Francesco Massi Laurent Baillet Antonio Culla

另一方面，質(zhì)量分離噪聲繼續(xù)變化（6.5秒后對10 g質(zhì)量測量示于圖7），并且噪聲再開始在其初始的振幅和頻率。

5.3 盤速度的影響

質(zhì)量值增加的影響涉及頻率范圍增大，用盤模塊在相同周期結(jié)果鎖止時間縮短。另一方面，在鎖止時（用集總塊改進）對增加振動減少時間，增加盤的轉(zhuǎn)動速度，即減小頻率波動周期（Td/2m）。

圖8（a）示在噪聲階段當(dāng)盤附加5g質(zhì)量時摩擦襯板的速度，盤速度由6r/m（盤速度A）增加到12 r/m（盤速度B）而最后到50r/m（盤速度C）。圖示由速度A到速度B時，鎖止/脫開周期降低；此外，注意到噪聲振動振幅降低。當(dāng)盤在高速轉(zhuǎn)動時，發(fā)出的噪聲幾乎消失，并且摩擦襯板得到速度較低（圖8（a），21s＜t＜27s）。當(dāng)質(zhì)量脫開時（圖8箭頭所指），噪聲振動回到初始振幅和頻率。

圖8（b）示用附加質(zhì)量7.5g的相同的試驗，顯然特征相同，但對于盤的速度值為c的噪聲完全消失（圖8（b），13s＜t＜20s）。事實上，在這種情況鎖止時間內(nèi)由于增加盤速和增大頻率變化的幅度使增加的振動降低。

圖7 當(dāng)分別附加于盤圓周上的質(zhì)量為1g（黑線），2.5g（藍(lán)線），5g（綠線）和10g時摩擦襯板的切向速度曲線，取下質(zhì)量6.5g后對于10g的測量Ⅱ摩擦襯板模塊和模塊（0，7＋）之間的不穩(wěn)定聯(lián)接Fig.7 Tangential velocity of the pad when 1g（black），2.5g（blue），5g（green）and 10g are attached to the disk periphery.The mass is detached after 6.5g for the measurement with 10g unstable coupling between theⅡpad mode and the mode（0，7＋ ）（see online version for colours）

作者們意見是，這就是為什么汽車噪聲特征發(fā)生在低速的原因。數(shù)值計算（Baille等2006）和實驗研究（Giannini等2006）已經(jīng)表明噪聲幅值隨盤速線性增加到一最大值然后當(dāng)盤速增加時停留于一固定值。事實上，設(shè)計一簡單的設(shè)備有一恒定的邊界條件，即在制動階段的恒定的動力學(xué)。實際制動應(yīng)用非恒定的動力學(xué)來說明實際工作狀況的特征。特別制動盤不完全平衡，在盤轉(zhuǎn)動時可連續(xù)改變鎖止?fàn)顩r。因此，對于高速由于系統(tǒng)的自然頻率很快變換使噪聲消失，而在較少時間振動可能增加。

5.4 模塊狀態(tài)的影響

本節(jié)說明對由于Ⅱ摩擦襯板模塊和（0，7＋）模塊組合發(fā)生噪聲（噪聲在8730Hz），同時還對其他獲得的噪聲頻率包括盤彎曲模塊的結(jié)果。圖9示盤圓周附加5g質(zhì)量時的噪聲振動，黑線繪出上述（0，7＋）模塊和摩擦襯板模塊聯(lián)接時所述情況的摩擦襯板的速度曲線，灰線繪出當(dāng)盤和在3.24kHz提供的彎曲模塊聯(lián)接，（0，4＋）模塊時噪聲情況下測出的切向加速度曲線。在鎖止/脫開循環(huán)變化和模塊m的周期內(nèi)，附加質(zhì)量的影響是相同的，如圖9所示。因為聯(lián)接狀況完全不同，不能進行噪聲幅值之間的比較。

6 數(shù)值結(jié)果

6.1 理論分析

圖8 對盤轉(zhuǎn)速三不同值的摩擦襯板切向速度（A＝6r/m，B＝12r/m，C＝50r/m）當(dāng)附加盤圓周質(zhì)量為（a）5g和（b）7.5g時，箭頭指明質(zhì)量分開時Fig.8 Tangential pad velocity for three different values of the disk rotational velocity（A＝6rpm，B＝12rpm，C＝50 rpm），when masses of（a）5g and（b）7.5g are added to the disk periphery.The arrows indicate when the mass is detached（see online version for colours）

圖9 對噪聲在8.7kHz和附加質(zhì)量5g的摩擦襯板速度曲線（黑色）；對噪聲在3.25kHz和附加質(zhì)量5g提供的切向加速度曲線（成比例的）Fig.9 Pad velocity for squeal at 8.7kHz and 5g of added mass（black）；support tangential acceleration（scaled）for squeal at 3.25kHz and 5g of added mass

相對于預(yù)測和優(yōu)化兩方面集成塊改進問題是完全可以解決的，預(yù)測問題許可估價新系統(tǒng)的響應(yīng)，一方面原始系統(tǒng)的動力學(xué)和改進后的動力學(xué)是已知的（sestieri和D’Ambrogio，1989；Rivin和D’Ambrogio，1990；D’Ambrogio和Sestieri，2001），相反（優(yōu)化）問題許可計算改進關(guān)于所述系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

如初始結(jié)構(gòu)已知，用其模型數(shù)據(jù)（自然和模塊形狀）或者用其在一組點測出的FRF矩陣，可寫成該關(guān)系描述的新改進系統(tǒng)的動力學(xué)方程式。

初始結(jié)構(gòu)有以下典型的運動方程式

讓ΔM和ΔK是質(zhì)量和剛度的改進的矩陣，該改進結(jié)構(gòu)運動方程式有如下形式：

其模擬座標(biāo)為

用解新的固有值問題，計算一組新的模塊參數(shù)：ΦN和ΛN，方程式（4）可重寫如下：

用ΛN可計算改進結(jié)構(gòu)的自然頻率，新結(jié)構(gòu)的固有矢量為：Ψ＝ΦΦN（Sestieri和D’Ambrogio，1989）。事實上，因為物理座標(biāo)矢量為＝ΨN。

一般系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度矩陣是不知道的，而結(jié)構(gòu)的動力學(xué)是用FRF矩陣用測量可達到知道。令H是初始系統(tǒng)的FRF矩陣，即＝H，ΔB為改進的矩陣（D’Ambrogio和Sestieri，2001），即 ΔB＝－ω2ΔM＋jω（αΔM＋βΔK）＋ΔK。

關(guān)系式（5）和（6）許可直接解問題，換言之，它們采用初始系統(tǒng)和動力學(xué)改進提供的信息給出改進結(jié)構(gòu)的動力學(xué)（模塊參數(shù)或FRF矩陣）。

本文研究的目標(biāo)是（n，m＋）模塊為避免鎖止共振的變化，這是完成考慮集成塊結(jié)構(gòu)改進和用式（3）驗證改進的效率的一種方法。在實驗室試驗中再現(xiàn)附加質(zhì)量的影響，表明以上一集成塊改進與提出的質(zhì)量－阻尼－彈簧系統(tǒng)一致。實際上，因為實驗對加速計和有限空間的附加質(zhì)量是否薄片蜂蠟附于盤上，它相對模型的集成塊質(zhì)量是不精確的。

可以研究在盤上進行一組測量和未改進結(jié)構(gòu)的FRF矩陣。因改進只包含結(jié)構(gòu)的一點，改進矩陣ΔB各處為零，除對于符合集成質(zhì)量－阻尼－彈簧系統(tǒng)的元件外。此外，驅(qū)動點選擇在附加系統(tǒng)一個自由度位置，所以用所謂驅(qū)動點1，對新系統(tǒng)FRF矩陣元件HN11可按一簡單的關(guān)系式計算：

式中m，c，k是集成質(zhì)量－阻尼－彈簧的系數(shù)。

圖10 初始系統(tǒng)（實驗的）和用附加集成塊質(zhì)量－阻尼－彈簧（10g質(zhì)量）改進結(jié)構(gòu)的FRFs之間的比較，改進采用在模塊（n，m＋）的反節(jié)點Fig.10 Comparision between the FRFs of the original system（experimental）and the modified structure by the addition of a lumped mass－dampling－spring modification（mass of 10g）the modification is introduced at the anti－node of modes（n，m＋ ）

圖11 初始系統(tǒng)（實驗的）和被采用集成塊質(zhì)量－阻尼－彈簧（10g質(zhì)量）改進結(jié)構(gòu)的FRFs間的比較，在模塊（0，4）位置BFig.11 Comparision between the FRFs of the original system（experimental）and the modified structure by the introduction of the lumped mass－dampling－spring modification（mass of 10g）at position B of mode（0，4）

黑線繪制的圖10和圖11是初始FRFs在實驗設(shè)備上未附加質(zhì)量測量得出的，用式（7）計算的改進系統(tǒng)的相應(yīng)FRFs如圖中灰線所示。圖10（a）和（b）示分別在模塊（0，4＋）和（0，7＋）位置C測得的曲線。除由實驗室試驗（圖5）模塊（0，4＋）頻率減小外，在模塊（0，7＋）頻率增加（10g質(zhì)量大約為30Hz）。圖11示當(dāng)改進加于模塊（0，4）位置B時測量（黑線）和改進（灰線）FRFs，在這種情況，測量的FRFs表示兩個模塊（0，4＋）和（0，4－）；在B位置改進提出許可變更兩模塊的頻率，如試驗圖4（a）所示。當(dāng)引用集成塊改進，如試驗測出，模塊響應(yīng)幅值減小（圖4）。

本文該情況研究目標(biāo)是為避免鎖止變更盤的共振，上述解預(yù)測問題得出與由試驗求得的相同特征。相反的問題為了獲得所述轉(zhuǎn)子模塊頻率變化可重新闡述優(yōu)化該結(jié)構(gòu)改進。對分析和預(yù)測集成塊改進的影響的這個方法是特別有用的，因為它可以把對制動系統(tǒng)的實驗（FRFs）值和數(shù)據(jù)兩者公式化。

6.2 復(fù)雜的固有值分析

復(fù)雜的固有值分析為繪系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)的跡線提供了一種工具。采用QR Damped方法分析和重復(fù)作為驅(qū)動參數(shù)的函數(shù)進行求出數(shù)值的固有值。在Massi等（2007）著作內(nèi)，摩擦襯板材料的楊氏模量和彈簧剛度仍保持選擇作為驅(qū)動參數(shù)，許可再現(xiàn)該實驗設(shè)備作為法向負(fù)荷的動力學(xué)特性。因此，系統(tǒng)的固有值作為該兩參量的函數(shù)進行求出，作參量的分析和證實噪聲的不穩(wěn)定性，用系統(tǒng)兩固有值之間鎖止說明噪聲特性（圖12（a）），開始有相同的虛數(shù)部分（頻率），然而關(guān)于初始值（結(jié)構(gòu)阻尼）它們有相反的實數(shù)部分。而且其中之一隨后有一正實數(shù)部分（圖12（b），即它是不穩(wěn)定的。對于1kHz和20kHz之間的噪聲預(yù)測 Massi等（2007）和Massi等（2006b）已經(jīng)介紹了一完全的參數(shù)分析法。本節(jié)分析了由于模塊（0，4＋）和支撐的第三切向模塊之間的聯(lián)接（鎖止）的不穩(wěn)定性，相同的鎖止已經(jīng)實驗獲得和在3240Hz噪聲起因（圖9）。圖12示支撐模塊頻率增加直到模塊（0，4＋），當(dāng)它們聯(lián)接和模塊之一成為不穩(wěn)定時。反之，因為和摩擦襯板在其節(jié)點直徑接觸和其不受參數(shù)選擇變化的影響，故模塊（0，4－）停留于常數(shù)頻率。為分析采用摩擦系數(shù)等于0.4，Massi等（2007）介紹了摩擦系數(shù)和噪聲預(yù)測之間關(guān)系的詳細(xì)分析。

圖12 模塊（0，4＋）和支撐模塊之間鎖止：（a）固有值作為系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)；黑點線是正實數(shù)部分固有值（不穩(wěn)定）和（b）繪出兩模塊達到正實數(shù)中間平面和變成不穩(wěn)定的軌跡Fig.12 Lock－in between mode（0，4＋ ）and the mode of the support：（a）eigen values as a function of the system parameters；the black dots are the eigen values with a positive real part（unstable）and（b）in the locus plot one of the two modes reaches the positive real semiplane and becomes unstable（see online version for colours）

這里用在模型圓周附加一集成塊研究集成塊改進的影響。特別采用在實驗設(shè)備中用直徑（5×5×5 mm）元件貼附于盤的周邊再現(xiàn)這種改進，其厚度改進完成該復(fù)雜的固有值和噪聲鎖止的靈敏度分析。

已經(jīng)對關(guān)于模塊（0，4＋）的三位置進行分析：位置A落在模塊（0，4＋）的振動節(jié)點；位置C落在模塊（0，4＋）振動的反節(jié)點；位置B在A和C之間（圖4（a））。

圖13示當(dāng)附加質(zhì)量值改變時固有值的特性，系統(tǒng)的其他參數(shù)固定有不穩(wěn)定性（E＝4200MPa和K＝3.85×107N/m圖12內(nèi)）。當(dāng)無質(zhì)量附加時，系統(tǒng)在3410Hz不穩(wěn)定，其中模塊（0，4＋）和支撐模塊聯(lián)接，模塊（0，4－）在3340Hz。

圖13（a）示質(zhì)量附加于位置 C，模塊（0，4＋）受質(zhì)量影響，使它變動到較低頻率。因為脫開故系統(tǒng)變成穩(wěn)定。這就是為什么當(dāng)質(zhì)量通過振動和噪聲的反節(jié)點時，較大的質(zhì)量發(fā)生振動降低（圖9），模塊穩(wěn)態(tài)聯(lián)接間頻率間隔較大（圖13）。

在圖13（c），質(zhì)量附加于位置 A，模塊（0，4－）變動到一較低的頻率，而模塊（0，4＋）停留于和支撐模塊一致的頻率。該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，質(zhì)量值單獨的。這就是為什么當(dāng)質(zhì)量通過振動和噪聲節(jié)點時發(fā)生振動增加（圖9）。

圖14示相同的分析當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)固定不存在不穩(wěn)定性時（E＝4010MPa和K＝3.66×107N/m圖12內(nèi)），系統(tǒng)沒有附加質(zhì)量是穩(wěn)定的。采用在位置C增加附加質(zhì)量，模塊（0，4＋）頻率減小直達到支撐模塊頻率并出現(xiàn)不穩(wěn)定性。事實上，集成塊改進的目的在于不是避免不穩(wěn)定聯(lián)接，而是定期改進系統(tǒng)動力學(xué)避免鎖止，從而避免噪聲振動增加。

7 最后評論

目前對噪聲預(yù)測復(fù)雜的模擬分析是為降低不穩(wěn)定狀態(tài)最通常采用的方法之一。然而該高模擬強度特征的商業(yè)制動器以及由于大量生產(chǎn)對其動力學(xué)的不確定性，不可能開發(fā)設(shè)計制動器沒有噪聲的預(yù)報工具。

采用對鎖止不穩(wěn)定性的理解，本文提出方法的目標(biāo)用在轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)改進以免除噪聲振動。目的是按增加不同的噪聲頻率（包括盤彎曲模塊所有噪聲）用一簡單的和化費不大的解防止振動。事實上，轉(zhuǎn)子內(nèi)導(dǎo)入不對稱質(zhì)量（本文中附加質(zhì)量）造成盤彎曲模塊自然頻率向后和向前變動，從而結(jié)構(gòu)連續(xù)鎖止和脫開。實驗試驗表明，引用一足夠大的改進，可以完全免除噪聲振動。

圖13 附加質(zhì)量對固有值的影響當(dāng)無質(zhì)量安置系統(tǒng)參數(shù)獲得噪聲時：（a）當(dāng)質(zhì)量附加于位置 C（模塊（0，4＋）的反節(jié)點）；（b）質(zhì)量附加于位置B和（c）質(zhì)量附加于位置AFig.13 Effect of the addition of mass on the eigen values when the system parameters are set to obtain squeal without mass：（a）when the mass is added in position c（antinode of mode（0，4＋ ）；（b）the mass is added in position B and（c）the mass is added in position A.In this last case squeal is not affected because the mass is at the mode of mode（0，4＋ ）

圖14 附加質(zhì)量對固有值的影響當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)量設(shè)定無質(zhì)量沒有噪聲時（圖12對X軸首次解）：（a）質(zhì)量附于位置C；（b）質(zhì)量附加于位置B和（c）質(zhì)量附加于位置AFig.14 Effect of the addition of mass on the eigen values when the system parameters are set to obtain no squeal without mass（First solution on the x axis of Figure（2）：（a）the mass is added in position c；（b）the mass is added in position B and（c）the mass is added in position A

模塊頻率波動周期是盤轉(zhuǎn)動速度和節(jié)點數(shù)的函數(shù)。頻率波動的幅值是集成塊改進值的函數(shù)。它已表明增加盤速度或改進值可縮短噪聲振動增加的時間（縮短鎖止時間）和允許消除噪聲。在高速實際制動器中沒有噪聲的原因是系統(tǒng)動力學(xué)的快速變化，由于隨盤轉(zhuǎn)動沒有常態(tài)動力學(xué)，它防止振動增大。這可能說明為什么噪聲只發(fā)生于低轉(zhuǎn)速。

任何集成塊改進都可用來實現(xiàn)上述相同的結(jié)果。例如，很好安排盤穿孔的分布，?？稍O(shè)計用以降低發(fā)熱量。特別應(yīng)注意給出的集成塊改進的分布，以便避免導(dǎo)致盤的偏心度，正確的確定所有的彎曲模塊假定包含噪聲。

進一步的研究計劃恢復(fù)改進塊的最佳分布，用非線性數(shù)值模型用集成塊改進抑制噪聲。（谷雨譯自Int.J.Vehicle Design，Vol.51，Nos.1/2，2009）

［1］ Akay，A.（2002）‘Acoustic of friction’，Journal of the Acoustical Society of America，Vol.111，No.4，pp.1525－1548.

［2］ Akay，A.，Wickert，J.and Xu，Z.（2000）Investigation of Mode Lock－in and Friction Interface，F(xiàn)inal Report，Department of Mechanical Engineering，Carnegie Mellon University，Pittsburgh，PN.

［3］ Allgaier，R.，Gaul，L.，Keiper，W.，Willnery，K.and Hoffmann，N.（2002）‘A study on brake squeal using a beam on disc model’，Proceedings IMAC XX，Vol.1，Los Angeles，CA，pp.528－534.

［4］ Baillet，L.and Sassi，T.（2002）‘Finite element method with Lagrange multipliers for contact problems with friction’，Comptes Rendus de l’Académie des Sciences Paris，Series I，Vol.334，pp.917－922.

［5］ Cao，Q.，Quyang，H.，F(xiàn)riswell，M.I.and Mottershead，J.E.（2004）‘Linear eigenvalue analysis of the disk－brake squeal problem’，Int.J.Numerical Methods in Engineering，Vol.61，pp.1546－1563.

［6］ Carpenter，N .J.，Taylor，R.L.and Katona，M.G.（1991）‘Lagrange constraints for transient finite element surface contact’，International Journal for Numerical Methods in Engineering，Vol.32，pp.130－128.

［7］ Chen，G.X.，Zhou，Z.，Kapsa，P.and Vincent，L.（2003）‘Experimental investigation into squeal under reciprocating sliding’，Tribology，Vol.36，pp.961－971.

［8］ Culla，A.and Massi，F(xiàn).（2007）‘Introduction of uncertanties on the parametrical analysis for stability prediction’，1st International Conference on Uncertainty in Structural Dynamics，USD－2007，Sheffield，UK，pp.231－240.

［9］ D’Ambrogio，W.and Sestieri，A.（2001）‘Coupling theoretical data and translational FRFs to perform distributed sttuctural modification’，Mechanical Systems and Signal Processing，Vol.15，No.1，pp.157－172.

［10］ Duffour，P.and Woodhouse，J.（2004）‘Instability of systems with a frictional point contact.Part 1：basic modelling’，Journal of Sound and Vibration，Vol.271，pp.365－390.

［11］ Fritz，G.，Sinou，J.J.，Dufal，J.M.and Jèzèquel，L.（2007）‘Effects of damping on brake squeal coalescence patterns－application on a finite element model’，Mechanics Research Communications，Vol.34，pp.181－190.

［12］ Giannini，O.，Akay，A.and Massi，F(xiàn).（2006）‘Experimental analysis of brake squeal noise on a laboratory brake set－up’，Journal of Sound and Vibration，Vol.292，pp.1－20.

［13］ Giannini，O.and Massi，F(xiàn).（2008）‘Characterization of the high－frequency squeal on a laboratory brake setup’，Journal of Sound and Vibration，Vol.310，Nos.1，2，pp.394－408.

［14］ Kinkaid，N.M.，O‘Reilly，O.M.and Papadopoulos，P.（2003）‘Automotive disk brake squeal’，Journal of Sound and Vibration，Vol.267，pp.105－166.

［15］ Massi，F(xiàn).（2006）Dynamic and Tribological Analysis of Brake Squeal，PhD Thesis，University of Rome‘La Sapienza’－INSA of Lyon.Massi，F(xiàn).and Giannini，O.（2005）‘Extension of a modal instability theory to real brake systems’Proc.International Modal Analysis Conference－IMAC－XXIII，Orlando，F(xiàn)lorida，paper N.91.

［16］ Massi，F(xiàn).，Giannini，O.and Baillet，L.（2006a）‘Brake squeal as dynamic instability：an experimental investiation’，Journal of the Acoustical Society of America，Vol.120，No.3，pp.1388－1399.

［17］ Massi，F(xiàn).，Baillet，L.and Giannini，O.（2006b）‘Squeal prediction on a simplified brake system by complex eigenvalues analysis’，International Converence on Noise and Vibration Engineering ISMA2006，Leuven，Belgium，pp.3777－3788.

［18］ Massi，F(xiàn).，Baillet，L.，Giannini，O.and Sestieri，A.（2007）‘Brake squeal phenomenon：linear and non－linear numerical approach’，Mechanical Systems and Signal Processing，Vol.21，No.6，pp.2374－2393.

［19］ Massi，F(xiàn).，Berthier，Y.and Baillet，L.（2008）‘Contact surface topography and system dynamics of brake squeal’，Wear，in press，available online，doi：10.1016/j.wear.2008.04.049，Vol.265，Nos.11－12，pp.1784－1792.

［20］ Massi，F(xiàn).and Giannini，O.（2008）‘Effect of damping on the propensity of squeal instability：an experimental investigation’，Journal of the Acoustical Society of A－merica，Vol.123，No.4，pp.2017－2023.

［21］ Mills，H.R.（1938）Brake Squeak，Technical Report 9000 B，Institution of Automobile Engineers，London，UK.

［22］ Mottershead，J.E.（1998）‘Vibration and friction－induced instability in disks’，Shock and Vibration Digest，Vol.30，No.1，pp.14－31.

［23］ North，M.R.（1972）Disc Brake Squeal，A Theoretical Model，Technical Report 1972/5，Motor Industry Research Association，Warwickshire，England.

［24］ Ouyang，H.，Nack，W.，Yuan，Y.and Chen，F(xiàn).（2005）‘Numerical analysis of automotive disk brake squeal：a review’，Int.J.Vehicle Noise and Vibration，Vol.1，Nos.3－4，pp.207－231.

［25］ Rivin，E.I.and D’Ambrogio，W.（1990）‘Enhancement of dynamic quality of a machine tool using frequency response optimization method’，Mechanical Systems and Signal Processing，Vol.4，pp.495－514.

［26］ Sestieri，A.and D’Ambrogio，W.（1989）‘A modification method for vibration control of structure’，Mechanical Systems and Signal Processign，Vol.3，pp.229－253.

［27］ Spurr，R.T.（1961）‘A theory of brake squeal’，Proceedings of the Automobile Division，Institution of Mechanical Engineers，Vol.1，pp.33－52.

［28］ Tuchinda，A.，Hoffmann，N.P.，Ewins，D.J.and Keiper，W.（2001）‘Mode lock－in characteristics and instability study of the Pin－On－Disc System’，Proceedings IMAC XIX，Vol.1，pp.71-77.