管 訓(xùn) 貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系，江蘇 泰州 225300)

一類遞推數(shù)列中的平方數(shù)

管 訓(xùn) 貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系，江蘇 泰州 225300)

設(shè){xn}是滿足遞推關(guān)系x0=1，x1=a＞1，xn+2= 2axn+1?xn的數(shù)列.本文給出了：a=5，9，169以及 9 801時所有可使xn是平方數(shù)的正整數(shù)n.

遞推數(shù)列；平方數(shù)；Diophantine方程；Pell方程；正整數(shù)解；存在性

1 引言及主要結(jié)論

解Diophantine方程的方法很多，其中有一種方法叫遞推數(shù)列法，它是先將Diophantine方程化為遞推數(shù)列(如果可能的話)，然后通過討論遞推數(shù)列的數(shù)論性質(zhì)，再利用各種手段制造矛盾以求得所給方程解的方法.一方面，某些Diophantine方程可以化為遞推數(shù)列來解；另一方面，Diophantine方程的解也可以用來研究遞推數(shù)列.比如，Diophantine方程421x?Dy= 的結(jié)果可在遞推數(shù)列

中得到應(yīng)用.設(shè)a2?1=Db2，D＞0無平方因數(shù)，則(1)的正整數(shù)解是

借助上述結(jié)論，本文證明了如下：

定理設(shè){xn}是滿足遞推關(guān)系x0=1，x1=a＞1，xn+2= 2axn+1?xn的數(shù)列，則當(dāng)a=5時，xn是平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=0, 2；當(dāng)a=9時，xn是平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=0, 1；當(dāng)a=169時，xn是平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=0, 1, 2；當(dāng)a= 980 1時，xn是平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=0, 1.

2 關(guān)鍵性引理

引理1Diophantine方程x4? 6y2= 1僅有正整數(shù)解(x,y) = (7, 20).證明可參見文獻(xiàn)[1] .

引理3Diophantine方程x2? 2y4=?1僅有正整數(shù)解(x,y) = (1, 1)，(239, 13).證明可參見文獻(xiàn)[2] .

引理4Diophantine方程

僅有正整數(shù)解(x,y) = (3, 4).

證明設(shè)(x,y)是方程(2)的正整數(shù)解.若2∣x，則 gcd(x2? 1,x2+ 1)= 1，故(2)給出

這里 (y1,y2)= 1.

但由引理2知，(5)無正整數(shù)解，故(4)給出

再由(6)的前兩式得出x2= 5y12+y22.

解(7)得u2=v2=1，于是x=3，y=4.引理4得證.

用類似于引理4的證明方法可證下述

引理5Diophantine方程x4? 29y2=1僅有正整數(shù)解(x,y) = (99, 1 820).

引理6Diophantine方程x4?Dy2= 1，D＞0且不是平方數(shù)，最多有兩組正整數(shù)解(x,y).證明可參見文獻(xiàn)[3] .

引理7Diophantine方程x4? 1 785y2= 1僅有正整數(shù)解(x,y) = (13, 4),(239, 1 352).

證明因 134?1 785· 42=1，2394? 1 785· 1 3 522=1，故由引理6知，引理7得證.

3 定理的證明

1) 因Diophantine方程x2? 6y2= 1的基本解是(x,y) = (5, 2)，對應(yīng)的遞推數(shù)列為xn+2= 10xn+1?xn，x0=1，x1=5，故由引理1知，a=5時，除開x0=1，x2=49外，無其它的平方數(shù).

2) 因Diophantine方程x2? 5y2= 1的基本解是(x,y) = (9, 4)，對應(yīng)的遞推數(shù)列為xn+2= 18xn+1?xn，x0=1，x1=9，故由引理4知，a=9時，除開x0=1，x1=9外，無其它的平方數(shù).

3) 因Diophantine方程x2? 1 785y2= 1的基本解是(x,y) = (169, 4)，對應(yīng)的遞推數(shù)列為xn+2= 338xn+1?xn，x0=1，x1=169，故由引理7知，a=169時，除開x0=1，x1=169，x2= 57 121外，無其它的平方數(shù).

4) 因Diophantine方程x2? 29y2= 1的基本解是(x,y) = (9 801, 1 820)，對應(yīng)的遞推數(shù)列為xn+2=19 602xn+1?xn，x0=1，x1= 9 801，故由引理5知，a= 9 801時，除開x0=1，x1= 9 801，外，無其它的平方數(shù).

綜上，定理得證.

[1] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989:49-51,172-173.

[2] LJUNGGREN W. Zur Theorieder Gleichungx2+1=Dy4[J].Avh.Norske Vid. Akad.Oslo,1942,1(5):1-126.

[3] LJUNGGREN W. über die Gleichungx4?Dy4= 1[J].Arch.Math.Naturvid.,1942,45(5):61-70.

The Primes in a Family of Recurrence Sequences

GUAN Xun-gui
(Department of Mathematics＆Physics, Taizhou Normal College, Taizhou, Jiangsu 225300, China)

Let{xn}be a sequence which satisfyx0=1，x1=a＞1，xn+2= 2axn+1?xn. In this paper, all positive integersnthat make the formxnto be squares were given whena=5, 9, 169 and 9 801.

recurrence sequence; square; Diophantine equation; Pell’s equation; positive integer solution; existence

O156

A

1673-2065(2011)04-0004-02

2011-04-18

泰州師范高等?？茖W(xué)校重點課題資助項目(2010-ASL-09)

管訓(xùn)貴(1963-),男,江蘇興化人,泰州師范高等專科學(xué)校數(shù)理系副教授.

(責(zé)任編校：李建明英文校對：李玉玲)