桑芝芳 蔣新晨

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇蘇州 215006)

基于 COMSOL軟件下截錐體電阻的計(jì)算

桑芝芳 蔣新晨

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇蘇州 215006)

本文應(yīng)用 Comsol軟件討論了截錐體內(nèi)電勢(shì)和電流的分布,并計(jì)算了截錐體的電阻.

截錐體;電勢(shì);電阻;Com sol軟件

1 引言

穩(wěn)恒條件下導(dǎo)體內(nèi)電勢(shì)、電流的分布,不規(guī)則或不均勻?qū)w電阻的計(jì)算等問題是電磁學(xué)教學(xué)的基本問題.在電磁學(xué)教材[1,2]中就有關(guān)于求解截錐體電阻的習(xí)題,甚至在 2009年江蘇省高考卷中也以實(shí)驗(yàn)題的形式出現(xiàn)了這樣的問題.另外,有一些微電子器件呈錐體形狀,例如真空微電子器件中最常用的陰極就是尖錐,其電阻可影響尖錐的場(chǎng)致發(fā)射特性.因此對(duì)截錐體中電勢(shì)、電流的分布以及截錐體電阻等問題的討論不僅對(duì)電磁學(xué)教學(xué)有很好的參考價(jià)值,而且也有一定的實(shí)際意義.電磁學(xué)教材中主要應(yīng)用公式求解截錐體的電阻,這種方法在截錐體兩端面半徑近似相等 (即截錐體近似于圓柱體)時(shí)是一種比較好的近似方法;但兩端面半徑相差較大時(shí),該方法誤差就較大,不夠準(zhǔn)確.要嚴(yán)格求解截錐體電阻,首先是要解決一個(gè)關(guān)于電勢(shì)φ的邊值問題,然后再應(yīng)用電勢(shì)、電流和電阻的關(guān)系求出電阻.事實(shí)上要得到這一問題的解析解非常困難,一般只能通過數(shù)值方法求解.文獻(xiàn)[3]提出了用差分法求解的思路與步驟,但比較煩瑣.本文應(yīng)用 Comsol軟件可方便、形象地顯示出截錐體內(nèi)電勢(shì)、電流的分布,從而求出電阻.

2 求解截錐體電阻的理論模型

問題如圖1所示,截圓錐體電阻率為ρ;長(zhǎng)為 L;兩端面的半徑分別為 a、b;試計(jì)算此錐體兩端面之間的電阻.

方法 1應(yīng)用公式求解,截錐體的電阻為

此方法相當(dāng)于將截錐體看成垂直于軸的一系列薄片串聯(lián)而成,若在兩端面加上一定的電勢(shì)差,則在截錐體內(nèi)的等勢(shì)面為垂直于軸的一系列平面,電流將平行于軸向流動(dòng),如圖2所示,這顯然不妥.尤其在兩端面半徑相差較大時(shí),會(huì)產(chǎn)生較大誤差.

方法 2通過邊值問題求解.若在截錐體兩端加上恒定的電勢(shì)差,則導(dǎo)體內(nèi)有恒定電流 (設(shè)恒定電流密度為 J),由恒定電流條件有Δ·J=0,又根據(jù)歐姆定律所以有由于截錐體材料均勻,電阻率ρ為常數(shù),所以Δ·E=0,其中 E為導(dǎo)體內(nèi)部恒定電場(chǎng)強(qiáng)度.恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)類似,與電勢(shì)φ的關(guān)系為 E=-Δφ,所以導(dǎo)體內(nèi)部電勢(shì)φ滿足拉普拉斯方程

在邊界上滿足邊界條件,因而兩端面上有

其中,φa,φb分別為 x=a,x=b兩端面上的電勢(shì),側(cè)面上有

其中 n為導(dǎo)體側(cè)面的外法線方向.

求解上述邊值問題,可得到導(dǎo)體內(nèi)部的電勢(shì)分布,根據(jù)歐姆定律,導(dǎo)體內(nèi)部的電流密度為 J=通過導(dǎo)體任一截面的總電流為

從而求得導(dǎo)體電阻為

3 用 Comsol軟件求解截錐體電阻

上述邊值問題是一個(gè)關(guān)于電勢(shì)φ的橢圓形方程的邊值問題,用解析法求解非常困難,本文用Comsol軟件可方便地求解上述問題.

Comsol Multiphysics(簡(jiǎn)稱 Com sol)是一款大型的高級(jí)數(shù)值仿真軟件,目前廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究、教學(xué)研究以及工程計(jì)算中,它具有高效的計(jì)算性能,實(shí)現(xiàn)了任意多物理場(chǎng)的高度精確的數(shù)值仿真.Comsol省去了繁雜的轉(zhuǎn)換和編程過程,提供了現(xiàn)成的求解模塊來對(duì)問題進(jìn)行求解.本文利用了其中的AC/DC模塊對(duì)截錐體電阻進(jìn)行了基于有限元的仿真模擬.

具體建模過程 為了全面地獲得截錐體的整個(gè)電勢(shì)、電流分布等物理圖像,我們首先運(yùn)用 AC/DC模塊建立了截錐體電阻的三維模型.方法是:在 Comsol界面下選擇 AC/DC模塊下的子模塊——傳導(dǎo)介質(zhì) DC,并選擇空間維度為 3D.進(jìn)入圖形用戶界面后,運(yùn)用繪圖工具進(jìn)行幾何建模,并設(shè)置求解域電阻率和邊界條件 (為方便起見,截錐體一端面接地,另一端面電勢(shì)為φ0=10V).設(shè)置完畢后,使用自由網(wǎng)格剖分功能初始化網(wǎng)格,并在適度細(xì)化網(wǎng)格后使用共軛梯度求解器求解模型.最后,在 Comsol后處理模式下可以觀察到三維截錐體的電勢(shì)分布、電流分布等一系列的模擬效果圖.

圖3～圖6從不同角度形象、直觀地反映了電勢(shì)、電流的分布規(guī)律,圖3(a)、(b)、(c)分別為=0.3,0.6,0.9時(shí)截錐體的電勢(shì)分布縱截面圖;圖4為時(shí)的切面圖;圖5(a)、(b)分別為=0.05,0.5等勢(shì)面立體圖.從圖中可以看出,它完全符合穩(wěn)恒電場(chǎng)的規(guī)律,結(jié)果是比較準(zhǔn)確的.從圖3～圖5中可以看出,等勢(shì)面不是垂直于軸的平面,而是近似于球冠面,隨著的增大,等勢(shì)面越來越接近于平面.從圖6可以看出,電流并不是沿軸向傳播,在左右兩端面處,電流垂直于端面,在中段電流呈分散形,在側(cè)面與端面交界處,沒有電流線,電流為零.這是由于電場(chǎng)線既要平行于側(cè)面,又要垂直于端面,因此在其交界處電場(chǎng)為零,從而電流為零.

[1] 馬文蔚等.物理學(xué) (中冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,1999

[2] 趙凱華.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1985

[3] 張祖壽.錐形體電阻的計(jì)算[J].大學(xué)物理,1994,(10):12

CALCULATION OF RESISTANCE OF A TRUNCATED CONE CONDUCTOR BASED ON COMSOL SOFTWARE

Sang Zhifang Jiang Xinchen
(College of Physical Science and Technology,Soochow University,Suzhou,Jiangsu 215006)

The distribution of electrical potential and current in the truncated cone was discussed in this paper,by using the Com sol software.The resistance of the truncated cone was also calculated.

truncated cone;electrical potential;resistance;Com sol software

2010-05-12;

2010-09-03)

江蘇省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Q2108703)