李 杰,齊曉慧

(軍械工程學(xué)院光學(xué)與電子工程系,河北石家莊 050003)

一種特征值隔離的規(guī)則化方法以及特征值估計(jì)的改進(jìn)研究

李 杰,齊曉慧

(軍械工程學(xué)院光學(xué)與電子工程系,河北石家莊 050003)

估計(jì)特征值的分布和大小,不僅在理論上十分重要,而且具有實(shí)用價(jià)值。本文基于Gerschgorin定理,提出了一種利用相似變換進(jìn)行特征值隔離的規(guī)則化方法,給出了特征值能隔離的充要條件,克服了以往方法不具有通用性或者應(yīng)用較為復(fù)雜的缺點(diǎn)。在研究了特征值隔離的規(guī)則化方法基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出了利用非線性規(guī)劃改進(jìn)特征值估計(jì)的方法,使特征值大小估計(jì)更為準(zhǔn)確。

Gerschgorin定理;特征值隔離;特征值估計(jì);相似變換;非線性規(guī)劃

估計(jì)特征值的分布和大小,不僅在理論上十分重要,而且具有實(shí)用價(jià)值。如自動(dòng)控制研究控制系統(tǒng)穩(wěn)定性,需確定系統(tǒng)特征值是否均具有負(fù)實(shí)部;又如,在用迭代法求解線性方程時(shí),為討論其收斂性,需要估計(jì)迭代矩陣的譜半徑是否小于1;再如,在判斷方陣的冪級(jí)數(shù)是否收斂也要看方陣的特征值的模是否小于某一正實(shí)數(shù)。對(duì)特征值分布和大小的估計(jì)已有不少結(jié)果,其中最基本的定理是著名的 Gerschgorin定理[1]。

但是,直接應(yīng)用Gerschgo rin定理有兩個(gè)缺點(diǎn):一是只能得到n階矩陣的特征值被包含在復(fù)平面上的n個(gè)圓盤的并集內(nèi),而不能得到單個(gè)特征值所在的區(qū)域;二是所得的區(qū)域過(guò)大,較為粗略。為解決前一個(gè)問(wèn)題,需進(jìn)行特征值隔離。通常的做法有區(qū)域分析法和相似變換法(兩者還可以結(jié)合列圓盤)[2]。但前者過(guò)于復(fù)雜,不具通用性;而后者停留在試湊階段,在構(gòu)造對(duì)角矩陣D=diag(α1,α2,…,αn)對(duì)特征值隔離時(shí),并沒(méi)有一種規(guī)則化的方法,而且對(duì)矩陣能否隔離也未給出嚴(yán)格的論證和完整的說(shuō)明。為解決后一個(gè)問(wèn)題,需改進(jìn)特征值估計(jì)。這方面已經(jīng)有不少研究成果[3-7]。

本文基于Gerschgorin定理,提出了一種利用相似變換進(jìn)行特征值隔離的規(guī)則化方法,給出了特征值能隔離的充要條件,克服了以往方法不具有通用性或者應(yīng)用較為復(fù)雜的缺點(diǎn)。在研究了特征值隔離的規(guī)則化方法基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出了利用非線性規(guī)劃改進(jìn)特征值估計(jì)的方法,使特征值大小估計(jì)更為準(zhǔn)確。

1 Gerschgo rin定理簡(jiǎn)介及相似變換應(yīng)用于特征值隔離存在的問(wèn)題

1.1 Gerschgorin定理簡(jiǎn)介

圖1

圖2

對(duì)于例1,可以用試湊的方法得到對(duì)角矩陣D,簡(jiǎn)單易行?？紤]如下矩陣:

對(duì)于例2,可以驗(yàn)證,當(dāng)α1=1,α2∈(0.23 0.49),α3∈(0.34 0.38),或α1=1,α2∈(0.28 0.42),α3∈(0.33 0.43),特征值是可以隔離的。但是在這樣一個(gè)范圍取值,用試湊的方法顯然很難得到。

對(duì)該四階矩陣,用試湊法隔離特征值同樣是有難度的。當(dāng)矩陣為五階、六階或者更高階的時(shí)候,試湊顯然不適用。有沒(méi)有一種規(guī)則化方法能確定對(duì)角矩陣各元素范圍使特征值隔離?

對(duì)于例4,找不出一個(gè)對(duì)角矩陣使得特征值隔離。那么,特征值能進(jìn)行隔離的充要條件是什么?

通過(guò)例2、例3和例4可知,用試湊法進(jìn)行特征值隔離具有其局限性及缺點(diǎn),表現(xiàn)在不適用于難以試湊、階數(shù)較高的矩陣以及不能對(duì)特征值能否隔離進(jìn)行判斷。基此,提出隔離的規(guī)則化方法以及能隔離的充要條件,有效地解決了上述問(wèn)題。

2 特征值隔離規(guī)則化方法及算例

下面以三階矩陣為例,給出特征值隔離的規(guī)則化方法。

推廣:對(duì)A=(aij)n×n,構(gòu)造對(duì)角矩陣D=diag(α1,α2,…,αn),其中α1=1,α2,…,αn均為正數(shù),根據(jù)兩圓沒(méi)有公共部分,其半徑之和必小于兩圓心距離,利用上述性質(zhì),可構(gòu)造相應(yīng)的C2n個(gè)不等式,滿足不等式的解必能使特征值隔離。

顯然,若矩陣能隔離,則特征值互異且主對(duì)角線上不含相同元素。順便指出,若行圓盤不能隔離,可以嘗試用列圓盤。

根據(jù)上述規(guī)則化方法,可得如下定理:

【定理】 對(duì)A=(aij)n×n,特征值能隔離的充要條件為構(gòu)造的相應(yīng)C2n個(gè)不等式有解;滿足不等式的解的范圍內(nèi)任意取值,可使特征值隔離。

特征值要隔離,則蓋爾圓不能相交或相互包含,進(jìn)而滿足其半徑之和必小于兩圓心距離,即滿足相應(yīng)的不等式,故定理的成立是顯然的。

3 改進(jìn)特征值估計(jì)的方法

在研究了特征值隔離的規(guī)則化方法基礎(chǔ)上,利用非線性規(guī)劃,可以對(duì)特征值估計(jì)的結(jié)果加以改進(jìn)。利用對(duì)角變換進(jìn)行特征值隔離的本質(zhì)是對(duì)不同的圓分別進(jìn)行相應(yīng)的擴(kuò)大或者縮小,從而實(shí)現(xiàn)不同的圓相互隔離。利用這一點(diǎn),可以考慮單獨(dú)一個(gè)圓與剩下其他圓的關(guān)系,使這個(gè)圓半徑盡量小,同時(shí)不與剩下的其他圓相交或包含,這個(gè)圓所對(duì)應(yīng)的特征值則確定在的一個(gè)較小的區(qū)域內(nèi);依次可以把每個(gè)圓所對(duì)應(yīng)的特征值范圍進(jìn)行縮小,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了對(duì)特征值估計(jì)的改進(jìn)。這種思路按特征值能否隔離,又可分兩種情況討論。

推廣:對(duì)A=(aij)n×n,構(gòu)造對(duì)角矩陣D=diag(α1,α2,…,αn),其中α1=1,α2,…,αn均為正數(shù),在構(gòu)造的個(gè)不等式中按上述思路分別取定n-1個(gè)不等式以及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù),依次求得每個(gè)特征值所在的較小圓盤區(qū)域,改進(jìn)特征值估計(jì)的結(jié)果。

情況2:特征值不能完全隔離,退而求其次,盡可能得到更精確的特征值范圍?？紤]例3,構(gòu)造如下不等式:

得到λ2更精確的范圍;不存在,即不能同時(shí)與另外兩圓分離,此時(shí)可以仍用原來(lái)的(即未經(jīng)相似變換)蓋爾圓作為r3的估計(jì)。雖然上述思路和能隔離情況是一樣的,但考慮到某些情況下(如此例),構(gòu)造的每一組不等式不一定有解,即不一定每一個(gè)圓都能與其他圓分離,此時(shí),盡可能得到能孤立的特征值的精確范圍,一定程度上改進(jìn)了特征值估計(jì)的結(jié)果。

同理,可以適用于任意階矩陣的情形。

4 結(jié)束語(yǔ)

試湊法構(gòu)造對(duì)角矩陣進(jìn)行相似變換簡(jiǎn)單但有其局限性。本文結(jié)合不等式,利用Lingo軟件給出了構(gòu)造對(duì)角矩陣隔離特征值的規(guī)則化方法以及特征值能隔離的充要條件,并利用非線性規(guī)劃對(duì)特征值大小估計(jì)的結(jié)果加以改進(jìn)。實(shí)例證明,本文有其一定的應(yīng)用價(jià)值。結(jié)合不等式的思路能否在廣義特征值、奇異值的估計(jì)中加以運(yùn)用還有待進(jìn)一步研究。

[1] 徐仲,張凱院,陸全等.矩陣論簡(jiǎn)明教程[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[2] 張凱院,徐仲.矩陣論輔導(dǎo)教案[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2007,3版.

[3] 張玉海,朱本仁.關(guān)于對(duì)稱矩陣特征值的估計(jì)[J].高等學(xué)控計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),l993,3:(287-290).

[4] 沈光星,陳婭紅,盧誠(chéng)波.Gerschgorin定理的推廣[J].麗水師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2002,(24):1-3.

[5] 沙吾提·阿吾提.關(guān)于矩陣特征值的估計(jì)方法[J].新疆大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,(29):14-18.

[6] 墮棗匱,趙金中.對(duì)稱矩陣特征值估計(jì)的某些進(jìn)展[J].天津理工學(xué)院學(xué)報(bào),1992,(2):1-7.

[7] 陳筠青,張鐳藩,單鋒.探討矩陣特征值的估計(jì)和定位[J].沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),1998,(15):41-45.

An inerratic method of eigenvalue isolation and research of amelioration of eigenvalue estimate

LIJie,QIXiao-hui

(Department of Optics and Electronics Engineering,Ordnance Engineering College,Shijiazhuang Hebei050003,China)

Estimating the distribution and size of Eigenvalue is very important in theory,and it also has p ractical value.In the paper,a inerratic method of eigenvalue isolation w ith sem blable transfo rmation is p roposed based on Gerschgorin theorem,and the sufficient and necessary conditions of eigenvalue possibly insulated are brought fo rw ard,w hich overcomes fo repassed methods’defects that they aren’t universal or relative comp licated for app lication.Based on the above research of inerraticmethod of eigenvalue isolation,a method of amelio rate eigenvalue estimate w ith nonlinear p rogramm ing is p roposed,w hich makes it more exact to estimate the size of eigenvalue.

Gersichgo rin theo rem;Eigenvalue isolation;Eigenvalue estimate;Sem blable transfo rmation;Nonlinear p rogramming

O241

:A

1001-9383(2011)02-0005-05

2011-02-20

李 杰(1988-),男,湖南省婁底市人,碩士研究生,主要從事復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用.