李 燕，馬俊林

（十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院生化與環(huán)境工程系，湖北十堰442000）

在解決復(fù)雜的工程技術(shù)問(wèn)題和探討某些物理現(xiàn)象時(shí)，往往要涉及到影響過(guò)程或物理現(xiàn)象的諸多因素，例如流體流動(dòng)的阻力損失，對(duì)流傳熱過(guò)程中的給熱系數(shù)等都受到許多因素的影響，如何有效地關(guān)聯(lián)這些影響因素，正確地揭示過(guò)程規(guī)律是一個(gè)十分重要的問(wèn)題［1］，如果采用常規(guī)的網(wǎng)格法通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)建立過(guò)程規(guī)律，不僅實(shí)驗(yàn)工作量很大，要消耗大量的人力、物力，而且在特定條件下，用特定的物料所得出的關(guān)系式，不便于推廣至其他物料或別的過(guò)程，這就大大地限制了關(guān)聯(lián)式在較大范圍的適用性和工程放大。而采用科學(xué)的方法，則既可以減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，縮短研究周期，節(jié)省人力、物力，更重要的是所得關(guān)聯(lián)式可以在較大范圍內(nèi)推廣應(yīng)用，達(dá)到由此及彼的目的，便于過(guò)程的開(kāi)發(fā)和設(shè)計(jì)，因次論、相似論和數(shù)學(xué)模型法則是解決這一問(wèn)題的較好的科學(xué)方法。直管湍流流動(dòng)阻力損失的計(jì)算在化工生產(chǎn)等涉及流動(dòng)的過(guò)程中占有十分重要的地位，它對(duì)于管路的設(shè)計(jì)、流體輸送設(shè)備的選取和傳熱過(guò)程都會(huì)產(chǎn)生很大影響［2］［3］，但是由于湍流過(guò)程的復(fù)雜性和影響因素的多樣性，不易用數(shù)學(xué)分析法來(lái)建立流動(dòng)過(guò)程中阻力損失的計(jì)算式，而因次分析法、相似論的方法和數(shù)學(xué)模型法正是解決這一問(wèn)題的有效的科學(xué)方法，本文圍繞湍流流動(dòng)阻力損失的計(jì)算對(duì)這三種方法進(jìn)行比較分析，以期更好地推廣于其他較復(fù)雜的化工及相關(guān)過(guò)程。

2 直管湍流阻力損失的確定

2.1 用因次論的方法確定直管阻力損失

因次論的方法是基于因次一致性和π定理的原則進(jìn)行的，這種方法是對(duì)于那些復(fù)雜的物理現(xiàn)象，在不能導(dǎo)出理論方程時(shí)，設(shè)法將有關(guān)的物理量組成若干個(gè)無(wú)因次數(shù)群，然后通過(guò)為數(shù)不多的實(shí)驗(yàn)定出數(shù)群間的數(shù)值關(guān)系，得出較普遍適用的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式，其具體過(guò)程如下：

（1）認(rèn)真分析物理過(guò)程，找出影響過(guò)程的主要因素，列出普遍的函數(shù)關(guān)系式，并將其寫(xiě)成冪函數(shù)的形式。根據(jù)對(duì)直管中湍流流動(dòng)阻力損失的分析，其主要影響因素有管長(zhǎng)l，管徑d，流速μ，密度ρ，粘度ε和管壁粗糙度 ，列出函數(shù)關(guān)系式：

（2）寫(xiě)出各物理量的因次，并代入冪函數(shù)式，根據(jù)因次一致性原則確定待定的冪指數(shù)。將各物理量的因次代入式（2）并整理得

比較指數(shù)得：

代入式（2）得：

（3）將（2）中所得的冪函數(shù)整理成無(wú)因次數(shù)群間的關(guān)系式，即

（4）根據(jù)數(shù)群進(jìn)行實(shí)驗(yàn)確定（5）式中的待定系數(shù)K和各待定指數(shù)，得經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式。將（5）式寫(xiě)成

令

則

2.2 用相似論的方法確定直管阻力損失［4］

相似論是根據(jù)用同一方程式描述的物理現(xiàn)象，當(dāng)其單值條件相似，并具有相同的邊界條件和初始條件的相似系統(tǒng)中，相似準(zhǔn)數(shù)是無(wú)因次的，且其數(shù)值相等。

流體在管內(nèi)流動(dòng)的相似條件有：

幾何相似，如l／d在相似系統(tǒng)中相等。

運(yùn)動(dòng)相似，某一系統(tǒng)中自身兩個(gè)速度或速度差之比，等于相似系統(tǒng)中相應(yīng)兩個(gè)速度或速差之比。

動(dòng)力相似，流體在直管中作湍流流動(dòng)，可用下式描述：

第一、二、三項(xiàng)分別為總壓力降、粘性阻力和慣性阻力。

對(duì)（7）式可用相似常數(shù)的轉(zhuǎn)換導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)。即

1）慣性力／粘滯力 ＝ 定數(shù)

2）總壓力差／慣性力 ＝定數(shù)＝i2

邊界條件相似。如相對(duì)粗糙度ε／d在相似系統(tǒng)中相等。根據(jù)相似第二定理：某一現(xiàn)象各物理量之間的函數(shù)關(guān)系，可以表示成相似準(zhǔn)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。描述流體在導(dǎo)管中湍流流動(dòng)的函數(shù)關(guān)系式，可由原來(lái)的單個(gè)變量間的關(guān)系f（Δp，d，u，ρ，μ，l，ε）＝0改寫(xiě)成準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式

寫(xiě)成顯式則為：

即

2.3 用數(shù)學(xué)模型法確定直管阻力損失

當(dāng)30≥Y≥5時(shí)，為緩沖區(qū)U＝5.0lnY－3.05，層流內(nèi)層Y≤5.0，則U＝Y(jié)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明（13）式符合湍流區(qū)的速度分布規(guī)律，其中k＝0.4，C＝5.5。

在求得速度分布之后，再對(duì)全管截面積分，以求取平均速度與摩擦系數(shù)之間的關(guān)系；假定在y＝0～R范圍內(nèi)都能應(yīng)用式（14），可積分得

用式（12）的定義，用λ代替摩擦速度u＊可得

式（15）即為光滑管的湍流阻力定律。

對(duì)于粗糙管，實(shí)際工業(yè)管道在進(jìn)入完全湍流區(qū)之前，在相當(dāng)寬的Re數(shù)范圍內(nèi)，摩擦系數(shù)既非常數(shù)，也不服從光滑管阻力定律，這一區(qū)域稱(chēng)為過(guò)渡區(qū)。在過(guò)渡區(qū)，粗糙峰的影響取決于層流內(nèi)層的厚度δ，因此可以認(rèn)為過(guò)渡區(qū)的λ值與ε／d有關(guān)，則實(shí)際管道的阻力公式為：

實(shí)際工業(yè)管的數(shù)學(xué)式為

3 三種方法的比較和分析

因次論、相似論和數(shù)學(xué)模型法都可以用來(lái)解決某些較復(fù)雜的工程問(wèn)題，但是各自的理論依據(jù)、適用情況和求解步驟不盡相同，在應(yīng)用時(shí)必須加以注意。

3.1 因次分析法

因次分析法是當(dāng)人們?cè)谘芯恳粋€(gè)問(wèn)題時(shí)，由于問(wèn)題的復(fù)雜性，而對(duì)過(guò)程的機(jī)理沒(méi)有足夠的理解，或者雖有所理解，但是難以建立理論方程，此時(shí)，則可以避開(kāi)對(duì)事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)的剖析，只研究外部條件與過(guò)程結(jié)果之間的關(guān)系及其動(dòng)態(tài)特征，以掌握過(guò)程的性質(zhì)，并據(jù)此來(lái)探索過(guò)程的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和機(jī)理。因次分析法的基本步驟通常是，首先找出影響過(guò)程的主要因素，然后通過(guò)因次分析建立無(wú)因次數(shù)群間的關(guān)系，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定數(shù)群式中的有關(guān)待定常數(shù)，以得出經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式?；どa(chǎn)中涉及的物料千變?nèi)f化，涉及的設(shè)備尺寸大小懸殊，實(shí)驗(yàn)工作量之大之難則可想而知。因此，實(shí)驗(yàn)研究必須具備兩個(gè)功能方見(jiàn)成效，一是能由此及彼，二是能由小見(jiàn)大。因次論的方法恰好具有這樣兩個(gè)功能。在因次論指導(dǎo)下的實(shí)驗(yàn)，不需要對(duì)過(guò)程有深入的理解，不需要采用真實(shí)的物科和實(shí)際的設(shè)備尺寸。只需要借助于模擬物料，在實(shí)驗(yàn)室規(guī)模的小設(shè)備中，通過(guò)對(duì)方程的理性分析或一些預(yù)備性的實(shí)驗(yàn)，確定影響過(guò)程的主要因素，再通過(guò)因次分析而導(dǎo)出一類(lèi)過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)方式。所以因次論的方法是一種使用方便，節(jié)省人力、物力，可以由此及彼，由小見(jiàn)大地解決復(fù)雜工程問(wèn)題的有效方法。

3.2 相似論

相似論是依據(jù)相似第一定理和第二定理來(lái)建立準(zhǔn)數(shù)關(guān)聯(lián)式，以解決復(fù)雜的物理現(xiàn)象和工程問(wèn)題，相似第一定理告訴我們，當(dāng)現(xiàn)象相似時(shí)，由微分方程轉(zhuǎn)換所得的相似準(zhǔn)數(shù)的數(shù)值相等。第二定理告訴我們，某一現(xiàn)象各物理量之間的函數(shù)關(guān)系，可以表示成相似準(zhǔn)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)第一定理，在實(shí)驗(yàn)中應(yīng)測(cè)定包含在相似準(zhǔn)數(shù)中的那些量。根據(jù)第二定理，應(yīng)以相似準(zhǔn)數(shù)間的關(guān)系來(lái)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。用相似論的方法解決問(wèn)題，首先應(yīng)確定過(guò)程或現(xiàn)象的相似條件，如幾何相似，運(yùn)動(dòng)相似，動(dòng)力相似和邊界條件相似等，根據(jù)相似條件來(lái)確定相應(yīng)的準(zhǔn)數(shù)（無(wú)因次數(shù)群）然后將現(xiàn)象的單個(gè)變量關(guān)系式改寫(xiě)準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式，因?yàn)闇?zhǔn)數(shù)反映了相似現(xiàn)象的共性，按準(zhǔn)數(shù)關(guān)系整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以推廣到其他場(chǎng)合使用。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式中的待定常數(shù)。用相似理論獲得相似準(zhǔn)數(shù)的方法，是從描述現(xiàn)象特征的微分方程出發(fā)的，因此準(zhǔn)數(shù)常具有確定的物理意義，而且在推導(dǎo)中不易因遺漏了某些物理量而得出不正確的結(jié)果，但是對(duì)于有些過(guò)于復(fù)雜的過(guò)程，因難以用分析的方法列出描述過(guò)程的微分方程，就無(wú)法用相似論來(lái)獲得準(zhǔn)數(shù)，則只能借助因次分析來(lái)求得準(zhǔn)數(shù)。

3.3 數(shù)學(xué)模型法

數(shù)學(xué)模型法是建立在對(duì)過(guò)程已有較為深刻認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，抓住過(guò)程最基本最本質(zhì)的特征，忽略次要的非本質(zhì)的現(xiàn)象，然后加以合理簡(jiǎn)化，在此基礎(chǔ)上建立物理模型，再用數(shù)學(xué)方法對(duì)其加以描述，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證或修正，最終確實(shí)模型參數(shù)。數(shù)學(xué)模型法對(duì)問(wèn)題的描述更準(zhǔn)確、更深刻，更具有普遍性，因此也就更便于推廣。

［1］戴干策，陳敏恒.化工流體力學(xué)［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，1988：12－17.

［2］王紹亭，陳 濤.動(dòng)量、熱量與質(zhì)量傳遞［M］.天津：科學(xué)技術(shù)出版社，1988：85－110.

［3］Bober W，Kenyon R A.Fluid Mechanics［M］.New York：John Wiley ＆Sons，1980：31－42.

［4］陳敏恒，方圖南，等.化工原理教與學(xué)［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，1996：97－138.