有這樣一個游戲，規(guī)則如下：盒子里裝有25只球，每人每次抓球的個數(shù)不能超過4個，甲乙兩人輪流抓，誰抓到最后一只球，誰就輸?shù)暨@場游戲.請你幫助乙設(shè)計一個游戲策略，保證其能贏得比賽.再和你的朋友玩玩，看你的設(shè)計是否可行.
　　這是一個很有趣的游戲.如果不懂得其中的數(shù)學(xué)原理，憑感覺懵懵然，在高手面前是必然要失敗的，誰掌握了其中的規(guī)律誰就能掌握游戲的主動權(quán).
　　一、理想的游戲模型
　　規(guī)定：甲先抓，乙后抓.
　　方案一：（1，3）（2，2）（3，1）（4，4）（3，1）（1，0）；
　　方案二：（1，2）（2，1）（3，3）（4，2）（3，3）（1，0）；
　　方案三：（2，4）（3，3）（4，3）（1，4）（1，0）.
　　為什么要讓甲先抓呢？是為了保證乙能獲得主動權(quán).在我們詳盡分析游戲的數(shù)學(xué)原理后，原因自然明白.
　　首先定義一個概念，我們將甲乙輪流抓完一次球的過程，稱為“一個完全抓”，顯然，上述三個方案的最后一個階段（1，0）不是一個完全抓.在一個完全抓里，兩人所抓取的球的總個數(shù)成為一個完全抓數(shù)，用字母M表示.我們假定，整個游戲經(jīng)歷n個階段：（a，b），（a，b），（a，b），…，（a，b），（a，b），a、b分別表示甲、乙在每一個完全抓里抓球的個數(shù)，1≤a≤4、1≤b≤4，且a、b均為正整數(shù)，容易證明2≤a+b≤8，即2≤M≤8且M為正整數(shù).當(dāng)b=0時，乙獲勝.為了簡化研究過程，這里我們令a=1，至于a=2、3、4的情況只有一心求敗者為之，喪失趣味性.由于2≤M≤8，且M為正整數(shù)，故而“完全抓”的組合類型無外乎以下幾種：（1）（1，1）；（2）（1，2）（2，1）；（3）（1，3）（2，2）（3，1）；（4）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）；（5）（2，4）（3，3）（4，2）；（6）（3，4）（4，3）；（7）（4，4）.
　　我們首先研究M=2、3、4、6、8時的情況.并且按照前面的約定令a=1，b=0，即最后一個階段為不完全抓.即乙要贏得比賽便要成為第n-1抓的第二人，這樣應(yīng)當(dāng)遵循“甲—乙—甲—乙”的抓球順序.為了便于讀者理解，我們首先做如下假定，在前n-1個完全抓里的每一個階段，M總等于同一個數(shù)，或M=2，或M=3，或M=4，或M=6，或M=8，而不相互交叉出現(xiàn)，交叉出現(xiàn)的情況之后展開討論.
　　具體說來，包括五種情況.
　?。?）組合一：2×12+1.即甲乙依次重復(fù)（1，1）12次，則最終留下1個，必為甲所得，按照規(guī)則，乙贏得比賽.
　　（2）組合二：3×8+1.即甲乙依次重復(fù)（1，2）或（2，1）8次，則最終留下1個，必為甲所得，按照規(guī)則，乙贏得比賽.
　?。?）組合三：4×6+1.即甲乙依次重復(fù)（1，3）或（2，2）或（3，1）6次，則最終留下1個，必為甲所得，按照規(guī)則，乙贏得比賽.
　?。?）組合四：6×4+1.即甲乙依次重復(fù)（2，4）或（3，3）或（4，2）4次，則最終留下1個，必為甲所得，按照規(guī)則，乙贏得比賽.
　　（5）組合五：8×3+1.即甲乙依次重復(fù)（4，4）3次，則最終留下1個，必為甲所得，按照規(guī)則，乙贏得比賽.
　　很顯然，這五種組合是一種理想的游戲模型，其核心規(guī)律是：
　　M≡0（mod2，4，6，8）.
　　二、游戲的數(shù)學(xué)模型
　　以上討論的幾乎是無障礙的理想方案，事實上在前n-1個完全抓里的每一個階段，M不總等于同一個數(shù)，M=2，M=3，M=4，M=6，M=8，有可能交替出現(xiàn)，更為復(fù)雜的是，有可能夾雜出現(xiàn)M=5或M=7.對于這種情況該如何研究呢？
　　研究發(fā)現(xiàn)，這是一個不定方程的數(shù)學(xué)模型.不妨設(shè)在整個游戲過程中M=8，M=7，M=6，M=5，M=4，M=3，M=2的機會分別為m、m、m、m、m、m、m.易得如下七元一次方程8m+7m+6m+5m+4m+3m+2m=25-1.對于該不定方程整數(shù)解的探討就是對于游戲方案的詮釋.
　　（一）m、m、m、m、m、m、m七個數(shù)中，只有一個不為0.共有5個解，即上面分析的情況.我們做如下約定：為了書寫簡約，下面的m值為0的均省去不寫.
　?。?）m=3?搖?搖（2）w7IcAFPIwdia6yu3kkaTfHiT9DXPxA38iqCHHhinF/A=m=4?搖?搖（3）m=6?搖?搖（4）m=8?搖?搖（5）m=12
　?。ǘ﹎、m、m、m、m、m、m七個數(shù)中，只有兩個不為0.共有27個解.
　?。?）（2）m=2，1m=2，4?搖 （3）（4）m=2，1m=4，8 （5）m=2m=2 （6）m=3m=1
　　（7）m=2m=5?搖 （8）m=2m=3?搖 （9）—（11）m=3，2，1m=2，4，6?搖?搖
　?。?2）—（14）m=3，2，1m=3，6，9 （15）m=4m=1 （16）m=3m=3?搖?搖
　?。?7）（18）m=4，2m=2，7 （19）m=3m=4
　?。?0）—（24）m=5，4，3，2，1m=2，4，6，8，10 （25）—（27）m=6，4，2m=3，6，9
　?。ㄈ﹎、m、m、m、m、m、m七個數(shù)中，只有三個不為0.共有63個解.
　　（1）m=1m=1m=3 （2）m=1m=2m=1?搖 （3）m=1m=1m=2 （4）m=1m=2m=1?搖?搖
　?。?）—（7）m=2，1，1m=1，2，1m=1，1，5 （8）—（9）m=2，1m=1，2m=1，2 （10）m=1m=2m=3?搖?搖
　?。?1）m=1m=1m=4 （12）—（15）m=2，1，1，1m=1，3，2，1m=2，2，4，6
　?。?6）—（18）m=2，1，1m=2，4，2m=1，2，5 （19）m=1m=2m=1 （20）m=2m=1m=1
　?。?1）m=2m=1m=2 （22）m=2，2m=2，1m=1，3 （23）m=1m=1m=4 （24）m=1m=1m=6?搖?搖
　?。?5）m=1m=2m=3 （26）（27）m=2，2m=2，1m=1，3 （28）—（31）m=2，1，1，1m=2，5，3，1m=2，1，4，7?搖?搖
　?。?2）m=1m=2m=2 （33）m=1m=3m=1 （34）（35）m=2，1m=2，2m=1，4 （36）m=1m=3m=2?搖?搖
　?。?7）—（43）m=3，2，2，1，1，1，1m=1，2，1，4，3，2，1m=1，2，4，1，3，5，7 （44）—（46）m=2，1，1m=2，4，2m=3，3，6
　　（47）—（49）m=2，1，1m=2，4，1m=2，1，5 （50）—（52）m=2，2，2m=3，2，1m=1，3，5?搖?搖
　　（53）—（56）m=2，1，1，1m=1，5，3，1m=3，2，5，8 （57）—（63）m=4，3，2，2，1，1，1m=2，2，4，2，6，4，2m=1，3，2，5，1，4，7
　?。ㄋ模﹎、m、m、m、m、m、m七個數(shù)中，只有四個不為0.共有43個解.
　?。?）—（6）m=3，2，2，1，1，1m=1，2，1，3，2，2m=1，2，2，1，3，1m=1，1，2，2，1，4?搖 （7）（8）m=2，1m=1，2m=2，2m=1，2
　　（9）—（12）m=2，1，1，1m=1，2，1，1m=1，2，3，1m=2，1，2，5 （13）m=1m=2m=1m=2 （14）（15）m=2，1m=1，1m=1，1m=1，3?搖
　　（16）—（18）m=1，1，1m=2，1，1m=1，1，3m=3，5，2 （19）—（21）m=2，1，1m=1，2，1m=1，1，2m=1，2，3?搖
　　
　?。?2）（23）m=1，1m=1，1m=2，1m=2，4 （24）m=1m=2m=1m=1 （25）—（27）m=1，1，1m=2，1，1m=1，3，1m=1，1，4?搖
　?。?8）m=1m=1m=2m=1?搖 （29）m=1m=1m=1m=2 （30）（31）m=1，1m=2，1m=2，2m=1，3
　?。?2）（33）m=1，1m=1，1m=3，1m=1，4 （34）m=1m=2m=1m=1?搖 （35）m=1m=1m=2m=1 （36）m=1m=1m=2m=2?搖
　?。?7）（38）m=1，1m=1，1m=2，1m=2，3 （39）m=1m=1m=1m=2?搖 （40）m=1m=1m=1m=3 （41）m=1m=1m=1m=2
　　 （42）m=1m=1m=1m=1 （43）m=1m=1m=1m=1
　?。ㄎ澹﹎、m、m、m、m、m、m七個數(shù)中，只有五個不為0.共有8個解.
　?。?）（2）m=1，1m=1，1m=2，1m=1，1m=1，3 （3）m=1m=1m=1m=2m=1 （4）m=1m=1m=1m=1m=2 （5）m=1m=1m=1m=1m=1
　?。?）m=1m=1m=1m=1m=2 （7）m=1m=1m=1m=1m=1 （8）m=1m=1m=1m=1m=1
　?。﹎、m、m、m、m、m、m七個數(shù)中，只有六個不為0，共有0個解.
　?。ㄆ撸﹎、m、m、m、m、m、m七個數(shù)中，全不為0，共有0個解.
　　需要說明的是，上面解不定方程的過程，由于運用了數(shù)論中數(shù)的整除、奇偶、約數(shù)與倍數(shù)等知識，使得原本很復(fù)雜的解題過程變得較為輕松.
　　三、游戲的排列方案
　　乙要想抓住抓球游戲的主動權(quán)，就應(yīng)當(dāng)讓甲先抓，自己后抓，但是這并不能控制甲在任一個階段的抓球數(shù)目，甲的抓球數(shù)目是隨機的，相反，乙要想獲得最終勝利，反倒要受制于甲前面所抓球的數(shù)目.但不是說，甲抓了1個球，乙就必須抓3個，往更深處探究，抓球游戲是一個指向目標(biāo)的過程性調(diào)控，對思維的發(fā)展訓(xùn)練很有好處.經(jīng)過我的縝密計算，整個游戲（甲先抓，乙后抓）最終獲得（1，0）的所有可行性方案共有2099636種.其中只有一個m≠0的排列方案共1068個，只有兩個m≠0的排列方案共60036個，只有三個m≠0的排列方案共570392個，只有四個m≠0的排列方案共1221900個，只有五個m≠0的排列方案共246240個.只有六個m≠0的排列方案與七個m≠0的排列方案均為0個.
　　下面以m=3，m=1，m=1，m=1的情況為例說明.
　　這個例子說明這個游戲經(jīng)過多（3+1+1+1）個完全抓和最后一個不完全抓（1，0），其中完全抓數(shù)為5、4、3、2的分別出現(xiàn)了3次、1次、1次、1次.比如（1，4）（1，4）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）與（1，4）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）（1，4）及（2，3）（1，4）（1，4）（2，2）（1，2）（1，1）就是不同的排列方案.由于完全抓數(shù)為5的組合有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）四個，
　　完全抓數(shù)為4的組合有（1，3）（2，2）（3，1）三個，完全抓數(shù)為3的組合有（1，2）（2，1）兩個，完全抓數(shù)為2的組合有（1，1）一個，所以在這種情況下會出現(xiàn)46080個不同的排列方案.算法如下：
　　C?4?C?3?C?2?1=46080（個）.
　　同樣一個抓球游戲，如果我們僅僅局限于幾個特殊的排列方案，遵循不變的幾個死套路，那么游戲的趣味性會隨著游戲次數(shù)的增加而蕩然無存.相反，如果我們能夠不失時機地引導(dǎo)青少年挖掘游戲中的數(shù)學(xué)規(guī)律，誰又能否認(rèn)，我們的教育方式下會產(chǎn)生瓦特、愛因斯坦呢？游戲之樂，在于其蘊含規(guī)律；數(shù)學(xué)之樂，在于其無處不在.數(shù)學(xué)老師的職責(zé)就在于引導(dǎo)學(xué)生探尋生活與游戲中的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.