三角問(wèn)題包括三角公式、三角函數(shù)、解三角形等內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)重要考試內(nèi)容之一。在解答三角問(wèn)題中，經(jīng)常遇到一類運(yùn)算量大而且計(jì)算繁瑣的習(xí)題，學(xué)生在計(jì)算時(shí)經(jīng)常有畏難的情緒，結(jié)果不是計(jì)算不出來(lái)便是計(jì)算錯(cuò)誤。有時(shí)為了避免繁瑣的計(jì)算，若能從題目所給條件中抓住其本質(zhì)特征，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，其解答過(guò)程就變得簡(jiǎn)單、快捷、準(zhǔn)確，往往能收到很好的效果。構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是一種比較重要、靈活的思維方式，沒(méi)有固定的模式。在解題中要想用好它，需要有敏銳的觀察、豐富的聯(lián)想、靈活的構(gòu)思、創(chuàng)造性的思維等能力。應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵有二：一是要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合。下面舉例說(shuō)明。
　　1.構(gòu)造直角三角形
　　例1.設(shè)x∈［，］，求證：cscx-ctgx≥-1。
　　分析：由、1聯(lián)想等腰直角三角形，不仿構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形來(lái)研究。
　　證明：作Rt△ABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一點(diǎn)D，記∠CDB=x，則BD=cscx，CD=ctgx，AD=1-ctgx，利用AD+DB≥AB=，可得cscx-ctgx≥-1，等號(hào)僅在x=時(shí)成立。
　　2.構(gòu)造單位圓
　　例2.若0＜β＜α＜，求證：α-β＜tgα-tgβ。
　　分析：構(gòu)造單位圓，借助三角函數(shù)線與三角函數(shù)式的關(guān)系，把數(shù)的比較轉(zhuǎn)化為幾何圖形面積的比較。
　　證明：作單位圓O，AP=β，AP=α，∴PP=α-β，AT=tgβ，AT=tgα，S=tgα，S=tgβ。
　　由于S=α，S=β，
　　∴S=（α-β），S=tgα-tgβ，
　　則S＞S，
　　即（α-β）＜（tgα－tgβ），所以α-β＜tgα-tgβ。
　　3.構(gòu)造相似三角形
　　例3.在△ABC中，已知2b=a+c，且a＜b＜c，∠C-∠A=90°，求sinA∶sinB∶sinC的值。
　　分析：由∠C-∠A=90°可想到相似三角形，根據(jù)相似三角形性質(zhì)及勾股定理來(lái)求出三邊之比。
　　解：在△ABC中，在AB上取一點(diǎn)D，滿足∠ACD=90°，可得∠BCD=∠A，△ABC∽△CBD，得y=，x=。
　　在Rt△ABD中，（c-y）=x+b，又2b=a+c，
　　即得3a-8ac+3c=0，解得a=c，
　　又b=（a+c）=c，所以a∶b∶c=c∶c∶c，
　　得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=（-1）∶∶（+1）。
　　4.構(gòu)造幾何圖形
　　例4.化簡(jiǎn)：tg67°30′-tg22°30′
　　分析：該題無(wú)從直接下手，考慮到22°30′是45°的一半，并且與67°30′互余，可構(gòu)造等腰直角三角形。
　　解：如圖，作等腰Rt△ABC，∠C為直角，
　　作∠BAC的平分線AD，交BC于D，則∠DAC=22°30′，∠ADC=67°30′，且=。
　　設(shè)AC=BC=1，則AB=，故=?圯CD=-1，
　　則tg67°30′-tg22°30′=-=--1=2。
　　5.構(gòu)造對(duì)偶式
　　例5.求值：sin6°sin42°sin66°sin78°
　　解：設(shè)M=sin6°sin42°sin66°sin78°，構(gòu)造N=cos6°cos42°cos66°cos78°，
　　則MN=sin12°sin84°sin132°sin156°=cos78°cos6°cos42°cos66°=N，
　　約去N，得M=，即sin6°sin42°sin66°sin78°=.
　　6.構(gòu)造數(shù)列
　　例6.已知sinA+cosA=，A∈（0，π），求tanA。
　　分析：利用兩個(gè)函數(shù)的和為定值可以構(gòu)造等差數(shù)列。
　　解：∵sinA+cosA==2×，∴sinA、、cosA成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
　　則sinA=-d，cosA=+d.
　　∵sinA+cosA=1，知d=±（d=舍去），
　　當(dāng)d=-，sinA=，cosA=-，
　　∴tanA=-.
　　7.構(gòu)造方程
　　例7.在△ABC中，求證：cosAcosBcosC≤。
　　分析：證明或者解三角不等式可以構(gòu)造方程，運(yùn)用方程的有解的條件及三角函數(shù)的有界性進(jìn)行合適的轉(zhuǎn)化來(lái)進(jìn)行。
　　證明：設(shè)y=cosAcosBcosC，
　　則：2y=2cosAcosBcosC=［cos（A+B）+cos（A-B）］cosC=［-cosC+cos（A-B）］cosC
　　整理得：cosC-cos（A-B）cosC+2y=0，這可視為關(guān)于cosC的一元二次方程。
　　∵∠C為△ABC的內(nèi)角，cosC為實(shí)數(shù)，∴△=cos（A-B）-8y≥0，
　　則8y≤cos（A-B）≤1，得y≤，即：cosAcosBcosC≤。
　　8.構(gòu)造函數(shù)表達(dá)式
　　例8.已知x、y∈［-，］，a∈R，且x+sinx-2a=04y+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）。
　　分析：由x+sinx與2（4y+sinycosy），這兩部分形式完全類似，由此可構(gòu)造函數(shù)形式。
　　解：設(shè)f（t）=t+sint，t∈［-，］，易證f（t）在［-，］上為單調(diào)遞增。又題中條件變?yōu)閒（x）-2a=0f（-2y）-2a=0，得f（x）=f（-2y），所以x=-2y，cos（x+2y）=1。
　　構(gòu)造法解題是一種富有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，一種數(shù)學(xué)形式的構(gòu)造絕不是單一的思維方式，而是多種思維方式交叉、聯(lián)系、融匯在一起共同作用的結(jié)果。上述所列舉的各類思維構(gòu)造，僅是對(duì)構(gòu)造形式的區(qū)分，旨在通過(guò)揭示構(gòu)造法思維方式，教會(huì)學(xué)生如何去構(gòu)造。