顧恩國，向 蕾，李曉東，李遠平(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院,武漢 430074)

傳統(tǒng)消費者選擇模型[1]假設消費者是完全理性的，即他們充分掌握經(jīng)濟系統(tǒng)的所有信息(如預算和價格)且具有解最優(yōu)化問題的能力和意愿；而且假設消費者對指定商品的偏愛程度是不變的.這些假設對于研究消費者短期行為是合理的，但對于研究消費者長期行為就不恰當.針對這一問題，美國學者阿爾欽在消費者選擇理論中考慮了有限理性思想[2]，描述了在決策機制下，經(jīng)濟代理人通過自適應過程如何做到完全理性.本文在假設消費者對指定商品的偏愛程度隨時間發(fā)生變化，且對指定商品的購買量發(fā)生變化的情況下，建立一個描述消費者的選擇和偏好變化的離散時間動力學模型，然后用映射動力系統(tǒng)的理論[3]分析其正不動點的存在性與穩(wěn)定性，它反映消費者購買量與偏愛程度最終變化狀態(tài).最后分析其可行吸引域，它反映消費者當前購買量與偏愛程度是否合理.

1 模型的建立

(1)

(2)

由Lagrange乘數(shù)法可得:

(3)

令:

(4)

解之得最優(yōu)解應滿足:

(5)

假設消費者不能或不愿意解出上述優(yōu)化問題，而是根據(jù)指定商品的邊際效用相對其它商品邊際效用比值與商品價格之差來確定是否增加指定商品的購買量，即按照自適應過程調(diào)整其在任何時段的購買量[5]：

xt=xt-1+μ[S(xt-1)-p],

(6)

根據(jù)(1)式可以求得:

(7)

方程(6)化為：

(8)

考慮過去的選擇對消費的影響.消費者可能一開始慢慢喜歡某指定商品，經(jīng)過一段時間后又越來越喜歡在過去期間所消費的商品，而傾向于選擇在過去所消費的商品；再經(jīng)過一段時間后對指定商品的偏好趨于穩(wěn)定.因此假設效用函數(shù)(1)中的參變量α隨時間動態(tài)變化[6]滿足：

(9)

綜上所述，描述消費者選擇的動力學模型可以用下面的二維差分方程描述:

(10)

2 正不動點的存在性和局部穩(wěn)定性分析

2.1 正不動點的存在性

(10)式可以寫成映射動力系統(tǒng)形式:

(11)

這里′表示時間遞增一個時段.

令x′=x，α′=α，系統(tǒng)(11)的不動點為下面非線性方程組的解:

(12)

圖1 系統(tǒng)(11)的正不動點存在性的圖像表示

2.2 正不動點的穩(wěn)定性分析和局部分叉

為了討論系統(tǒng)(11)的不動點的穩(wěn)定性，我們考慮系統(tǒng)(11)的Jacobian矩陣：

J(x,α)=

(13)

記正不動點為(x*,α*)，將該點代入(13)式中，得到對應的特征方程為：

(14)

(2)系統(tǒng)(11)不可能發(fā)生Neimark分叉;

圖2 系統(tǒng)(11)關于商品價格p和調(diào)整速度μ的一維分叉圖

下面用中心流形定理討論A1點的局部穩(wěn)定性，首先將系統(tǒng)的不動點平移到原點，則原系統(tǒng)化為：

(15)

于是系統(tǒng)在A1=(28.9,0.1429)處泰勒展開，忽略高階余項得到：

(16)

令X(x)=0.16x2-16.33αx+101.79α2-0.009x3+118.76α3+1.33αx2-19.06α2x，則(16)式的矩陣形式為：

(17)

(18)

(19)

其中

f1(u,v)=0.009u3+0.16u2+0.012u2v-

0.011uv2+0.13uv-0.014v2-0.004v3,

f2(u,v)=(-0.95u3-1.3u2-2.86u2v-

2.61uv-2.86uv2-1.3v2-0.95v3)×10-29.

不妨設中心流形為Mc={(u,v)∈R2|v=h(u),h(0)=0,h′(0)=0}，假設中心流形的函數(shù)形式為：h(u)=c1u2+c2u3+o(u4)，則中心流形必須滿足：h(Au+f1(u,h(u)))-Bh(u)-f2(u,h(u))=0，其中A=-1,B=1.0382×10-27.于是得到：

(20)

(21)

3 全局分析

圖3 當參數(shù)m=800,μ=0.8,k1=7,k2=9時，系統(tǒng)(11)隨著商品價格p變化的可行吸引域

4 結語

本文在假設消費者是有限理性并且對指定商品的偏愛程度隨時間變化的條件下，建立了消費者對指定商品選擇數(shù)量和對指定商品偏愛程度演化的離散動力學模型，并對模型進行了非線性分析.我們發(fā)現(xiàn)指定商品的價格和消費者對指定商品購買量的調(diào)整速度的變化均可以使消費者對指定商品最終的購買量出現(xiàn)混沌波動.價格對消費均衡有明顯的影響，消費者對指定商品最終的購買量隨著價格的增加而減少，價格增加到一定水平后消費者對指定商品購買量出現(xiàn)隨機波動，可行吸引域的面積也隨價格的增加而減小，并且吸引子與可行吸引域的邊界的距離也隨價格增加而減小，因此商品價格的增加不利于消費者做出合理的選擇.

[1]Marimon R.Learning from learning in economics[J].Economics and Econometrics :Theory and Applications，1997(1):278-315.

[2]Alchian A A.Uncertainty,evolution,and economic theory [J].Journal of Political Economy,1950 (58): 211-221.

[3]Bischi G I,Naimzada A.Global analysis of a nonlinear model with learning [J].Economic Notes,1997 (26):143-174.

[4]姜啟源，謝金星，葉 俊.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社，2007: 72-74.

[5]D’Orlando F ,Rodano G.Fondamenti teorici dell’ipotesi di razionalità: il ruolo dell’esperienza [J].Economia Politica,2006(23):425-452.

[6]Bischi G I ,Tramontana F.Basins of attraction in an evolutionary model of boundedly rational consumers [J].Pure Mathematics and Applications,2005,16(4):345-363.

[7]Elaydi S N.Discrete chaos [M].BocaRaton: Chapman & Hall/CRC,2000:153-168.

[8]Jury E I.Inners and stability of dynamic[M].New York: Wiley,1974:85-134.

[9]Gu Enguo.Global analysis of an ecological populational model with an external interference [J].Chaos Solitions and Fractal,2007(32): 224-233.

[10]Gu Enguo.Global bifurcations of domains of feasible trajectories: analysis of a predator-prey model [J].Int J of Bifurcation and Chaos,2006,16 (8): 2601-2613.