李紅偉

(河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南鄭州 450046)

復(fù)變函數(shù)論中冪級數(shù)教學(xué)的探討分析

李紅偉

(河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南鄭州 450046)

闡述了在復(fù)變函數(shù)論冪級數(shù)教學(xué)中,通過介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)前沿問題和與級數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)史,激發(fā)學(xué)生興趣,加深學(xué)生對知識聯(lián)系性的認(rèn)識.

復(fù)變函數(shù)論;冪級數(shù);教學(xué);數(shù)學(xué)史;興趣

1 級數(shù)的重要性

把解析函數(shù)表示為級數(shù)不僅有理論上的意義,而且有實(shí)用的意義.例如,在Rudin所著的《Real and Complex Analysis》[1]中,就是證明了一個關(guān)于冪級數(shù)的等式:

并利用等式(2)證明了劉維爾定理、最大模原理、代數(shù)學(xué)基本定理、柯西不等式等.

冪級數(shù)的應(yīng)用還表現(xiàn)在函數(shù)值的近似計(jì)算上.對于一些比較復(fù)雜的函數(shù),為了便于研究,往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達(dá).多項(xiàng)式函數(shù)是最為簡單的一類函數(shù),因此,多項(xiàng)式經(jīng)常被用于近似地表達(dá)函數(shù),這種近似表達(dá)在數(shù)學(xué)上常稱為逼近.英國數(shù)學(xué)家泰勒在這方面做出了不朽的貢獻(xiàn).其研究結(jié)果表明:解析函數(shù)在一個點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來.因此在一個點(diǎn)的鄰域內(nèi)我們可以用多項(xiàng)式函數(shù)逼近解析函數(shù)到任意精確的地步.因此利用冪級數(shù)可以制造三角函數(shù)表、對數(shù)表等,這在航海、天文和地理學(xué)上有著重要的意義.

關(guān)于逼近論的進(jìn)一步發(fā)展,可查閱Runge[1],Weierstrass,Bernstein等人的一些經(jīng)典結(jié)論[2].冪級數(shù)還可以用來證明歐拉公式,用于定積分的近似計(jì)算,解常微分方程等[3].

2 介紹與級數(shù)相關(guān)的前沿問題,以激發(fā)學(xué)生興趣

美國克雷數(shù)學(xué)研究所列出了7個千禧年數(shù)學(xué)難題[4],解決任一個都有100萬美金的獎勵,其中之一就是黎曼猜想[5],由德國大數(shù)學(xué)家黎曼于1859年提出.我們把泰勒級數(shù)做一下推廣就成為Dirichlet級數(shù)

級數(shù)(4)的收斂域是Res>1.黎曼運(yùn)用路徑積分把它解析開拓到全平面.黎曼猜想Riemannζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面Res=的直線上.如果黎曼猜想被完全證明,整個解析數(shù)論將獲得全面發(fā)展.

3 介紹與級數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)史

3.1 級數(shù)在世界上的發(fā)展歷史

級數(shù)在數(shù)學(xué)中早已出現(xiàn),其最早的形式通常是公比小于1的無窮幾何級數(shù),公元前3世紀(jì)古希臘哲學(xué)家亞里士多德就已認(rèn)識到這種級數(shù)有和.無窮級數(shù)還散見于中世紀(jì)后期數(shù)學(xué)著作中,并被用于計(jì)算變速運(yùn)動物體所走過的路程.

16世紀(jì)、17世紀(jì)的歐洲,文藝復(fù)興帶來了人們的覺醒,資本主義工場手工業(yè)的繁榮和向機(jī)器生產(chǎn)的過渡,促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速發(fā)展.例如在航海方面,為了確定船只的位置,要求更加精密的天文觀測.彈道學(xué)成為軍事方面研究的中心課題,運(yùn)河的開鑿,堤壩的修筑,行星的橢圓軌道理論等,也都需要很多復(fù)雜的計(jì)算.古希臘時期發(fā)展起來的初等數(shù)學(xué)已漸漸不能滿足當(dāng)時的需要了.

隨著航海、天文學(xué)和地理學(xué)的進(jìn)展,迫切要求三角函數(shù)表、對數(shù)表和航海表等的插值有較高的精確度,因此許多插值方法應(yīng)運(yùn)而生.其中牛頓插值公式(或稱格里戈里(Gregory)—牛頓內(nèi)插公式)用了有限差分方法,這一公式由泰勒發(fā)展成把函數(shù)展開成無窮級數(shù)的最有力的方法.泰勒由此引申出一個重要定理:函數(shù)在一個點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來,即(用現(xiàn)在的符號)

泰勒定理的首次正式出現(xiàn)是在1715年版的《正和反的增量法》的第23頁上,作為命題7的第2個推論.但在1712年7月26日泰勒給梅欽的信中已敘述了這一結(jié)果,不過當(dāng)時未給出證明.泰勒用他的定理把函數(shù)展開成級數(shù),得到如正弦函數(shù)及對數(shù)函數(shù)等的標(biāo)準(zhǔn)展式,并用這一方法求微分方程的通解.他還用級數(shù)去解數(shù)學(xué)方程,得到根的近似值,尤其注意到去解根式方程和超越方程.

從現(xiàn)代的觀點(diǎn)來看,泰勒的證明是不嚴(yán)密的,他沒有考慮收斂問題.在半個世紀(jì)里,數(shù)學(xué)家們并沒有認(rèn)識到泰勒定理的重大價值.這一重大價值是后來由法國數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange J L)發(fā)現(xiàn)的.拉格朗日在他1797年的巨著《解析函數(shù)論》中,用代數(shù)方法率先證明了泰勒展開式,并給出了帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒展開式并指出,不考慮余項(xiàng)就不能用泰勒級數(shù).當(dāng)時,被稱為拉格朗日微分中值定理.在此書中他主張用泰勒級數(shù)來定義導(dǎo)數(shù),并以此作為整個微分、積分理論之出發(fā)點(diǎn).泰勒定理的嚴(yán)格證明是在定理誕生一個世紀(jì)之后由柯西(CauchyA L)給出的.柯西的證明于1839年載入他的《關(guān)于級數(shù)的收斂》一書.

1810年前后,法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家傅里葉和捷克數(shù)學(xué)家波爾察諾等人開始確切處理無窮級數(shù).波爾察諾強(qiáng)調(diào)必須考慮級數(shù)收斂性.1811年傅里葉給出了一個無窮級數(shù)收斂的較滿意的定義,它近似于現(xiàn)代教科書中的定義.19世紀(jì)20年代,法國數(shù)學(xué)家柯西在他的《分析教程》一書中給出了至今還沿用的級數(shù)收斂,柯西還研究了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和泰勒級數(shù).

挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾奠定了冪級數(shù)收斂的一般理論,也是第一次給出這種級數(shù)展開式成立的可靠證明,從而解決了在實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分別求冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑的問題.他糾正了柯西關(guān)于連續(xù)函數(shù)為項(xiàng)的一個收斂級數(shù)的和函數(shù)一定連續(xù)的錯誤,還利用一致收斂的思想,正確地證明了“連續(xù)函數(shù)為項(xiàng)的一個一致收斂級數(shù)在收斂域內(nèi)是連續(xù)的”.可惜他當(dāng)時未能從中把一致收斂的性質(zhì)抽象概括出來,形成普遍的概念.

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性概念最初由英國數(shù)學(xué)家斯托克斯和德國數(shù)學(xué)家賽德爾認(rèn)識到,但確切的表述則是由德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯于1842年前后給出的,他提出了級數(shù)理論中關(guān)于一致收斂的概念及其判別準(zhǔn)則,他還建立了逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微積分的條件.魏爾斯特拉斯完全擺脫了幾何直觀,以冪級數(shù)為工具,用嚴(yán)密的純解析推理展開了函數(shù)論.定義解析函數(shù)是可以展開為冪級數(shù)的函數(shù),圍繞著奇點(diǎn)研究函數(shù)的性質(zhì).近幾十年來,復(fù)變函數(shù)論又有很大的推進(jìn).

18世紀(jì),天文學(xué)的發(fā)展(天文現(xiàn)象大都是周期現(xiàn)象)引起了數(shù)學(xué)家們廣泛研究三角級數(shù)并用于天文理論之中.當(dāng)時的著名數(shù)學(xué)家歐拉、克萊羅、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等在這方面都做了不少開創(chuàng)性工作.1729年歐拉著手研究插值問題,1747年他將所得到的方法應(yīng)用于行星擾動理論中出現(xiàn)的一個函數(shù)上,得到了函數(shù)的三角級數(shù)表示.

三角級數(shù)理論進(jìn)一步的發(fā)展歸于1822年法國數(shù)學(xué)家傅里葉的著作《熱的分析理論》的出版.該書基本思想是用特殊的周期函數(shù)(三角函數(shù))表示周期函數(shù),他的工作表明,相當(dāng)廣泛的函數(shù)類都可以用三角級數(shù)表示.這是分析學(xué)在19世紀(jì)的首項(xiàng)重要工作,它不僅使分析方法進(jìn)入新的物理領(lǐng)域,而且擴(kuò)展了函數(shù)概念,推進(jìn)了偏微分方程理論.但他并沒有解決函數(shù)具有收斂的傅里葉級數(shù)的確切條件,經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家柯西和法國數(shù)學(xué)家泊松的努力也沒得到滿意的結(jié)果.德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在一篇題目為《關(guān)于三角級數(shù)的收斂性》論文中給出了傅里葉級數(shù)展開的充分條件——狄利克雷條件.德國數(shù)學(xué)家黎曼在1854年寫的一篇題目為《利用三角級數(shù)表示一個函數(shù)的可能性》的論文中也表明有界可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)在任一點(diǎn)處的收斂性只依賴于在該點(diǎn)鄰域的特性.但是傅里葉級數(shù)收斂與它本身的必要而充分條件的問題并沒有得到解決.此后,在引入了一致收斂概念之后,德國數(shù)學(xué)家海涅對傅里葉級數(shù)的一致收斂進(jìn)行了研究,得出了一些結(jié)論.杜布爾—雷蒙給出了一個連續(xù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)在一個到處稠密的點(diǎn)集上不收斂的例子.對傅里葉級數(shù)收斂點(diǎn)的研究,最終導(dǎo)致康托爾創(chuàng)立集合論.

3.2 級數(shù)在中國的發(fā)展歷史

兩千多年前的《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》都談到算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù).

劉焯(隋朝)結(jié)合天文學(xué)的發(fā)展,創(chuàng)立了等間距二次內(nèi)插法計(jì)算日、月的位置.

張遂(僧一行)采用了不等間距二次內(nèi)插法推算出每兩個節(jié)氣之間黃經(jīng)差相同,而時間距卻不同.這種算法基本符合天文實(shí)際,在天文學(xué)上是一個巨大的進(jìn)步.不僅如此,張遂的《大衍歷》應(yīng)用內(nèi)插法中三次差來計(jì)算月行去支黃道的度數(shù),還提出了月行黃道一周并不返回原處,要比原處退回1度多的科學(xué)結(jié)論.《大衍歷》對中國天文學(xué)的影響是很大的,直到明末歷法家們都采用這種計(jì)算方法,并取得了好的效果.

宋代大科學(xué)家沈括所著的《夢溪筆談》(11世紀(jì)),開創(chuàng)了“會圓術(shù)”(最早的由弦到矢的長度求弧長的近似計(jì)算公式)和“隙積木”(一種級數(shù)求和法).

元代郭守敬與王恂、許衡等人編制了《授時歷》(1280年),應(yīng)用“招差術(shù)”發(fā)明三次函數(shù)的內(nèi)插法.

明末《崇禎歷書》中已經(jīng)介紹了三角函數(shù)表的編造方法,即所謂六宗、三要和二簡法.這種造表法利用普通三角函數(shù)關(guān)系公式推算,相當(dāng)煩瑣,并且也不能算出任意角的三角函數(shù)值.

清代關(guān)于無窮級數(shù)的研究是一個相當(dāng)活躍的領(lǐng)域.清初明安圖以中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)合西方數(shù)學(xué)的成果,論證了三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式和圓周率的無窮級數(shù)表示式等9個公式,成功地解析了9個求圓周率的公式,寫成《割圓密率捷法》一書,一共提出了9個基本方程,列出三角函數(shù)和反三角函數(shù)的冪級數(shù)表達(dá)式,并且計(jì)算出展開式的各項(xiàng)系數(shù),為三角函數(shù)和反三角函數(shù)的解析研究開辟了新的途徑.明安圖在數(shù)學(xué)研究上的這一豐碩成果在中國數(shù)學(xué)史上占有重要地位,被清朝學(xué)者稱為“明氏新法”、“弧矢不祧之祖”.他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)對中國近代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

曾紀(jì)鴻用反三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式求得圓周率的第24位準(zhǔn)確數(shù)字.

在晚清數(shù)學(xué)家中,李善蘭無疑是最杰出的一人.李善蘭的主要數(shù)學(xué)成就有:尖錐術(shù)、垛積術(shù)、素?cái)?shù)論.在西方的微積分未傳入中國的情況下,李善蘭獨(dú)自用尖錐術(shù)發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的定積分公式、二次平方根的冪級數(shù)展開式,以及各種三角函數(shù)、反三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式.他所使用的求對數(shù)的方法,比傳教士帶進(jìn)來的方法要高明、簡捷.

徐有壬(1800—1860)的《測圓密率》和《造表簡法》則對于清代數(shù)學(xué)家關(guān)于三角函數(shù)展開式的研究成果,作了較為全面的總結(jié).此外,戴煦的《對數(shù)簡法》和李善蘭的《對數(shù)探源》,給出了自然對數(shù)的冪級數(shù)展開式.由此可見,清代數(shù)學(xué)家已經(jīng)基本上解決了初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式問題.

通過中外數(shù)學(xué)史的對比,學(xué)生增強(qiáng)了愛國主義信念;通過對一些科學(xué)家事跡的介紹,學(xué)生樹立了追求科學(xué)真理的遠(yuǎn)大理想,淡泊名利;通過一些數(shù)學(xué)理論知識的形成過程,學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)發(fā)展的過程,大膽嘗試,勇于實(shí)踐,不怕失敗,逐步提高.

4 對教材內(nèi)容的處理

結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),和數(shù)學(xué)分析平行的一些結(jié)論往往只敘述而不給出證明,例如柯西收斂準(zhǔn)則、一致收斂級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)、逐項(xiàng)積分定理等;而重點(diǎn)講述了具有復(fù)變函數(shù)特色的一些結(jié)論,例如魏爾斯特拉斯定理、泰勒定理.在數(shù)學(xué)分析中,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)能逐項(xiàng)求導(dǎo)的條件是苛刻的,然而解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)求導(dǎo)的條件卻比較寬松些,結(jié)論更強(qiáng)些,魏爾斯特拉斯定理表明了可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階.雖然在數(shù)學(xué)分析中也提到了泰勒定理,但是由于解析函數(shù)具有無窮可微性,兩者的表現(xiàn)形式不太一樣,證法也不同,筆者還是著重講了泰勒定理的證明,其中也包含了方法論的內(nèi)容.洛朗展式就是對泰勒展式的推廣,證明方法雷同.

此外,在講課時,筆者還經(jīng)常給學(xué)生介紹一些相關(guān)書籍以供參考,教學(xué)生上網(wǎng)查資料等.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,鼓勵學(xué)生對一些疑難問題勇于嘗試,敢于提出自己的猜想,在課堂上跟學(xué)生共同討論、共同進(jìn)步.

[1] RUD IN W.Real and ComplexAnalysis[M].3rd Ed.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2004.

[2] 托德J.函數(shù)構(gòu)造論導(dǎo)引[M].馮慈璜,譯.謝庭藩,校.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1980.

[3] 吳奇峰.冪級數(shù)的若干應(yīng)用[J].韶關(guān)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1994,15(2):41-48.

[4] 郭海鷗.21世紀(jì)數(shù)學(xué)七大難題評述[J].河南教育學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,17(4):10-11.

[5] 張南岳,陳懷惠.復(fù)變函數(shù)論選講[M].北京:北京大學(xué)出版社,1985.

D iscussion and Analysis on Power Series Teaching of Complex Analysis

L IHong-wei

(Departm ent of M athem atics,Henan Institute of Education,Zhengzhou450046,China)

By introducing relevant frontiermathematics problems and mathematics history related to series in power series teaching of complex analysis,stimulate the students’interest and deepen their cognition of knowledge continuity.

complex analysis;power series;teaching;mathematics history;interesting

G642.4

A

1007-0834(2011)01-0051-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2011.01.016

2010-11-10

河南省教育廳自然科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2010B110007)

李紅偉(1981—),女,河南安陽人,河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)系講師.