王言英，苗俊紅，曹秀娟

（1.山東科技大學公共課部，濟南250031；2.海南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，?？?71158）

隨機環(huán)境下AR型非線性時間序列的幾何遍歷性

王言英1，苗俊紅2，曹秀娟1

（1.山東科技大學公共課部，濟南250031；2.海南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，?？?71158）

指數(shù)自回歸模型、門限自回歸模型和多項式自回歸模型等具有AR型非線性時間序列模型在工程中有廣泛的應用.而以往研究的AR型非線性時間序列模型其干擾項為單一的白噪聲序列，沒有反映出動力系統(tǒng)受隨機環(huán)境干擾的現(xiàn)象.文中引入隨機環(huán)境的干擾，提出了隨機環(huán)境下AR型非線性時間序列模型，拓寬了原模型的應用范圍，增強了模型的適應性.同時利用馬氏鏈的隨機穩(wěn)定性理論，研究了新模型的幾何遍歷性，給出了其以幾何速率收斂的一個充分條件.

隨機環(huán)境；幾何遍歷性；AR型非線性時間序列（NAR）；小集；馬爾可夫鏈

0 引言

非線性時間序列分析可廣泛地應用于經(jīng)濟計量、風險管理、隨機服務系統(tǒng)、工程管理等領域，目前已成為時間序列分析理論發(fā)展的一個重要研究方向.對這類模型平穩(wěn)性（遍歷性）的研究一直是熱門課題，例如文獻[1-5].但非線性時間序列模型種類繁多,其參數(shù)辨識復雜,工程應用更為困難.相對而言,振幅依賴指數(shù)自回歸模型(EXPAR模型)、門限自回歸模型(TAR模型)和多項式自回歸模型(PNAR模型)都是具有AR型的非線性模型,在參數(shù)辨識上比其他非線性模型更為簡單,在工程中的應用較多[6].例如文獻[7]研究了指數(shù)自回歸模型在洪水預報中的應用；文獻[8]用多項式自回歸模型對非線性系統(tǒng)中穩(wěn)定有色噪聲建模；文獻[9-11]把門限自回歸模型應用于環(huán)境質(zhì)量預報、人民幣匯率波動、股票市場的研究中.

在文獻[6]中研究了如下AR型非線性時間序列模型的穩(wěn)定性：

然而其干擾項為單一的白噪聲序列，沒有反映出動力系統(tǒng)受隨機環(huán)境干擾的現(xiàn)象.文中所討論的主要內(nèi)容就是在文獻[6]的基礎上，引入隨機環(huán)境對系統(tǒng)的干擾，衍生出新的模型，然后借助一般狀態(tài)空間上Markov鏈理論，研究新模型的幾何遍歷性，得到了它們在某種意義下以幾何速率收斂的一個充分條件，從而拓寬了原模型的應用范圍，能更好的擬合實際問題.

1 模型的引入

一般地，設（Ω，H，P）是一完備的概率空間，記Rp為p維實空間，Bp為Rp上的Borel σ-代數(shù).令E={1，2，…，r}（r∈N）為一有限集合，E的所有子集生成的σ-代數(shù)，記為F.{Zt,t≥0}為定義在（Ω，H，P）上不可約、非周期的齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間為（E，F(xiàn)）.{et（1）}，{et（2）}，…，{et（r）}是r個獨立同分布的隨機變量序列，其中每一個都定義在（Ω，H，P）上，以（Rp，Bp）為狀態(tài)空間.

令Zt=Z（t）I（i）（Zt）為單點集的示性函數(shù).

其中Xt-1=（xt-1，xt-2，…，xt-p）為系統(tǒng)的一個狀態(tài)，u（Xt-1，θ），Φi（Xt-1，θ）為Rp→R上的光滑函數(shù)；參數(shù)θ=（θ0，θ1，…，θp）∈Θ=Θ0×Θ1×…×Θp,Θi（i=1，2，…，p）是R中的開子集，是一個參數(shù)空間.

作如下假設：A1：{zt}，{et（1）}，{et（2）}，…，{et（r）}相互獨立；

則稱式（2）為隨機環(huán)境下的AR型非線性時間序列模型，簡記為RENAR模型.

令Xt=（xt，xt-1，…，xt-p+1），Xt-1=（xt-1，xt-2，…，xt-p），F(xiàn)（Xt-1）=（f（Xt-1），xt-1，…，xt-p+1），α=（1，0，0，…，0）

故（2）式可改寫為：

定義2[12]設模型（3）有唯一的不變概率分布π*，且對任何的初始狀態(tài)X0＝，由式（3）迭代產(chǎn)生的概率分布記為，存在常數(shù)ρ：0＜ρ＜1，稱模型（3）為伴隨幾何遍歷的.

2 主要結論

引理1[13-14]模型（3）的導出序列{（Xt，Zt）}是定義在（Ω，H，P）上，以（RP×E，Bp×F）為狀態(tài)空間的齊次馬氏鏈.

引理2[13-14]模型（3）的導出序列{（Xt，Zt）}是μp×λ不可約和非周期的.

引理3[13-14]設{（Xt，Zt）}是模型（3）的導出A序列，A為RP中的一有界集合，且μp（A）＞0，則i∈E，A×{i}是關于{（Xt，Zt）}的小集.

注：引理2，引理3證明方法分別同文獻[12]中引理1.3.2，引理1.3.3和引理1.A3.4.

證明：由引理1、引理2、引理3知，在定理給定的條件下，{（Xt，Zt）}是μ×λ不可約和A非周期的齊次馬氏鏈，且對Rp中的一有界集合A，i∈E，A×{i}是關于{（Xt，Zt）}的小集.欲證明{（Xt，Zt）}具有幾何遍歷性，只需找到一個準則函數(shù)g，一個小集B和常數(shù)C1＞0，C2＞0，0＜λ＜1，使得

任取a1＞0，由于Φi（·，θ）≤hi（θ）＜1,

故存在a2＞0，使

從而存在a2＞0，使

存在ap-1＞0，使

存在ap＞0，使

取滿足上述關系的a1，a1，…，ap，則

則0＜δ＜1,故存在λ：0＜δ＜λ＜1.

由引理3可知，K仍為{（Xt，Zt）}的小集.

故{（Xt，Zt）}是幾何遍歷的.

其次，將證明模型（3）本身具有伴隨幾何遍歷性.

由前面證明知，{（Xt，Zt）}具有幾何遍歷性，故由定義知：存在（Rp×E，Bp×F）上的概率測度π及常數(shù)ρ：0＜ρ＜1，使

在（Rp，Bp）上，定義集合函數(shù)π*如下：AΛ∈Bp，π*（Λ）=π（Λ×E）顯然，π*是（Rp，Bp）上的概率測度.

設x∈R，{Xt}是以X0=為初始值，由式（3）確定的迭代序列.于是，AΛ∈B，有

又由文獻[12]中的定理1.4.1的證明過程知：π是{（Xt，Zt）}的唯一不變概率測度，從而由π*的定義易知π*是{Xt}的唯一不變概率測度.

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[14]安鴻志，陳敏.非線性時間序列分析[M].上海：上?？萍汲霭嫔?，1998.

The geometric ergodicity of AR-type nonlinear time series model under random environment

WANG Yan-ying1，MIAO Jun-hong2，CAO Xiu-juan1
(1.Department of Basic Courses，Shandong University of Science and Technology，Jinan 250031，China；2.School of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China)

Exponential autoregressive models,threshold autoregressive models and polynomial autoregressive models which are AR-type nonlinear time series models are widely used in engineering.But previous studies of AR-type nonlinear time series models,the interference is a single white noise sequence,which can not reflect the factors of the interference in a system as well as the system itself influenced by sudden environment change.This article proposes a new type of AR-type nonlinear time series model under random environment,through the introduction of interference.The new model broadens the scope of application and enhances the adaptability of the model.Meanwhile,this article discussed the geometric ergodicity of the iterative sequence with the theory of stochastic stability on Markov chains and given a sufficient condition for convergence with geometric rate of the model.

random environment；geometric ergodicity；AR-type nonlinear time series；small set；Markov chain

O211.61

A

2012-03-20

海南省自然科學基金資助項目（109002）；山東科技大學“春蕾計劃”資助項目（2010AZZ055）

王言英（1980-），女，講師，主要從事非線性時間序列及統(tǒng)計應用等方面的研究，E-mail：feiyang5@126.com.

2095-3046（2012）03-0090-04