杜先存,史家銀，趙金娥

(1.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199；2.云南藝術(shù)學(xué)院 藝術(shù)文化學(xué)院，云南 昆明 650033；3.紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)系，云南 蒙自 661199)

關(guān)于Pell方程x2-Dy2=±1(D是非完全平方的正整數(shù))的整數(shù)解問題,文獻[1-4]已有一些結(jié)果,而關(guān)于Pell方程x2-aby2=-1(ab是非完全平方的正整數(shù))的整數(shù)解問題,文獻[6-8]已有一些結(jié)果.文獻[7]利用奇偶性、同余性和Legendre符號的性質(zhì)等給出了p>3是一個Fermat素數(shù)時,Pell方程x2-5py2=-1有正整數(shù)解.本文則利用奇偶性、同余性和完全平方數(shù)的性質(zhì)等將文獻[7]的方程x2-5py2=-1中的條件“p>3是一個Fermat素數(shù)”推廣到“p為5n±2(n≡-1(mod4))型的素數(shù)”,即探討Pell方程x2-5(5n+2)y2=-1與x2-5·(5n-2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n-2為素數(shù))的解的情況.

1 主要結(jié)論

定理1 Pell方程：

x2-5(5n+2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n+2為素數(shù))

(1)

有正整數(shù)解.

定理2 Pell方程:

x2-5(5n-2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n-2為素數(shù))

(2)

有正整數(shù)解.

2 定理證明

2.1 定理1證明

證明設(shè)(x0,y0)是x2-5(5n+2)y2=1的基本解,若x0為偶數(shù),則x02≡0(mod4).

因為n≡-1(mod4),令n=4k-1(k∈Z+),則5(5n+2)=5[5(4k-1)+2]=100k-15=4(25k-4)+1,故有:

x02-5(5n+2)y02≡-y02(mod4)

(3)

若y0為偶數(shù),則y02≡0(mod4),故(1)為x02-5(5n+2)y02≡0(mod4)；

若y0為奇數(shù),則y02≡1(mod4),又4(25k-4)+1≡1(mod4),故式(1)為x02-5(5n+2)y02≡-1(mod4).

由x02-1=5(5n+2)y02,得(x0-1)(x0+1)=5(5n+2)y02,所以有:

(4)

(5)

故式(5)的解只可能為以下4種情況：

上面4種情況可表為：

甲：u2-5(5n+2)v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+)，乙：5u2-(5n+2)v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+)，

丙：(5n+2)u2-5v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+)，丁：v2-5(5n+2)u2=-1,y0=2uv(u,v∈Z+).

若甲成立，則有u2-5(5n+2)v2=1,故(u,v)為x2-5(5n+2)y2=1的解,又y0=2uv(u,v∈Z+),則0

若乙成立,則有：

5u2-(5n+2)v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+),

(6)

式(6)兩邊取模5,得：-2v2≡1(mod5)，即(2v)2≡-2≡3(mod5)，則有：

(2v)2=5m+3(m∈N),

(7)

若式(6)有正整數(shù)解，則式(7)有正整數(shù)解.又式(7)右邊5m+3(m∈N)的末尾只能為3,8，而式(7)左邊末尾只能為0,4,6，故式(7)無正整數(shù)解，所以式(6)無正整數(shù)解，故乙不成立.

若丙成立,則有：

(5n+2)u2-5v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+),

(8)

式(8)兩邊取模5,得：2u2≡1(mod5)，即(2u)2≡2(mod5)，則有：

(2u)2=5m+2(m∈N).

(9)

若式(9)有正整數(shù)解，則式(8)有正整數(shù)解.又式(9)右邊5m+2(m∈N)的末尾只能為2,7，而式(9)左邊末尾只能為0,4,6，故式(9)無正整數(shù)解，所以式(8)無正整數(shù)解，故丙不成立.

綜上甲、乙、丙都不對,余下的只有丁成立,此時：

v2-5(5n+2)u2=-1,y0=2uv(u,v∈Z+).

(10)

故(v,u)為式(10)的一組解，即為方程(1)的一組解,又u,v∈Z+,所以方程(1)有正整數(shù)解.

2.2 定理2證明

由x02-1=5(5n-2)y02,得(x0-1)(x0+1)=5(5n-2)y02,所以有：

(11)

(12)

上面4種情況可表為：

戊：u2-5(5n-2)v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+)，己：5u2-(5n-2)v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+),

庚：(5n-2)u2-5v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+)，辛：v2-5(5n-2)u2=-1,y0=2uv(u,v∈Z+).

若戊成立,則有u2-5(5n-2)v2=1,故(u,v)為x2-5(5n-2)y2=1的解,又y0=2uv(u,v∈Z+),則0

若己成立,則有：

5u2-(5n-2)v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+)

(13)

式(13)兩邊取模5,得：2v2≡1(mod5)，即(2v)2≡2(mod5)，則有：

(2v)2=5m+2(m∈N)

(14)

若式(13)有正整數(shù)解，則式(14)有正整數(shù)解.又式(14)右邊5m+2(m∈N)的末尾只能為2,7，而式(14)左邊末尾只能為0,4,6，故式(14)無正整數(shù)解，所以式(13)無正整數(shù)解，故己不成立.

若庚成立,則有：

(5n-2)u2-5v2=1,y0=2uv(u,v∈Z+).

(15)

式(15)兩邊取模5,得：-2u2≡1(mod5)，即(2u)2≡-2≡3(mod5)，則有：

(2u)2=5m+3(m∈N).

(16)

若式(15)有正整數(shù)解，則式(16)有正整數(shù)解.又式(16)右邊5m+3(m∈N)的末尾只能為3,8，而式(16)左邊末尾只能為0,4,6，故式(16)無正整數(shù)解，所以式(15)無正整數(shù)解，故庚不成立.

綜上戊、己、庚都不對,余下的只有辛成立,此時：

v2-5(5n-2)u2=-1,y0=2uv(u,v∈Z+).

(17)

故(v,u)為式(17)的一組解，即為方程(2)的一組解,又u,v∈Z+,所以方程(2)有正整數(shù)解.

[1] 鄭惠,楊仕春.關(guān)于Pell方程x2-Dy2=-1可解性的一個判別條件[J].西南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011,37(4):48-50.

[2] 柳楊.關(guān)于不定方程x2-Dy2=-1的解的確定[J].云南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2006,15(2): 91-92,95.

[3] 劉清,陳秉龍.關(guān)于Pell方程x2-Dy2=±1的解法[J].農(nóng)墾師專學(xué)報，1997(4):53-56.

[4] 鄧波.關(guān)于Pell方程x2-dy2=-1的幾個結(jié)果[J].貴州科學(xué)，1994,12(4):64-66.

[5] 陳克瀛.Pell方程x2-2py2=-1(p≡1(mod8)是素數(shù)[J].溫州師范學(xué)院學(xué)報，1998(3):1-4.

[6] 陳克瀛.關(guān)于Pell方程x2-2py2=-1[J].溫州師范學(xué)院學(xué)報，1996(6):17-19.

[7] 管訓(xùn)貴.關(guān)于Pell方程x2-5py2=-1[J].西安文理學(xué)院學(xué)報，2010(3)：32-33.

[8] 杜先存.Pell方程ax2-by2=1有最小解[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,30(1):35-38.