盧 玥，劉 學(xué) 軍，王 美 珍，甄 艷

基于數(shù)位的相機(jī)徑向畸變參數(shù)計(jì)算

盧 玥，劉 學(xué) 軍，王 美 珍，甄 艷

（南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210046）

相機(jī)畸變是影響基于圖像的幾何量測、三維重建精度的重要因素之一?？臻g中一條直線在透視投影作用下理應(yīng)成為一條直線，但因畸變其構(gòu)象發(fā)生彎曲，通過場景信息中共線點(diǎn)的透視投影不變性可以求解出相機(jī)徑向畸變系數(shù)?？紤]畸變的漸變特性，該文設(shè)計(jì)了基于數(shù)位的相機(jī)徑向畸變參數(shù)解算方法：將相機(jī)一階徑向畸變系數(shù)k1用科學(xué)計(jì)數(shù)法X×10－m表示，依次確定其指數(shù)m及尾數(shù)X，直至滿足精度的設(shè)定，最終求解出k1的值。最后通過模擬和實(shí)例數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行了分析驗(yàn)證。

徑向畸變;相機(jī)標(biāo)定;場景信息;數(shù)位

0 引言

基于圖像的幾何量測、三維重建需要高質(zhì)量的圖像。然而相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、加工和裝配中存在一定誤差，導(dǎo)致所獲取的圖像包含著變形與失真，這些失真雖然不影響成像的清晰度，但卻影響成像的幾何位置精度，因此在成像幾何模型描述中，需考慮相機(jī)鏡頭的畸變因素，特別是對(duì)于大視場、精度高的應(yīng)用場合。

為消除鏡頭畸變所帶來的誤差，需要對(duì)圖像進(jìn)行畸變校正。目前相機(jī)畸變校正的方法主要有兩種：一種是傳統(tǒng)的基于畸變混合模型的標(biāo)定方法，以Tsai、Heikkila等為代表，將相機(jī)內(nèi)外參數(shù)與鏡頭畸變參數(shù)一起進(jìn)行非線性優(yōu)化，這樣雖可獲得高精度的結(jié)果，但缺點(diǎn)是需要通過特定的標(biāo)定模板，獲取特征點(diǎn)的三維坐標(biāo)進(jìn)行標(biāo)定，且非線性優(yōu)化過程復(fù)雜耗時(shí)，其結(jié)果難以保持一致性［1］;另一種是畸變分離的標(biāo)定方法，利用圖像中的場景信息，如直線特征的投影不變性來標(biāo)定相機(jī)的畸變參數(shù)，主要有Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法求解［1－3］、二分法逐漸逼近最短距離求解［4，5］、基于交比不變性的鏡頭畸變參數(shù)標(biāo)定方法［6］等，該類方法僅僅利用圖像信息，標(biāo)定的過程簡單，但非線性優(yōu)化或二分求解一般不能獲得穩(wěn)定解，有時(shí)無解;基于交比的方法則對(duì)圖像內(nèi)容有較高要求。本文采用畸變分離的相機(jī)模型，利用圖像畸變的漸變特性，提出了一種基于數(shù)位的相機(jī)徑向畸變校正方法，以便快速、高效地標(biāo)定相機(jī)的徑向畸變參數(shù)，修正圖像的畸變，進(jìn)而提高三維量測與重建的效率和精度。

1 原理與方法

1.1 相機(jī)畸變模型

相機(jī)的光學(xué)畸變主要分為3類：徑向畸變、偏心畸變和薄棱鏡畸變。Tsai［7］認(rèn)為考慮過多的畸變可能導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜性增加，計(jì)算結(jié)果不收斂反而得不到較高精度，在一般情況下，考慮一階或二階徑向畸變是較好的選擇［8－10］，本文只考慮相機(jī)的一階徑向畸變;周富強(qiáng)等［1］證明，非廣角鏡頭相機(jī)在其主點(diǎn)距圖像中心偏移較小時(shí)，標(biāo)定結(jié)果產(chǎn)生的誤差不大，故本文假設(shè)相片的主點(diǎn)位于圖像中心。徑向畸變會(huì)引起圖像點(diǎn)沿徑向移動(dòng)，離中心點(diǎn)越遠(yuǎn)，其變形量越大。正的徑向畸變導(dǎo)致起點(diǎn)向遠(yuǎn)離圖像中心的方向移動(dòng)，其比例系數(shù)增大，稱為枕形畸變;負(fù)的徑向畸變導(dǎo)致點(diǎn)向靠近圖像中心的方向移動(dòng)，其比例系數(shù)減小，稱為桶形畸變（圖1）。

圖1 徑向畸變類型Fig.1 Radial distortion type

相機(jī)的徑向畸變模型可由下列數(shù)學(xué)公式表示［1，11，12］：

1.2 基于數(shù)位的畸變參數(shù)計(jì)算模型

1.2.1 原理 空間中一條直線在透視投影的作用下，理應(yīng)映射為一條直線，但由于相機(jī)畸變的存在，同一條直線的像點(diǎn)呈曲線分布。給某個(gè)無畸變像點(diǎn)加一個(gè)徑向畸變值k1，該點(diǎn)則會(huì)根據(jù)不同的值發(fā)生不同的徑向畸變;同理，對(duì)有一定徑向畸變的像點(diǎn)，總存在某個(gè)徑向畸變值k1，使其能夠恢復(fù)理論像點(diǎn)的位置。根據(jù)徑向畸變的原理可知，這種像點(diǎn)的位移是漸變的，畸變點(diǎn)在漸變值k1的作用下，距理論點(diǎn)的距離從原始值開始不斷縮小，直至為零后又不斷增大。因此給定k1一個(gè)初始值，使其漸變，當(dāng)畸變點(diǎn)與原始點(diǎn)的距離為零時(shí)，即得到該點(diǎn)的一階徑向畸變值。同理，若圖像中存在一條直線，擬合出經(jīng)過該點(diǎn)陣的直線，并計(jì)算出所有點(diǎn)距離該擬合直線的距離d。給定一個(gè)k1的初始值，使其漸變，當(dāng)畸變點(diǎn)陣至擬合直線的距離的平方和達(dá)極小值（最小值）時(shí)，即可求出一階徑向畸變值k1（圖2），而傳統(tǒng)LM優(yōu)化算法，其設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為每組共線點(diǎn)到擬和直線的距離之和，優(yōu)化使其達(dá)到最小可估計(jì)鏡頭的畸變參數(shù)。

圖2 畸變點(diǎn)陣的校正Fig.2 Distortion correction of collinear points

1.2.2 畸變參數(shù)的數(shù)位計(jì)算法 徑向畸變值k1通?？杀硎緸閄×10－m，其中X為任意實(shí)數(shù)，m為正整數(shù)，表示徑向畸變參數(shù)值k1的數(shù)位?；儏?shù)的確定就是計(jì)算X和m。按照代數(shù)知識(shí)，X可分解為X＝x0＋0.1x1＋0.01x2＋…，xi∈｛0，1，2，…，9｝。因而對(duì)X的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為對(duì)xi的確定。又由于xi只可能存在于0～9之間，故可枚舉確定xi?？紤]到m、xi間的獨(dú)立性，在k1初始值給定情況下，首先確定m，然后依次確定x0，x1，x2，…，直到滿足預(yù)設(shè)精度為止（根據(jù)精度需要設(shè)定）。如此可形成k1序列｛X1，X2，…，Xn｝，由于k1的漸變性，在該序列中必然存在一個(gè)值Xn，使得畸變點(diǎn)陣到擬合直線的距離最小，該值即為k1（圖3）。

圖3 算法示意Fig.3 Algorithm diagram

可通過如下方法確定m和xi：

（1）確定m。當(dāng)畸變值k1為0時(shí)，計(jì)算畸變點(diǎn)陣至擬合直線距離的平方和d1;取x0＝1，m＝5為畸變值的初始值（一般情況下，普通非量測型相機(jī)的畸變量級(jí)在10－8左右，即m＝8），計(jì)算畸變點(diǎn)陣至擬合直線距離的平方和d2;觀察d1和d2變化：如果d1＜d2，說明量級(jí)m過大，須降低一個(gè)數(shù)位，d1不變，d2為m＝m＋1時(shí)對(duì)應(yīng)的距離平方和，重復(fù)上述比較直至d1＞d2;如果d1＞d2，一種情況是此時(shí)d2還在最小值左側(cè)，則m值確定為當(dāng)前值，進(jìn)入下一步計(jì)算，另一種情況是此時(shí)d2在最小值右側(cè)，但仍比d1值小，此時(shí)對(duì)k1加一個(gè)微小值，判斷距離平方和是否增加，如果是，m＝m－1，否則m值確定為當(dāng)前值，進(jìn)入下一步計(jì)算。

（2）確定xi。m確定之后，xi所在的數(shù)位即可確定。首先計(jì)算x0，x0初始值為1，此時(shí)計(jì)算畸變點(diǎn)陣至擬合直線距離的平方和d1;取x0＝x0＋1，計(jì)算畸變點(diǎn)陣至擬合直線距離的平方和d2;觀察d1和d2變化：如果d1＞d2，按照已遞增的x0重復(fù)以上步驟，計(jì)算出d1和d2并繼續(xù)比較，直至d1＜d2;如果d1＜d2，則x0＝x0－1。用相同方法依次計(jì)算x1、x2等值，直至滿足精度需要。

表1給出了一個(gè)求得k1值的示例流程。

表1 示例流程Table 1 Example process

1.2.3 算法流程 根據(jù)以上原理，設(shè)計(jì)出的分?jǐn)?shù)位畸變參數(shù)算法流程如下：

（1）在圖像上提取某條直線上的若干特征點(diǎn)，得到這些特征點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)并用最小二乘法擬合過該點(diǎn)陣的直線。

（3）判斷出畸變類型后，對(duì)每一幅圖像，由先驗(yàn)知識(shí)為其設(shè)定畸變初始值及精度位數(shù)，將相機(jī)一階徑向畸變系數(shù)k1用科學(xué)計(jì)數(shù)法X×10－m表示（X＝x0＋0.1x1＋0.01x2＋…），利用畸變產(chǎn)生的漸變性，依次確定其指數(shù)m及尾數(shù)X。首先設(shè)定畸變初始值1×10－n（n＞m），k1按初始數(shù)位的最小單位1×10－n逐漸累加，觀察點(diǎn)陣距擬合直線的距離平方和d值的變化，若d較原始值縮小，則繼續(xù)給k1一個(gè)1×10－n的增量，若d增大，則該數(shù)位前的系數(shù)確定，降低一個(gè)數(shù)位，并以同樣方法求得該數(shù)位前的系數(shù)，直至滿足精度的設(shè)定，最終求解出k1的值。

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果

2.1 仿真實(shí)驗(yàn)

利用Visio 2003繪制兩張10×9的表格，分別為400×300像素（圖4）和800×600像素，編寫算法對(duì)圖片上各點(diǎn)增加不同的一階徑向畸變值，得到畸變圖像（圖5、圖6）。利用分?jǐn)?shù)位標(biāo)定算法對(duì)畸變圖像進(jìn)行糾正，取30組樣本（圖4中每條標(biāo)號(hào)直線取樣三次），每組15個(gè)點(diǎn)，解算出的畸變值如圖7、表2。由實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，分辨率一定的情況下，畸變值越大，其結(jié)果的精度越高;分辨率不同時(shí)，分辨率越高，同一數(shù)位的畸變值標(biāo)定結(jié)果越好。

表2 仿真實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 2 The statistics of emulational results

2.2 場景實(shí)驗(yàn)

使用Nikon D80型號(hào)數(shù)碼相機(jī)進(jìn)行拍攝，焦距18 mm，分辨率為3 872×2 592像素。取圖像中的12條直線目標(biāo)（圖8），利用本算法和LM優(yōu)化算法分別求解，結(jié)果見表3。從實(shí)驗(yàn)可以看出，該方法與傳統(tǒng)非線性優(yōu)化標(biāo)定方法的標(biāo)定精度相當(dāng)，且結(jié)果非常穩(wěn)定。

圖8 真實(shí)場景圖像Fig.8 Real environment image

表3 場景實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 3 Real environment results

3 分析與討論

3.1 算法分析

分?jǐn)?shù)位求解相機(jī)徑向畸變方法原理簡單：隨著畸變系數(shù)值逐級(jí)累加，畸變量呈遞增或遞減的規(guī)律。與已有的算法相比，該方法更容易實(shí)現(xiàn)且結(jié)果更為穩(wěn)定。二分法求解徑向畸變須設(shè)定最小閾值，在閾值設(shè)定不當(dāng)時(shí)容易產(chǎn)生無解的情況;交比法需要知道圖像中一條直線目標(biāo)上4個(gè)特征點(diǎn)形成的線段比值關(guān)系，不適用于比值關(guān)系未知或者直線目標(biāo)不清晰的情況;而非線性優(yōu)化法需要最小化復(fù)雜的代數(shù)函數(shù)，其結(jié)果也不穩(wěn)定。分?jǐn)?shù)位求解方法則具有以下優(yōu)勢：1）對(duì)場景的要求不高，只需一條直線目標(biāo)就可以進(jìn)行標(biāo)定，具有多條直線目標(biāo)的場景，通過多次計(jì)算取均值即能獲得較為滿意的結(jié)果;2）由于畸變系數(shù)是逐級(jí)累加的，該算法必然有解，且結(jié)果在不同分辨率的圖像下均能保證一定的精度;3）該方法可以根據(jù)需求設(shè)定結(jié)果的精度，而且可以預(yù)估循環(huán)的次數(shù)范圍及算法效率。

3.2 精度與效率

雖然本文采用畸變值累加的原理，但是基于數(shù)位的方法大大減少了循環(huán)次數(shù)。假設(shè)一幅圖像的畸變系數(shù)為1.235E－8，給定的初始值為1E－6，則只需要16次循環(huán)判斷即可解出。算法的效率與設(shè)定的精度位數(shù)n有關(guān)，最小循環(huán)次數(shù)為n＋1（各數(shù)位系數(shù)都為0）;最大循環(huán)次數(shù)為（n＋1）×9左右（各數(shù)位系數(shù)都為9，根據(jù)k1初始值的不同循環(huán)次數(shù)有所偏差）。與非線性優(yōu)化法與二分法相比，本算法不用求解復(fù)雜的非線性方程，雖然循環(huán)次數(shù)較多，但方程求解簡單，計(jì)算量大大減少。

3.3 分辨率對(duì)精度的影響

由一階徑向畸變模型可以得知，某像點(diǎn)所產(chǎn)生的畸變大小與其距離主點(diǎn)的長度有關(guān)。假設(shè)主點(diǎn)位于圖像中心，一幅相片中畸變最大的點(diǎn)在其4個(gè)角點(diǎn)，此時(shí)，像點(diǎn)半徑為圖像對(duì)角線長度的一半。在計(jì)算過程中，像點(diǎn)距主點(diǎn)的距離以像素為單位計(jì)算，因此，圖像的分辨率越高，其產(chǎn)生的像素位移就越大，由以上的仿真結(jié)果可以看出，相同的畸變真值，在分辨率更高時(shí)其標(biāo)定精度越高。手動(dòng)提取圖像中的共線點(diǎn)時(shí)，以一個(gè)像素為最小位移單位，所以圖像的分辨率一定程度上決定了標(biāo)定結(jié)果的精度。

假設(shè)主點(diǎn)位于圖像中心，即x0＝0，y0＝0時(shí)，由畸變系數(shù)k1帶來的像素偏移量為：

故在x或y軸上產(chǎn)生一個(gè)像素的位移時(shí)，k1與像點(diǎn)的x坐標(biāo)或y坐標(biāo)的關(guān)系為：k1x3＝1，或k1y3＝1，由此可以算出，當(dāng)k1確定為某個(gè)數(shù)位的值時(shí)，距離圖像中心某個(gè)范圍內(nèi)的像素沒有變化。例如，當(dāng)k1＝1E－8時(shí)，距圖像中心464像素內(nèi)的像點(diǎn)都不會(huì)產(chǎn)生形變，故如需標(biāo)定1E－8數(shù)位的畸變系數(shù)，其相片的分辨率至少要達(dá)到1 000×1 000像素。

若相片的分辨率不能滿足畸變值本身的精度，不論用任何方法都無法得到真實(shí)穩(wěn)定的標(biāo)定結(jié)果。由于一般非量測相機(jī)的一階徑向畸變值都在1E－8數(shù)位左右，分辨率較高（1 000×1 000像素以上）的圖片或相片會(huì)獲得較好的效果。

4 結(jié)語

畸變分離的相機(jī)模型為分步相機(jī)標(biāo)定奠定了良好的基礎(chǔ)，尤其是基于場景的相機(jī)標(biāo)定，通常圖幅數(shù)量有限，或僅有單幅圖像，該模型將畸變參數(shù)與相機(jī)內(nèi)外參數(shù)分離，使得進(jìn)一步的相機(jī)標(biāo)定可以線性進(jìn)行，簡化了非線性優(yōu)化的難度，也一定程度上提高了標(biāo)定的精度。本文在現(xiàn)有相機(jī)徑向畸變求解算法的基礎(chǔ)上，利用相片產(chǎn)生畸變時(shí)的漸變性，分?jǐn)?shù)位對(duì)相機(jī)的徑向畸變進(jìn)行求解，標(biāo)定過程簡單快捷。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該方法與傳統(tǒng)非線性優(yōu)化標(biāo)定方法的標(biāo)定精度相當(dāng)，且結(jié)果非常穩(wěn)定。針對(duì)畸變系數(shù)存在的漸變性，此種方法還可運(yùn)用至除徑向畸變以外的其他畸變，使得畸變求解的過程更加簡單高效;同時(shí)，這種逐級(jí)累加的方法也為迭代算法提供了一個(gè)新的思路。

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Camera Radial Distortion Parameters Calculation Based on Numerical Digit

LU Yue，LIU Xue－jun，WANG Mei－zhen，ZHEN Yan
（KeyLaboratoryofVirtualGeographicEnvironment，NanjingNormalUniversity，MinistryofEducation，Nanjing210046，China）

Camera distortion is one of the important factors which affect accuracy of geometric measurement and three-dimensional reconstruction based on image.The images of straight spatial lines become curves in perspective projection because of distortion，and we can calculate the radial distortion parameters through the invariability of collinearity of the points on the line.In view of the gradient characteristics of camera distortion，this paper presents a method of camera radial distortion parameters calculation based on numerical digit.First，express first-order radial distortion in scientific notation asX×10－m，then calculate its indexmand mantissaXsuccessively，until it meets the accuracy set before.Finally，simulation experiments and real experiments are presented and they confirmed the correctness and efficient of the method.

radial distortion;camera calibration;scene information;numerical digit

TP75

A

1672－0504（2011）06－0018－05

2011－06- 10;

2011－08－01

國家863計(jì)劃資助項(xiàng)目（2007AA12Z238）;江蘇省高校自然科學(xué)研究重大項(xiàng)目（10KJA420025）

盧玥（1986－），女，碩士，主要研究方向?yàn)橐曨lGIS、交通GIS等。E－mail：kiyota2＠163.com