摘要：針對離散數(shù)學(xué)教學(xué)中理論與應(yīng)用結(jié)合困難的現(xiàn)狀，為增強(qiáng)學(xué)生對抽象理論及具體應(yīng)用的理解，提出“用實(shí)例增強(qiáng)概念理解”的教學(xué)方法。在講解新概念之前先介紹其應(yīng)用背景，以具體例子闡述其理論細(xì)節(jié)，通過選擇合適的例子，比較前后概念，引導(dǎo)學(xué)生建立完整的知識網(wǎng)絡(luò)。
　　關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；概念；實(shí)例；教學(xué)方法
　　
　　離散數(shù)學(xué)(Discrete Mathematics)，又稱為離散數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(Discrete Mathematical Structures)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，整個(gè)計(jì)算機(jī)學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課[1-2]，同時(shí)也是信息類專業(yè)的重要專業(yè)課程。離散數(shù)學(xué)屬于專業(yè)數(shù)學(xué)的范疇，研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系， 充分描述了計(jì)算機(jī)科學(xué)離散性的特點(diǎn)。計(jì)算機(jī)求解的基本模式是：實(shí)際問題 T 數(shù)學(xué)建模 T 算法設(shè)計(jì) T 編程實(shí)現(xiàn)。離散數(shù)學(xué)識培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)作為問題的抽象模型，進(jìn)而構(gòu)造算法，解決問題。
　　1課程特點(diǎn)與教學(xué)難點(diǎn)
　　離散數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容高度抽象，并且強(qiáng)調(diào)證明問題。它的大多數(shù)應(yīng)用來自于計(jì)算機(jī)科學(xué)，學(xué)習(xí)該課程的學(xué)生超過半數(shù)來自計(jì)算機(jī)專業(yè)。課程的特點(diǎn)決定了離散數(shù)學(xué)是一門既講究基礎(chǔ)理論，又注重實(shí)際應(yīng)用的學(xué)科。課程特點(diǎn)如下，同時(shí)也是教學(xué)的難點(diǎn)[3-7]。
　　1) 內(nèi)容抽象，概念眾多。
　　離散數(shù)學(xué)使用數(shù)學(xué)化的表達(dá)方式，理論性強(qiáng)，邏輯嚴(yán)密。對于學(xué)生而言，從習(xí)慣其表達(dá)方式到熟練運(yùn)用要經(jīng)歷一個(gè)較長的過程。離散數(shù)學(xué)理論表達(dá)的基礎(chǔ)是大量嚴(yán)密的概念，對概念的理解程度決定了對課程內(nèi)容的理解程度。大量抽象的概念也是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要困難。往往在授課過程中，學(xué)生反映對以前的概念不理解，對新學(xué)的知識難以接受。學(xué)生感覺離散數(shù)學(xué)越學(xué)越難，理論在不斷加深。因此要重視對概念的教學(xué)。
　　2) 在后續(xù)課程中應(yīng)用多。
　　離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課，所以教學(xué)安排在大學(xué)低年級，大部分高校從二年級開始離散數(shù)學(xué)的教學(xué)。雖然離散數(shù)學(xué)在很多后續(xù)專業(yè)課中有廣泛應(yīng)用，但是在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的時(shí)候，大部分專業(yè)課尚未開課，所以部分學(xué)生對離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用認(rèn)識不足，學(xué)習(xí)興趣不高。因此在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)，要特別強(qiáng)調(diào)其實(shí)際應(yīng)用性，對抽象的知識要通過實(shí)例來具體化，讓學(xué)生真正看到離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的具體應(yīng)用。
　　針對離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念眾多而且抽象的特點(diǎn)，為了解決學(xué)生因?yàn)楦拍钫莆詹簧钊牒腿狈?shí)際應(yīng)用帶來的學(xué)習(xí)困難，我們特別側(cè)重概念教學(xué)和應(yīng)用引入，提出了以實(shí)例增強(qiáng)概念理解的教學(xué)方法。
　　2實(shí)例化概念教學(xué)方法
　　離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目的是提高學(xué)生對實(shí)際問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的表達(dá)能力，增強(qiáng)解決實(shí)際問題的綜合能力。為了克服教學(xué)中理論和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合的困難，既要注重對理論進(jìn)行細(xì)致分析，又要注重引入實(shí)際應(yīng)用。在教學(xué)中，如果教師能夠?qū)A(chǔ)概念做重點(diǎn)講解，使得學(xué)生具備建模的基本能力，并通過實(shí)例進(jìn)行強(qiáng)化，那么就能有效地提高教學(xué)效果。為了達(dá)到上述目標(biāo)，我們著重對概念的教學(xué)進(jìn)行挖掘，提出了“用實(shí)例增強(qiáng)概念理解”的教學(xué)方法。該教學(xué)法的主要出發(fā)點(diǎn)是讓學(xué)生了解理論如何應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)興趣。通過具體實(shí)例讓基本概念立體化和實(shí)用化，強(qiáng)化具體理論細(xì)節(jié)，通過前后概念的比較形成知識的網(wǎng)絡(luò)化。
　　2.1介紹應(yīng)用背景，提高學(xué)生興趣
　　在我們對學(xué)生的問卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不高的原因之一是對實(shí)際應(yīng)用背景不夠明確。沒有相關(guān)實(shí)際背景的概念僅意味著數(shù)學(xué)符號，印象不夠深刻。針對這個(gè)問題，我們認(rèn)為孤立引入概念的教學(xué)形式，不能提高學(xué)生的興趣，不利于理論知識和實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合。在引入新概念的時(shí)候，應(yīng)該首先介紹其應(yīng)用背景，讓學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的知識有直觀的認(rèn)識。
　　圖論是結(jié)合實(shí)際應(yīng)用最多的一部分內(nèi)容，課本中對相關(guān)內(nèi)容的實(shí)際應(yīng)用背景介紹比較豐富。例如哥尼斯堡七橋問題引出了圖論的起源，通過漫游問題引出歐拉圖和漢密爾頓圖，通過地圖著色直接介紹著色問題等。因此學(xué)生能從課本上了解圖論的一些實(shí)際應(yīng)用。在圖論的教學(xué)中，在介紹完相關(guān)概念后，多引入實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生利用圖論的知識進(jìn)行建模，鍛煉抽取實(shí)際問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的能力。
　　又如，函數(shù)是離散數(shù)學(xué)中集合論的內(nèi)容。雖然高等數(shù)學(xué)中也學(xué)習(xí)過函數(shù)，但是離散數(shù)學(xué)中介紹的函數(shù)更加抽象，覆蓋面更廣。由于這個(gè)特點(diǎn)，大部分學(xué)生感覺其理論性強(qiáng)，對函數(shù)應(yīng)用的理解不夠深入。實(shí)際上，函數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中非常重要而且應(yīng)用十分廣泛，在課堂教學(xué)中應(yīng)該向?qū)W生介紹這部分內(nèi)容。例如，假設(shè)計(jì)算機(jī)需要存儲查詢大量的數(shù)據(jù)，則要確定每個(gè)數(shù)據(jù)的位置。通常，我們建立從存儲表到數(shù)據(jù)編碼的散列函數(shù)，用到最多的就是模n函數(shù)。散列函數(shù)在密碼學(xué)中也被經(jīng)常使用，如產(chǎn)生數(shù)字指紋和其他一些電子資源來驗(yàn)證消息的真實(shí)性等。在教學(xué)中，通過一些實(shí)例建立學(xué)生對抽象內(nèi)容的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
　　2.2講解新概念，注重老概念
　　雖然各個(gè)概念在教科書中獨(dú)立出現(xiàn)，但其內(nèi)容彼此關(guān)聯(lián)。如果在教學(xué)中單獨(dú)講解新概念，而沒有建立新概念與已學(xué)知識的聯(lián)系，那么對學(xué)生而言，這些知識點(diǎn)就是一些孤立的片斷，無法深入理解其內(nèi)容。所以在講解新概念的時(shí)候，要加強(qiáng)與已學(xué)概念的比較，讓學(xué)生建立理論體系的完整印象。
　　例如，“等價(jià)”這個(gè)概念在數(shù)理邏輯和集合論中都出現(xiàn)過，兩者本質(zhì)相同，而定義的方法不一樣，教材中沒有把這兩者聯(lián)系起來講解，大部分學(xué)生將其視為完全不同的概念。在講課的過程中，我們通過前后概念的比較和聯(lián)系，可以對“等價(jià)”進(jìn)行更深入的分析。
　　數(shù)理邏輯研究兩個(gè)命題公式的等價(jià)?！敖o定兩個(gè)命題公式 A 和 B，設(shè)P1，P2，…， Pn為所有出現(xiàn)于 A 和 B 中的命題變元，若對于P1，P2，…，Pn任一組真值指派，A和B的真值都相同，則稱 A和B等價(jià)，記作 A?B。”集合論中考慮等價(jià)關(guān)系。“設(shè)R為定義在集合A上的一個(gè)關(guān)系，若R是自反的，對稱的和傳遞的，則R稱為等價(jià)關(guān)系。