O.N.Kirillov

1 前言

大家知道，制動器內自激振動作為制動器噪聲現象是對現代轉子動力學的一個挑戰(zhàn)性的問題（見例如 Kinkaid等（2003），Ouyang等（2005），Chen等（2006）和Hoffmann和Gaul（2008）的有關綜述），因為“它的可靠地再現或甚至預測…一直是不可能的”（Ostermeyer和Müller 2008）。制動器元件如轉子和摩擦襯塊結構的改進對直接消除制動器噪聲傾向被認為是一個明顯的消極對抗措施，見實例Abu Bakar等（2008），Penninger和Swift（2004）以 及Fieldhouse等（2004，2008）。然而，直到推廣以試湊法（‘trial－and－error’）為基礎才試圖找到完善的制動器（Ostermeyer和Müller，2008）。

有些研究工作已經檢測了在摩擦接觸方面回轉轉動彈性體的簡單模型，數值研究了相對于摩擦襯塊幾何學的突發(fā)自激振動。Xiong和Hutton（1994）已經研究了一轉動圓繩索用支點和分配約束彈簧發(fā)現彈性支承的弧長是一確定的因素，它為Campbell圖線（Campbell，1924）固有值分支的交叉轉變?yōu)楸苊饨徊妗３龜_動彈簧外在亞臨界速度范圍內保持穩(wěn)定，注意到高選擇性的彈性支承的影響，許可一個預期用分散的和非守恒的力考慮摩擦襯塊的結構改進，同樣在Campbell線圖內雙固有值位置附近更容易激勵－特殊的模式。在最近研究中，Kang等（2008）用有限摩擦接觸區(qū)對一薄盤模型內突發(fā)噪聲，用證實接觸間隔角選擇特性確認該期望值。Fieldhouse等（2008）和Oura等（2008）的實驗研究提示了摩擦導致對接觸壓力分布和剛度波動不穩(wěn)定性的靈敏度。

為制動器部件合理設計需要，以及在摩擦襯塊摩擦學特性方面的不可避免的不確定性，造成它合理地相對于穩(wěn)定性準則作為一非守恒的結構優(yōu)化問題，察看一制動器的多參數穩(wěn)定分析。然后該價值函數是在突發(fā)噪聲或甚至固有值本身一個關鍵的完全可測參數的臨界值，而設計可變的是這些描述的摩擦襯塊的材料和幾何學特性。我們必需知道在設計方面改變要造成使影響所述振動模式的穩(wěn)定性，以及確定相應固有值的實際部分到復雜平面的左邊。

最近Ougang（2008）的研究展示，在摩擦導致振動問題方面，用質量，剛度和阻尼改進使系統(tǒng)穩(wěn)定確定固有值的實際部分是十分困難有時甚至是不可能的。大家知道，不論在結構優(yōu)化問題方面的主要障礙如何，價值函數相對設計可變而論是不光滑的（Segranian等1994）；在非守恒問題方面該函數附加非凸（Kirillov和Seyranian，1998）。函數的奇點，頻率和多固有值，復雜的相當大的穩(wěn)定性范疇的幾何學有關。因此，多固有值的靈敏度分析，以及相應穩(wěn)定性界限的奇點的分析，在非守恒系統(tǒng)具有摩擦導致振動必需要求正確解決結構優(yōu)化問題。

2 盤制動器作為軸對稱轉子和各向異性定子

線性穩(wěn)定性分析已廣泛用于可以認為是盤制器的轉子系統(tǒng)動力學方面的預測可能穩(wěn)定性。轉子和定子缺點的存在造成非伴隨與時間有關系數線性運動方程式的算子，使穩(wěn)定性分析相當復雜（Lee等2007）。然而一個軸向對稱的轉子和各向異性的定子以及一個不對稱的轉子和各向同性的定子可以描述作為一個自調非恒定的陀螺系統(tǒng)（Genta，2007）。除研究通氣孔盤或用特殊加工的對稱斷面圓形的盤外（Fiedhouse等，2004）外，該軸對稱轉子和各向異形定子的模型，對描述盤制動器以及其他摩擦接觸如鼓式制動器或光滑諧波反映回轉的聲發(fā)射轉動彈性體的描述是合適的（Kirillov，2008a）。

當不采用制動器摩擦襯塊時，該不受干擾的系統(tǒng)假定各向同性，轉子采用常轉速Ω，它可以用一標準的無因次方式程式來描述（Genta，2007）

采用Z＝R2n和＝diag（1，1，…，1），＝diag（1，2，…，n），＝diag（ω21，ω22，…，ω2n）和＝diag（c21，c′2，…，c2n），同 樣 見 Spelsberg－Korspeter等（2009），Kirillov（2008b）研究把方程式（1）變?yōu)椋?維普遍式。

在停止狀態(tài)系統(tǒng)的固有值iws是具兩線性獨立固有矢量雙半單的，成對ws的分布作為積分指數s的函數，通常對回轉變體是不同的。例如，ws＝s相應為半徑r的圓索的自然頻率，p為圓周力，ρ為單位長度質量密度（Xiong和Hutton，1994）。該成對模塊的自然頻率具有一個節(jié)圓和s個節(jié)徑，h為盤放松環(huán)厚度，b為內徑，a為外徑，ρ為單位體積質量，ν為泊松比，E為相對于無因次固有值常量ωs的彈性模量，對于給定的泊松比和半徑比b/a可以求出數值解，根據Gabrielson（1999）對于ν＝0.3和b/a＝0.1，該首要兩常數ω1＝5.260和ω2＝6.077 9。注意在實驗中噪聲常與轉子振動模式有關，恰好有非零數節(jié)徑（Fieldhouse和Beveridge，2000）。

以下我們建議考慮式（1）成為一新的當量形式，它明確成對表示

式中X＝R2n，P＝diag（ω21，ω21，ω22，ω22…，ω2n，ω2n）＝PT是轉子的剛度矩陣，C＝diag（C21，C21，C22，C22…C2n，C2n）是離心力剛度矩陣，G＝－GT是回轉力，確定如下

把X＝uexp（λt）代入式（2）分離時間，我們求得固有值問題對矩陣運算L0

稀疏矩陣G和P的空間交叉結構的結論，求固有值L明顯找出如

以上符號為復雜成對指出。轉動造成雙模塊±iωs分開，單固有λ±s的新生一對相應于波動向前和向后移動，它沿圓周方向傳播。從固定觀察，當自旋增加時向前移動波動頻率出現增加，向后移動波動出現減少。雙固有值從而再引起非零角速度，形成在Campbell圖“頻率”相對“角速度”平面內橫向頻率曲線的頻譜濾過節(jié)點（Kirillov，2008b）。

該角速度

sth向后移動波動的頻率消失到零（λs±＝＝0），所以該波動保留于非轉動的機架上。Campbell（1924）稱這些為速度臨界而Genta（2007）把它們歸為不穩(wěn)定的臨界值（偏差）。我們確定該速度之一為臨界值并概指為Ωcr。當轉速超過臨界速度時，有些向后波動相應于固有值移動慢于盤轉速而看來好象向前移動（折回波動），折回波動的有效能量是負的，而向前和向后移動波動是正的。因此，在亞臨界區(qū)｜Ω｜＞Ωcr，所有相應于相同符號的向前和向后模式頻率曲線的交叉。在亞臨界速度區(qū)間｜Ω｜＞Ωcr，用折回和相反符號的向前/向后模式形成現存的交叉。作為基礎Krein理論（Mackay，1986）的結果，在避免擾動下，運動方程的Hamiltoian結構在亞臨界區(qū)交叉方面變成為避免交叉（穩(wěn)定），在超臨界區(qū)，有混合符號的交叉變成復雜固有值環(huán)一不穩(wěn)定泡沫（Mackay，1986）一振動，大家知道也可作為質量和剛度不穩(wěn)定（Mottershead，1998），或作為“具有作用于盤轉動平面垂直方向的靜態(tài)力的共振”（Genta，2007）。

超臨界振動發(fā)生于高速，實用的如渦輪機，圓盤鋸和計算儲存設備，在亞臨界振動一值得注意的是在低速不穩(wěn)定源如音樂設備，象風鳴玻璃器皿和玻璃諧波，或不合需要的如噪聲盤制動器和鼓制動器是難以預知的現象。

下面采用復雜固有值的波動理論，我們指出固定值分支在亞臨界區(qū)很好分開避免交叉，由于定子剛度變化造成它們可強制彎曲，因不定阻尼使正值部分復雜固有值的弧線出現，即根據負摩擦速度梯度得出運動方程式（Hagedorn，1988；Spurr，1961）。在回轉空間內，亞臨界區(qū)阻尼和剛度參數消失一產生跳動，結果得出錐頂點，相應為頻譜網絡的節(jié)點。我們看到實質錐的定位是很重要的，它確定于阻尼矩陣的結構?？梢詮倪@方面選取，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，甚至剛度矩陣有效值失調。該亞臨界波動錐形區(qū)，分支為更復雜的幾何范疇，在非守恒的位置力（由摩擦力變化引起，產生的從動力或轉矩，見Ouyang等（2005），Chen等（2006）和Kang等（2008））附加考慮具有Whitney的傘形奇異聯(lián)接。我們詳細描述，并探討如何找尋制動器摩擦襯塊改進的最佳結構復雜設計參數的非平常的空間幾何學的推斷。我們將詳細證明，如何通過剛度、阻尼和非守恒矩陣的改進實例參數空間奇異性，相應于所述振動模式導致穩(wěn)定和不穩(wěn)定的確定。

3 對稱模式的靈敏度分析

盤制動器和采用摩擦襯塊的運動可用一系統(tǒng)波動方程式（2）來研究，用它可求出剛度，阻尼和非守恒定位（循環(huán)）時間的變化。

式中阻尼D，剛度κ，非守恒N矩陣與Ω有關，波動的強度由系數δ，κ和ν控制。對于一給定的矩陣結構穩(wěn)定性與正確選擇參數組合有關（Chevillot等，2008；Kirillov，2008b）。當強度系數δκ和ν為定值時，固有值的分配受相應矩陣改進結構的影響（見例Ouyang，2008）。

為簡化起見，我們在方程式（6）中用2n＝4自由度和忽略j離心力，加強c限制了相當多的研究工作。然后我們可選擇固有矢量us＋，相應于平靜的均質的轉子系統(tǒng)的固有值λs＋＝iωs＋isΩ和＝－iωs＋isΩ如

考慮到一雙半單固有值λ。在固有值分支的交叉，λεs＝iαωs＋iεsΩ和λσt＝iβωt＋iσtΩ，其中α，β，ε，σ＝±1。意味著對應于固有矢量uεs和uσt。

在交叉雙固有值λ0和旋轉參數Ω0值為

和保持以下有用關系

令M為波動矩陣D，K或N 之一，下面我們采用矩陣 M∈R4×4分解為單元矩陣Mst∈R2×2

因而，Dst＝DTts，Kst＝KTts和Nst＝－NTts。

我們考慮普通波動的均質轉子矩陣L0（Ω）＋ΔL（Ω），波動值ΔL（Ω）＝δλD＋κK＋νN～ε為小值，其中ε＝‖ΔL（Ω0）‖為Ω＝Ω0時波動的Frobenius范數。對于小的雙半單固有值λ0＝iω0的Ω和ε波動在Ω＝Ω0具有固有矢量uεs和uσt，由下式給出

其中矩陣H和F的條目為

當δ＝0，ν＝0和κ＝0，矩陣H 和F 的非對角項為零，而對角項之一采用式（10）為取為以下形式

因此在交叉值（9），波動方程（12）描述的正確固有值分支為：Δλ＝isΔΩε和Δλ＝itΔΩσ，其中ε，σ＝±1。

由于無擾動系統(tǒng)矩陣關系簡單，因此，其固有矢量可以在式（14）內計算產生，并用阻尼，剛度和非恒定項矩陣djk，kjk和njk表示。

其中輔助2×2矩陣采用符號為

用式（13）－（19）系數描述 Campbell交叉值（9）成對λ0的靈敏度，對兩自由度情況求得Kirillov（2008b）普遍性結果，

其中

和

值得注意的方式（21）－（23），Campbell圖線描述的靈敏度與定子在4組矩陣單元成對項分解阻尼，剛度和非恒定位移力原始項目附近改進結構有關。它意味著“在原始矩陣內許多參數之一實質性影響固有值變化相對較小”！在以后各節(jié)我們將詳細地證明這種影響。