李麗芳，董秀娟，王 紅，張 友

基于T－S模糊模型的新型非線性系統(tǒng)控制器設(shè)計

李麗芳1，董秀娟2，王 紅3，張 友4

（1.吉林警察學(xué)院信息工程系，吉林長春 130117；2.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧沈陽 110006；3.齊齊哈爾大學(xué)數(shù)學(xué)系，黑龍江齊齊哈爾 161006；4.東北師范大學(xué)計算機科學(xué)與信息學(xué)院，吉林長春 130117）

針對非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題，設(shè)計了一種新型的基于T－S模糊模型的非－并聯(lián)分布補償（PDC）控制器.在控制器設(shè)計的過程中，采用了一種新穎的模糊李亞普諾夫函數(shù)和一種松弛變量技術(shù).這些措施的應(yīng)用可以為控制器的設(shè)計引入更多的自由度，因而可以獲得比以往結(jié)果保守性更小的鎮(zhèn)定條件.由于控制條件是以線性矩陣不等式形式給出的，因此可以很方便地利用Matlab工具箱來進行求解.最后用一個仿真算例驗證了所提方法的有效性.

非－PDC控制律；T－S模糊模型；松弛變量技術(shù)；線性矩陣不等式

0 引言

現(xiàn)實世界中的絕大多數(shù)控制系統(tǒng)具有非線性特征，因而針對各種非線性系統(tǒng)所進行的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定控制的研究具有非常大的研究意義和應(yīng)用價值.自從上世紀(jì)80年代中期以來，T－S模糊模型［1］已經(jīng)成為研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制設(shè)計問題的一種有力工具.由于T－S模糊模型被證明能夠以任意精度逼近定義在緊集上的一個連續(xù)非線性函數(shù)［2］，因此從理論層面上保證了應(yīng)用T－S模糊模型進行非線性系統(tǒng)問題研究的合理性.在基于T－S模糊模型的非線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制研究中，文獻［3］提出了一種被稱為并聯(lián)分布補償（PDC）技術(shù)的模糊狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方法，由此掀起了該研究方向的研究熱潮［4－8］.通常情況下，應(yīng)用這種PDC技術(shù)所得到的鎮(zhèn)定控制條件的保守性都非常大，這也大大限制了T－S模糊模型在該領(lǐng)域的應(yīng)用.正是由于這個原因，文獻［4－8］在如何減少基于PDC技術(shù)的模糊控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件保守性方面做了大量行之有效的研究工作.其中，文獻［4］首次通過引入附加變量技術(shù)把各個子系統(tǒng)之間的相互關(guān)系集中到一個增廣矩陣，得到了保守性較小的鎮(zhèn)定條件；文獻［7］應(yīng)用Polya's定理得到了該問題的一種漸近充要條件，但是，該方法本身固有的缺點使得這種漸近充要條件在本質(zhì)上仍然具有很大的保守性：其所采用的是普通的二次型李亞普諾夫函數(shù)，所得到的結(jié)果屬于常規(guī)的二次型鎮(zhèn)定控制條件.另一方面，模糊隸屬函數(shù)是T－S模糊系統(tǒng)的重要組成部分，在系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制設(shè)計過程中，如何將隸屬函數(shù)的信息考慮進去成為減少結(jié)果保守性的一條有效途徑［9－11］.文獻［12］在利用模糊李亞普諾夫的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種非－PDC狀態(tài)反饋控制律，在設(shè)計過程中考慮模糊隸屬函數(shù)時間導(dǎo)數(shù)界這一有效信息，大大減少了已有結(jié)果的保守性.

本文設(shè)計了一種新型的非－PDC模糊系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器.特別是已有文獻中的非－PDC控制律可以被看做本文提出非－PDC控制律的一種特例.為了進一步減少結(jié)果的保守性，同時提出了一種新型的模糊李亞普諾夫函數(shù)和一種松弛變量技術(shù).這些措施的實施使得在控制系統(tǒng)設(shè)計時能夠更有效的考慮隸屬函數(shù)的有用信息，得到比已有文獻保守性更小的鎮(zhèn)定控制條件.

1 預(yù)備知識

1.1 連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)

首先考慮由如下模糊規(guī)則所描述的連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)［1］：

其中：x（t）∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)變量；u（t）∈Rm為系統(tǒng)控制輸入信號；A i∈Rn×n，B i∈Rn×m；ξ1（t），…，ξp（t）為模糊系統(tǒng)前件變量；r表示模糊規(guī)則數(shù)，Mij（i＝1，2，…，p；j＝1，2，…，r）為模糊集.

該模糊控制系統(tǒng)的總體模型可以表示成：

在已有的模糊控制設(shè)計的文獻中，研究者們通過在設(shè)計中考慮模糊隸屬函數(shù)隨時間的導(dǎo)數(shù)信息來減少控制條件的保守性.通常給出如下假設(shè)條件：

假設(shè)1對于連續(xù)時間T－S模糊控制系統(tǒng)（1），設(shè)定其模糊隸屬函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變換界滿足如下條件［12］：

這里λi為模糊建模時具體確定的實數(shù).

文獻［12］給出了假設(shè)條件（4）在實際應(yīng)用中的合理性與通用性，并且給出具體問題時λi的獲得方法.

1.2 放松性T－S模糊控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定條件

文獻［12］給出了基于非－PDC控制律（3）的放松性T－S模糊控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件，該條件具有比其先前文獻更小的保守性.

那么連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)（1）在非－PDC控制律（3）控制下是漸近穩(wěn)定的.

注釋1文獻［12］在系統(tǒng)設(shè)計中考慮了模糊隸屬函數(shù)信息（4），其所得鎮(zhèn)定控制的保守性比其先前文獻的要??；另一方面，非－PDC控制律（3）和模糊李亞普諾夫函數(shù)的使用也為保守性的減少做了很大貢獻.這也啟迪我們：如果從控制器的結(jié)構(gòu)、模糊李亞普諾夫函數(shù)的選取、松弛變量的引入等方面進行進一步的優(yōu)化設(shè)計，那么就有可能獲得保守性更小的T－S模糊系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件.

2 主要結(jié)果

值得指出的是，已有文獻所得到的模糊控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件的保守性還比較大，這也大大地限制了模糊控制的應(yīng)用范圍.為了進一步減少控制條件的保守性，我們通過設(shè)計一種新型的非－PDC控制律和一個新穎的模糊李亞普諾夫函數(shù)，并且提出一種新的松弛變量技術(shù)，在系統(tǒng)設(shè)計中更加有效的考慮隸屬函數(shù)的有用信息，可以很大程度地減少了所得結(jié)果的保守性，進而擴大T－S模型的應(yīng)用范圍.

設(shè)計如下形式的一種新型非－PDC控制律：

其中矩陣F ij和P ij表示待求的控制增益矩陣.把控制律代入T－S模糊控制系統(tǒng)（2），可以得到T－S模糊控制系統(tǒng)的閉環(huán)表示形式：

于是，若（12）式成立，那么Σ＜0亦成立，也就是說閉環(huán)系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的.于是定理得證.

注釋2定理1通過設(shè)計新型的非－PDC模糊狀態(tài)反饋控制律（5）、模糊李亞普諾夫函數(shù)（13）和一種松弛變量技術(shù)的措施（引入了X和Y ijk等自由矩陣變量）得到了新的T－S模型系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件（7）—（12）.通過這些措施可以進一步減少結(jié)果的保守性.這一結(jié)論也會在下一節(jié)的仿真研究中得到驗證.

3 仿真例子

考慮由如下形式的連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)：

設(shè)置可調(diào)參數(shù)a，b以用來比較定理1與引理1［12］之間的保守性大小關(guān)系.

圖1 引理1的可行域

不失一般性，我們可以在同一假設(shè)條件（4）的情形下分別用定理1和引理1來求解可變參數(shù)a，b的可行范圍.用圖1和圖2分別給出它們所對應(yīng)的鎮(zhèn)定控制可行域（星號表示可行點，其中假設(shè)條件（4）的λi選取為λi＝1.0×10－2）.從圖1和圖2的對比中很容易看出定理1的可行域大于引理1的可行域，也就是說，本文所提出的鎮(zhèn)定控制條件具有更小的保守性.

然后，選擇a＝2，b＝8.0，該點在圖1中是不可行點，但在圖2中是可行的，也就是說只有應(yīng)用定理1才能使得該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.求解線性矩陣不等式（7）—（12），可以獲取新型非－PDC模糊控制律（5）的系統(tǒng)控制增益矩陣.

圖2 定理1的可行域

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

給定系統(tǒng)初始值為x（0）＝［1.2，－0.6］T，圖3給出了在所求得的控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡圖象.可以看出在新型非－PDC控制器作用下閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

4 結(jié)語

本文給出了一種基于連續(xù)時間T－S模糊模型的非線性系統(tǒng)非二次鎮(zhèn)定控制設(shè)計的方法.通過提出新型的非－PDC控制律、新穎的模糊李亞普諾夫函數(shù)和松弛變量技術(shù)，大大減少了所得結(jié)果的保守性.從仿真結(jié)果可以看出本文所提的方法是有效的.

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Novel control synthesis of nonlinear systems based on the T－S fuzzy model

LI Li－fang1，DONG Xiu－juan2，WANG Hong3，ZHANG You4

（1.Department of Information Engineering，Jilin Police College，Changchun 130117，China；2.School of Information and Engineering，Northeast University，Shenyang 110006，China；3.Department of Mathematics，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China；4.College of Computer Science and Information Technology，Northeast Normal University，Changchun 130117，China）

A new kind of non－PDC control scheme has been proposed for dealing with the problem of stabilizing nonlinear systems based on the Takagi－Sugeno fuzzy model.Both a novel fuzzy Lyapunov function and a slack variable technique have been applied in the process of control synthesis.Because more freedom could be introduced in virtue of the above measures，the obtained stabilization condition is less conservative than before.Indeed，all the results proposed in this paper are in terms of linear matrix inequality which is easy to be solved by using the Matlab tools.Finally，a numerical example is also provided to illustrate the effectiveness of the proposed approaches.

Non－PDC control scheme；T－S fuzzy model；slack variable technique；linear matrix inequality

TP 273

120·3040

A

1000－1832（2011）03－0054－06

2011－03－16

國家自然科學(xué)基金資助項目（10971021）.

李麗芳（1970—），女，副教授，主要從事控制論與數(shù)學(xué)教法研究；通訊作者：張友（1971—），男，博士，副教授，主要從事控制論與模式識別研究.

陶 理）