朱光艷

(湖北民族學(xué)院 預(yù)科教育學(xué)院，湖北 恩施 445000)

1 引言及引理

設(shè)R表示整環(huán)；Rm×n表示R上的m×n矩陣集；ρ(A)表示矩陣A的秩；R(A)和N(A)分別表示A的值域和零空間，規(guī)定Moore-Penros逆定義中的對(duì)合即是恒等.若無特別說明下面考慮的都是R上的矩陣

引理2[2]對(duì)于整環(huán)R，下列條件等價(jià)：

i)R射影自由；

2 主要結(jié)果

GAX=0,XGA=0,X2=X,ρ(X)=n-s

(1)

存在唯一的m×m矩陣Y使得：

YAG=0,AGY=0,Y2=Y,ρ(Y)=m-s

(2)

存在唯一的n×m矩陣Z使得：

(3)

(4)

(5)

定理2 設(shè)A為射影自由的整環(huán)上的m×n矩陣，ρ(A)=r且A是冪等矩陣，若A+存在，則存在惟一的n×n矩陣X使得：

AX=0,X*=X,X2=X,ρ(X)=n-r

(6)

存在唯一的m×m矩陣Y使得：

YA=0,Y*=Y,Y2=Y,ρ(Y)=m-r

(7)

存在唯一的n×m矩陣Z使得：

(8)

其中Z即為A的Moore-Penrose逆A+, 且X=I-A+A,Y=I-AA+.

定理3 設(shè)R為射影自由的整環(huán)，A∈Rn×n,其中Ind(A)=k，ρ(Ak)=r且Ak是冪等的，若A的Drazin逆AD存在，則存在唯一的矩陣X使得:

AkX=0,XAk=0,X2=X,ρ(X)=n-r

(9)

存在唯一的矩陣Z使得:

(10)

其中矩陣Z即為A的Drazin逆AD，且:

X=I-ADA=I-AAD

(11)

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