn)確表達模量和阻尼，甚至按存儲模量的實驗數(shù)據(jù)和模型識別的參數(shù)，對損耗模量的描述誤差就很大，相反，按損耗模量的實驗數(shù)據(jù)和模型識別的參數(shù)，對存儲模量的描述誤差也很大.在前期計算中表明，標(biāo)準(zhǔn)的流變機械模型對BTG的存儲模量和損耗模量的變化趨勢都不能準(zhǔn)確描述.另一方面，這些模型只反應(yīng)模量或阻尼隨頻率變化的規(guī)律，模型中并未考慮溫度和振幅對它們的影響，而實際上它們受溫度和振幅的影響都很大，所以必須對這些模型加以改進，建立能夠同時反應(yīng)溫度、頻率和振幅的本構(gòu)模型.

本文利用動態(tài)實驗儀器DMA242進行了幾個溫度下的頻率掃描實驗和幾個頻率下的幅值掃描實驗，分析頻率掃描實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的分析，首先建立恒振幅下考慮溫度的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型，再在此基礎(chǔ)上考慮振幅的影響，最終建立綜合考慮溫度－頻率－振幅的本構(gòu)模型.

1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)粘彈本構(gòu)模型理論

單向拉伸應(yīng)力－應(yīng)變的分?jǐn)?shù)階粘彈性通用一般關(guān)系為［4－9］

對式(1)進行Fourier變換，得分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)頻域模型

由式(2)可得分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型頻域的復(fù)模量

其中

由式(3)可得，由一個彈簧和一個Abel粘壺［1，6］并聯(lián)構(gòu)成的Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型復(fù)模量為

存儲和損耗模量為

其中E'為存儲模量，E″為損耗模量.

2 考慮溫度－頻率－振幅的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型建立及其參數(shù)識別

式(5)中表達的存儲和損耗模量只有頻率因素，未考慮溫度振幅的因素，而實際上模量受溫度振幅影響較大，因此根據(jù)式(5)并考慮實驗頻率單位為Hz，再加之按存儲模量(或損耗模量)識別出的參數(shù)能精確表達存儲模量(或損耗模量)，但不能精確表達損耗模量(或存儲模量)，分別將考慮溫度－頻率－振幅的存儲和損耗模量表達為［4］

圖1為振幅30 μm時各溫度下的頻率掃描的存儲模量和損耗模量實驗數(shù)據(jù)，基于此先建立識別出振幅d=30 μm時的溫度－頻率模型，即

在不引起混淆情況下，下文公式圖表中E'(f，T，d30)、E''(f，T，d30)、Q1(T，d30)、Q2(T，d30)、Q3(T，d30)、α1(T，d30)、α2(T，d30) 均 簡 化 為 E'(f，T)、E''(f，T)、Q1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)、α2(T).

根據(jù)圖1實驗數(shù)據(jù)和式(7)的模型，利用非線性最小二乘法識別出恒定振幅下溫度變量Q 1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)、α2(T)在各實驗溫度下的值，如表1所示.將各溫度下的值代入模型繪制的模型擬合曲線如圖1所示，各溫度下的擬合曲線精確地表達了實驗數(shù)據(jù).這說明用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型來描述材料模量關(guān)于頻率變化規(guī)律是合理的，不過模型的系數(shù)是溫度的變化量，所以研究系數(shù)的溫度變化規(guī)律很有必要.由表1數(shù)據(jù)及其圖 2所示的 Q1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)、α2(T)關(guān)于溫度散點圖的分布可以看出，Q1(T)、α1(T)、α2(T)數(shù)據(jù)點的分布為一條關(guān)于溫度變量單調(diào)下降且凹的分布曲線，經(jīng)計算Q1(T)、α1(T)、α2(T)分別用式(8)、(9)的表達式形式能分別對其識別值準(zhǔn)確的擬合，Q2(T)、Q3(T)數(shù)據(jù)點的分布為關(guān)于溫度變量單調(diào)上升且凸的分布曲線，經(jīng)計算式(10)的表達形式能準(zhǔn)確表達其識別數(shù)據(jù).

根據(jù)表1各列數(shù)據(jù)及其相應(yīng)溫度變量模型，識別出的相應(yīng)系數(shù)如表2所示，將相應(yīng)系數(shù)代入各式繪制其模型擬合曲線如圖2所示，各曲線與其相應(yīng)識別值及變化趨勢相當(dāng)吻合.到此，將表2系數(shù)及式(8)、(9)和(10)代入式(7)，得出振幅d=30 μm時的溫度－頻率模型.

圖1 振幅30 μm時各溫度下頻率掃描實驗數(shù)據(jù)及模型擬合曲線

表1 溫度變量Q1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)和α2(T)在各實驗溫度下的識別值

圖2 溫度變量識別值及其模型曲線

表2 溫度變量Q1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)和α2(T)模型的系數(shù)

圖3 各頻率下振幅掃描的模量實驗數(shù)據(jù)及其擬合曲線

基于此對振幅掃描實驗數(shù)據(jù)進一步處理，由于各溫度下的頻率掃描是在恒振幅d=30 μm的工況下得到的，因此將振幅掃描的各振幅下的模量值除以振幅d=30 μm的模量值，存儲模量和損耗模量比值分別記為E'A/E'30和E″A/E″30，其計算結(jié)果如表3所示.

從表3數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)各頻率下在相同振幅值時E'A/E'30(或 E″A/E″30)的值相等，也就是說E'A/E'30(或 E″A/E″30)的值與頻率無關(guān).分析如圖4所示的E'A/E'30和E″A/E″30關(guān)于振幅的散點圖可看出，散點數(shù)據(jù)分布為一條關(guān)于振幅變量單調(diào)下降且凹的分布曲線，經(jīng)計算 E'A/E'30和E″A/E″30的值用式(11)的表達形式能準(zhǔn)確表達其關(guān)于振幅的變化規(guī)律.

根據(jù)表3計算的E'A/E'30和 E″A/E″30的值，按模型式(11)識別出各自系數(shù)如表4所示.根據(jù)識別出的系數(shù)繪制的模型曲線如圖4所示，表明模型式(11)能準(zhǔn)確表達比值 E'A/E'30和 E″A/E″30關(guān)于振幅的變化規(guī)律及其趨勢.通過上述的計算分析可知，式(7)表達的是振幅d=30 μm的任意溫度頻率的模量變化規(guī)律，而式(11)表達的是各振幅下的模量相對振幅d=30 μm的模量的倍數(shù).由此兩者相乘可得模量關(guān)于溫度－頻率－振幅的綜合本構(gòu)模型:

表3 各振幅模量E＇(")A 與振幅30μm時模量E＇(")30的比值

圖4 E'A/E'30和E″A/E″30的計算值及其擬合曲線

表4 根據(jù)E'A/E'30和 E″A/E″30的比值識別的E'(d)、E''(d)的系數(shù)

3 討論

為定量說明模型精度，定義存儲模量和損耗模量的偏差為:

其中:δ'ijk、δ″ijk為在(fi，Tj，dk)點的偏差值;E'ijk、E″ijk為在(fi，Tj，dk)點的實驗值;E'(fi，Tj，dk)、E″(fi，Tj，dk)為在(fi，Tj，dk)點的模型計算值.按上述定義，計算得偏差平方和、平均偏差平方和、均偏差、最大偏差和最大相對偏差見表5，計算結(jié)果表明，模型精度較高，能準(zhǔn)確表達實驗數(shù)據(jù).

表5 存儲模量和損耗模量基于偏差的統(tǒng)計計算

按經(jīng)典的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型計算，式(6)中Q 3 (T)應(yīng)等于Q2(T)，α2(T)應(yīng)等于α1(T).但分別按存儲模量和損耗模量的實驗數(shù)據(jù)按式(6)模型計算結(jié)果表明Q3(T)不等于Q2(T)，α2(T)不等于α1(T).這就表明按存儲模量數(shù)據(jù)及其模型識別的參數(shù)不能準(zhǔn)確表達損耗模量，同樣按損耗模量數(shù)據(jù)及其模型識別的參數(shù)不能準(zhǔn)確表達存儲模量，所以按傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)計算得到的復(fù)模量E*=E'+iE″中E'和E″在數(shù)量上有一項不準(zhǔn)確.而在應(yīng)力應(yīng)變的宏觀計算中，E*=E'+iE″中每一項數(shù)量上準(zhǔn)確很重要，所以將E'、E″看成各自相互獨立的量，依據(jù)實驗數(shù)據(jù)各自按式(6)的模型識別各自參數(shù)，以達到同時對存儲模量和損耗模量的準(zhǔn)確描述的建模方法在宏觀上是合理.

4 結(jié)論

1)對傳統(tǒng)經(jīng)典的Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型進行改進，分別建立了存儲模量和損耗模量的模型，所建立模型均能準(zhǔn)確表達存儲模量和損耗模量的實驗數(shù)據(jù)及其數(shù)據(jù)變化趨勢，因此與經(jīng)典Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型相比，使存儲模量和損耗模量在數(shù)量上得到了準(zhǔn)確的表達.

2)經(jīng)典的Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模盡管不能在數(shù)量上同時完全精確表達存儲模量和損耗模量，也即是說由一個彈簧和一個服從分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的Abel粘壺并聯(lián)構(gòu)成的Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的物理模型還不能完全準(zhǔn)確反映BTG塑料合金動態(tài)力學(xué)物理特性，但都準(zhǔn)確的表達了存儲模量和損耗模量的變化趨勢.由此可以斷定分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的Abel粘壺反映了BTG塑料合金的粘性本質(zhì)特征.

3)結(jié)合上述兩點結(jié)論可以斷定，應(yīng)用多個A-bel粘壺和彈簧，采取合理的結(jié)構(gòu)形式，就可能建立能完全準(zhǔn)確反映BTG塑料合金動態(tài)力學(xué)的物理模型，有待進一步研究.

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Dynamic constitutive model related to temperature，frequency and amplitude for BTG plastic alloy

CHEN Xi-rui1，2，3，GONG Xian-sheng1，2
(1.The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400030，China;2.College of Mechanical Engineering，Chongqing University，Chongqing 400030，China;3.College of Mechanical Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China)

We established dynamic model of modified Kelvin fractional derivative for a new type of plastic alloy BTG based on the classical Kelvin fractional derivative theory.This model describes the modulus of plastic alloy BTG affected by temperature，frequency and amplitude.The experimental data of the storage modulus and loss modulus of the frequency sweep under conditions of constant amplitude 30 μm for several temperatures and amplitude scanning under conditions of constant temperature for several frequency were obtained first，and then the temperature-frequency model and the function model of modulus ratio about amplitude was set up，finally，the dynamic constitutive model about the temperature，frequency and amplitude was presented by the product of temperature-frequency model and function model of modulus ratio.The results show that the dynamic model of modified Kelvin fractional derivative is true and suitable to express the dynamic modulus of plastic alloy BTG.

plastic alloy;storage modulus;loss modulus;fractional derivative;constitutive model

TB302.3;TB332 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1005－0299(2011)05－0120－05

2010－08－09.

重慶市科技攻關(guān)計劃項目(CSTC，2007AC3015);重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室自主研究基金項目(0301002109137);重慶工商大學(xué)青年科研基金資助項目(0752008).

陳希瑞(1974－)，男，博士;

龔憲生(1956－)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

龔憲生，E-mail:chxirui@126.com.

(編輯 程利冬)