袁小龍，段新力，畢 武，彭仲秋，黃顯義，李永華

（1.新疆地礦局 物化探大隊(duì)，新疆 昌吉 830011；2.烏魯木齊金維圖文信息科技有限公司，新疆 烏魯木齊 830091）

用軌跡球?qū)崿F(xiàn)地物化資料三維立體圖的旋轉(zhuǎn)

袁小龍1，2，段新力1，2，畢 武1，2，彭仲秋1，2，黃顯義1，2，李永華1，2

（1.新疆地礦局 物化探大隊(duì)，新疆 昌吉 830011；2.烏魯木齊金維圖文信息科技有限公司，新疆 烏魯木齊 830091）

為了從各個(gè)角度觀察屏幕上的三維場景，可以通過鼠標(biāo)的拖動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。通常的做法是使場景繞X、Y、Z旋轉(zhuǎn)，但這樣操作不方便，旋轉(zhuǎn)效果不理想。有一種更好的方法是：為三維場景建立一個(gè)外接球，旋轉(zhuǎn)外接球的同時(shí)旋轉(zhuǎn)了球體內(nèi)的三維場景，這種技術(shù)叫軌跡球技術(shù)。這里介紹了軌跡球技術(shù)的數(shù)學(xué)原理、計(jì)算方法，并用軌跡球技術(shù)在OpenGL環(huán)境下實(shí)現(xiàn)了地物化資料三維立體圖的旋轉(zhuǎn)，操作起來方便直觀，人機(jī)交互體驗(yàn)良好。

軌跡球；虛擬球；三維旋轉(zhuǎn)；四元數(shù)

0 前言

隨著計(jì)算機(jī)硬件、軟件技術(shù)水平的發(fā)展，地物化數(shù)據(jù)圖形表現(xiàn)形式越來越豐富。用三維圖形顯示地物化資料數(shù)據(jù)，形象直觀，易于理解。為了從各個(gè)角度觀察場景，可以通過旋轉(zhuǎn)不同的坐標(biāo)軸來實(shí)現(xiàn)。但旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸操作復(fù)雜，不易理解，用戶使用不方便，作者在本文提出了使用軌跡球來解決這個(gè)問題。軌跡球技術(shù)是由Ken Shoemake提出的，假設(shè)場景中所有物體都包含在一個(gè)球體中，撥動(dòng)這個(gè)球體，使其繞球心旋轉(zhuǎn)，這樣球體內(nèi)的物體跟著旋轉(zhuǎn)，就可以達(dá)到旋轉(zhuǎn)物體的目的。在計(jì)算機(jī)操作中，屏幕上創(chuàng)建一個(gè)包含所有物體的軌跡球，通過鼠標(biāo)在二維屏幕上的移動(dòng)，模擬旋轉(zhuǎn)球體，可人機(jī)交互良好地實(shí)現(xiàn)三維場景的旋轉(zhuǎn)。

1 軌跡球坐標(biāo)系的建立

（1）屏幕上的設(shè)備坐標(biāo)稱為屏幕坐標(biāo)，如下頁圖1（a）所示，矩形左上角坐標(biāo)為（0，0），右下角坐標(biāo)為 （w，h），w為視圖的寬度，h為視圖的高度，屏幕坐標(biāo)以像素為單位，X方向朝右為正，Y方向朝下為正。

（2）定義正方形坐標(biāo)系，如下頁圖1（b）所示，正方形左下角坐標(biāo)為（－1，－1），右上角坐標(biāo)為（1，1），中心點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），X 方向從左向右增大，Y方向從下向上增大。

（3）將屏幕坐標(biāo) （screenX，screenY）轉(zhuǎn)換到正方形坐標(biāo)（square X，squareY）系內(nèi)。在X方向，將坐標(biāo)從范圍（0，width）轉(zhuǎn)換到（－1，1），坐標(biāo)變換為線性變換，令

當(dāng)screenX＝0時(shí)，square X＝－1；當(dāng)screenX＝width時(shí)，square X ＝1。將以上參數(shù)代入公式（1），得將a、b值代入公式（1），得到X 方向坐標(biāo)轉(zhuǎn)換函數(shù)公式（2）。同理，可計(jì)算出Y方向坐標(biāo)轉(zhuǎn)換函數(shù)公式（3）。

這樣轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)X范圍為［－1，1］，Y范圍為［－1，1］，屏幕中心點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）。

（4）做正方形的內(nèi)切圓，如圖1（c）所示。內(nèi)切圓以它的任意一條直徑為軸，旋轉(zhuǎn)180°，形成一個(gè)球體，如圖1（d）所示。設(shè)球體的中心為（0，0，0），半徑為1，我們把這個(gè)球體稱為軌跡球，軌跡球上的坐標(biāo)系稱為軌跡球坐標(biāo)系。

（5）將正方形坐標(biāo) （x，y）轉(zhuǎn)為軌跡球坐標(biāo)（u，v，w）。首先，把正方形內(nèi)的點(diǎn)分成兩部份，一部份在其內(nèi)切圓內(nèi)，另一部份在其內(nèi)切圓之外。鼠標(biāo)點(diǎn)擊的位置 （x，y）落在內(nèi)切圓內(nèi)，即時(shí)，以（x，y）為基點(diǎn)，做垂直于屏幕的射線，與軌跡球的外半球（屏幕上能看到的半球）相交于P點(diǎn)，如圖1（e）所示。在拖動(dòng)鼠標(biāo)時(shí)，相當(dāng)于以P點(diǎn)為基點(diǎn)拖動(dòng)球體，鼠標(biāo)點(diǎn)擊的位置P（x，y）落在內(nèi)切圓之外，即時(shí)，如圖1（f）所示?；c(diǎn)P在軌跡球之外，無法拖動(dòng)球體，必須重新找一個(gè)在軌跡球上的基點(diǎn)，在uov平面內(nèi)，連接OP，OP交內(nèi)切圓于P’點(diǎn)，以P’點(diǎn)為基點(diǎn)拽動(dòng)軌跡球。設(shè)θ為OP與OU的夾角，可得：

因軌跡球半徑為1，可得：

綜合鼠標(biāo)點(diǎn)擊位置落在內(nèi)切圓內(nèi)和內(nèi)切圓外兩種情況，可得公式（4）。

2 旋轉(zhuǎn)向量的計(jì)算

（1）旋轉(zhuǎn)軸及旋轉(zhuǎn)角度的確定。如圖2（a）所示，鼠標(biāo)從P1點(diǎn)移動(dòng)到P2點(diǎn)，得到兩個(gè)矢量，旋轉(zhuǎn)所張成平面的法向量，通過計(jì)算的叉乘，可得到旋轉(zhuǎn)軸

旋轉(zhuǎn)角度為OP1與OP2之間的夾角θ，在圖2（a）中，M為正方形左邊的中點(diǎn)，N為正方形右邊的中點(diǎn)，鼠標(biāo)從M點(diǎn)拖動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，軌跡球繞V軸旋轉(zhuǎn)了180°，同樣操作，如果要使軌跡球繞V軸旋轉(zhuǎn)360°，則旋轉(zhuǎn)角度得取θ的二倍。在實(shí)際使用過程中，旋轉(zhuǎn)角度α取θ的二倍更符合用戶習(xí)慣。

（2）多次旋轉(zhuǎn)累加。如果鼠標(biāo)進(jìn)行了多次拖動(dòng)，則需要將多次拖動(dòng)的效果累加起來。如圖2（b）所示，第一次拖動(dòng)的旋轉(zhuǎn)量為，第二次拖動(dòng)的旋轉(zhuǎn)量為

（3）旋轉(zhuǎn)矩陣的計(jì)算。四元數(shù) Quat4（x，y，z，w）用來存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度，設(shè) （a，b，c）為旋轉(zhuǎn)軸向量，θ為旋轉(zhuǎn)角度，根據(jù)四元數(shù)旋轉(zhuǎn)公式：

如果鼠標(biāo)進(jìn)行了兩次以上的拖動(dòng)操作，則需將多次旋轉(zhuǎn)效果進(jìn)行累加。設(shè)Q1（w1，x1，y1，z1），Q2（w2，x2，y2，z2）為兩次旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)，將兩次旋轉(zhuǎn)效果累加按公式（5）計(jì)算。

注意：Q＝Q1＊Q2中，先進(jìn)行的是右邊項(xiàng)Q2的旋轉(zhuǎn)，再進(jìn)行左邊項(xiàng)Q1的旋轉(zhuǎn)。將最終累加的四元數(shù)轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)矩陣M［2］，在OpenGL中乘以這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣M，實(shí)現(xiàn)軌跡球的旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)矩陣M按公式（6）計(jì)算。

3 軌跡球旋轉(zhuǎn)地物化三維立體圖實(shí)例

用OpenGL函數(shù)建立三維地質(zhì)體模型，在鼠標(biāo)移動(dòng)的響應(yīng)函數(shù)中，通過軌跡球計(jì)算出旋轉(zhuǎn)矩陣，當(dāng)前模型視圖矩陣乘以旋轉(zhuǎn)矩陣，實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)操作。

（1）實(shí)例1：對(duì)布格重力網(wǎng)格數(shù)據(jù)做切割法場分離，切割出五層（一層為一個(gè)網(wǎng)格距）的區(qū)域場和剩余場，把布格重力和五層剩余異常放在一起顯示，如圖3所示。用軌跡球旋轉(zhuǎn)操作，可以輕松地旋轉(zhuǎn)到用戶想要的任意位置。

圖3 用軌跡球旋轉(zhuǎn)重力三維圖Fig.3 Rotating 3Dgraphics of gravity by using arcball

（2）實(shí)例2：在鉆孔數(shù)據(jù)上，通過平行輪廓線截面法創(chuàng)建礦體模型，用軌跡球旋轉(zhuǎn)操作可以從各個(gè)角度觀察礦體及鉆孔。如圖4所示。

4 結(jié)束語

作者在本文討論了軌跡球坐標(biāo)系的建立，旋轉(zhuǎn)軸及旋轉(zhuǎn)角度的計(jì)算，用四元數(shù)表達(dá)旋轉(zhuǎn)向量，多次旋轉(zhuǎn)效果的累加，以及四元數(shù)轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)矩陣。在OpenGL環(huán)境下編程實(shí)現(xiàn)了三維地質(zhì)模型體繞任意軸旋轉(zhuǎn)，并給出了兩個(gè)實(shí)例，用戶可以用二維設(shè)備（鼠標(biāo)）輕松、直觀地旋轉(zhuǎn)三維場景。

圖4 用軌跡球旋轉(zhuǎn)礦體及鉆孔Fig.4 Rotating 3Dgraphics of drill hole and ore body by using arcball

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TP 317.4

A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.22

1001—1749（2012）05—0622—03

2011－11－24 改回日期：2012－06－16

袁小龍（1982－ ），男，本科，主要從事物化探軟件開發(fā)、數(shù)據(jù)處理和資料研究工作。