李紅，郭樹星，韓邦成，鄭世強

(1.北京航空航天大學 慣性技術(shù)重點實驗室，北京100191;2.北京航空航天大學 新型慣性儀表與導航系統(tǒng)技術(shù)國防重點學科實驗室，北京100191)

0 引言

電磁軸承具有無接觸、無摩擦、振動小、噪音低、無需潤滑、阻尼剛度主動可控等優(yōu)勢[1]，但是功耗特別是大功率場合還是比較嚴重。功耗主要由軸承鐵耗、銅耗、開關(guān)損耗、風耗組成，其中軸承鐵耗、銅耗受軸承線圈電流影響較大。電磁軸承線圈電流由控制電流和偏置電流構(gòu)成。合理配置偏置電流降低系統(tǒng)功耗，關(guān)于這方面的研究已經(jīng)稱為熱點[2]。

利用永磁體代替偏置電流提供偏置磁場[3－5]，該方法在降低功耗方面具有較大優(yōu)勢，但是其控制靈活性不如純電磁軸承，同時加工難度較大，加工成本較高。

純電磁軸承可以采用固定值偏置電流控制和變偏置電流控制，其中固定偏置電流控制主要有以下幾個方面:將偏置電流設置為線圈允許最大電流的一半，采用差動控制方式，這種方式控制線性化較好，但是功耗較大;將偏置電流設置成較小固定值，采用單邊控制方式，這種方式功耗較小，但是僅僅適用于剛度低、振動小情況[2，6];從功率放大器和電磁鐵的角度分析偏置電流對剛度和阻尼影響，提出了低偏置磁通和低偏置電流控制的方法，該方案分析角度較為新穎，但是沒有兼顧控制器方面影響[7];通過建立功耗函數(shù)，并將電壓、電流、力等作為約束條件，求當功耗最小時電流最優(yōu)解，得出單邊激勵模式性能變差是因為電壓飽和的結(jié)論，并提出一種電流的靜態(tài)分配策略。該方案將一個工程問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題，具有一定的廣適性，但是系統(tǒng)設計時考慮邊界條件較多，推導過程復雜，控制效果也很難達到最優(yōu)[8];將偏置電流設置為零，多采用非線性控制方法，控制復雜，動態(tài)性能差，對于外部擾動魯棒性不好[9]。

針對實驗室現(xiàn)有高速磁懸浮電機電磁軸承采用固定偏置電流導致軸承功耗較大問題，本文通過建立功耗函數(shù)，結(jié)合約束條件，求當功耗最小時偏置電流最優(yōu)解，考慮實際控制難度，對偏置電流曲線進行近似線性化處理，實現(xiàn)變偏置電流快速穩(wěn)定控制。

1 變偏置電流方案

僅考慮轉(zhuǎn)子在X方向運動情況，單自由度電磁軸承結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1中fx為為轉(zhuǎn)子在X方向所受合力;r為相鄰磁極夾角的一半;ib為偏置電流;ic為控制電流;x0為徑向間隙。

假設磁極和轉(zhuǎn)子表面間氣隙磁感應強度相同，且沒有漏磁，可以得到轉(zhuǎn)子在X方向所有合力為

式中:真空磁導率 μ0=4π×10－7;N為磁軸承線圈匝數(shù);S為磁極面積;x為轉(zhuǎn)子位移偏差。

圖1 電磁軸承結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The structure scheme of active magnetic bearings

當轉(zhuǎn)子懸浮在電磁軸承中心位置時，有小位移線性化上式簡化為

可以進一步表示為

控制電流采用PID閉環(huán)控制，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮，有

kp、ki、kd分別為 PID 控制的比例、積分、微分系數(shù)。

引入偏置電流調(diào)理參數(shù)kbias，結(jié)合式(3)有

由式(5)進一步得到

偏置電流通常設置為不大于線圈最大允許電流imax一半，同時要滿足ib≥ic，由此可以得到 ib取值范圍為結(jié)合式(6)和式(7)，可以得到

在[T1，T2]時間段里，磁軸承線圈平均銅耗pcu為

式中R為磁軸承線圈電阻，可以進一步得到

上式等號成立條件為

2 變偏置電流近似線性化

在實際控制中開方運算耗時較長，約為基本乘法操作運算的20倍以上，不利于實時快速控制。在此對式(11)進行分段線性化。

純電磁軸承設計參數(shù) N=235;r=22.5°;S=2.8 ×108μm2;x0=400 μm?？梢缘玫?kc=112 N/A2，kx=0.28 N/μm·A2。軸承設計線圈允許最大電流為1.5 A，由不等式(8)可知，線圈偏置電流最大為0.75 A。磁軸承保護間隙為200 μm。

由式(11)可以得到當偏置電流調(diào)理參數(shù)kbias從0.1到0.6變化時，轉(zhuǎn)子位移偏差與偏置電流關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子位移偏差與偏置電流關(guān)系曲線Fig.2 The relation curve of rotor displacement difference and bias current

由圖2可知:偏置電流隨著位移偏差增大而增大，kbias越大，增幅越明顯，曲線線性度較好。

由式(2)和式(11)可得到轉(zhuǎn)子位移偏差與所受軸承力關(guān)系曲線如圖3所示。

由圖3可以看出軸承力隨位移偏差增大而增大;隨著kbias增大，上述增幅變大。軸承設計中起浮力為34 N，可見當 kbias不小于0.3時即可以滿足要求?？梢愿鶕?jù)轉(zhuǎn)子所受擾動力，對kbias進行調(diào)整。

圖3 轉(zhuǎn)子位移偏差與軸承力關(guān)系曲線Fig.3 The relation curve of rotor displacement difference and bearings force

下面對kbias=0.3對應的曲線，進行線性化處理。結(jié)合實際應用情況可以對 kbias進行適當?shù)恼{(diào)整，線性化過程相同。

當轉(zhuǎn)子在中心位置時將偏置電流設置為ib=0;位移偏差最大時ib=0.6 A得到kbias=0.3時式(11)的近似線性化表達式為

3 仿真分析

仿真過程中，PID控制微分環(huán)節(jié)采用純微分，但在實際應用中因為純微分環(huán)節(jié)對噪聲敏感，通常加入一階慣性環(huán)節(jié)，構(gòu)成不完全微分控制;功放、位移傳感器理想化為比例環(huán)節(jié)kamp、ks;轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m。

變偏置電流控制框圖如圖4所示。

圖4 變偏置電流控制框圖Fig.4 The block diagram of variable bias current

由圖4可以看到:根據(jù)轉(zhuǎn)子位移偏差，采用PID控制方式控制電流;采用經(jīng)過近似線性化的方程控制偏置電流;同時電流剛度和位移剛度隨偏置電流變化而改變。

選擇不同轉(zhuǎn)子位移偏差進行仿真，如表1所示。仿真控制參數(shù)如表2所示。

表1 仿真差數(shù)據(jù)組Table 1 Simulation data groups

表2 仿真控制參數(shù)Table 2 Simulation control parameters

仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 起浮狀態(tài)仿真曲線Fig.5 Simulation curve of floating state

在轉(zhuǎn)子位移偏差由0到200 μm之間均可以進行快速響應，并達到穩(wěn)定狀態(tài);當轉(zhuǎn)子位移偏差越大時，響應偏置電流、位移剛度和電流剛度也越大，系統(tǒng)響應越快。

通過仿真可知變偏置電流方案可以使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定起浮。

4 實驗驗證

實驗采用基于純電磁軸承的4 kW高速磁懸浮電動機實驗平臺，如圖6所示。

采用變偏置電流與固定偏置電流就轉(zhuǎn)子起浮狀態(tài)、靜浮狀態(tài)和降速功耗進行比較。

圖6 高速磁懸浮電機試驗平臺Fig.6 Experimental platform of high speed magnetically suspended motor

4.1 起浮狀態(tài)和靜態(tài)懸浮狀態(tài)測試

實驗采用軸向承重，徑向四通道起浮和靜浮測試，如圖7所示，其中 AX、AY采用變偏置電流控制，BX、BY采用固定偏置電流(ib=0.75 A)控制。圖7(a)為起浮狀態(tài)，圖7(b)為靜態(tài)懸浮狀態(tài)。

圖7 兩種控制方案徑向四通道狀態(tài)實驗結(jié)果Fig.7 Experimental results of radial four channels status in tow control schemes

當轉(zhuǎn)子進行起狀態(tài)時，采用變偏置相對于固定偏置，系統(tǒng)響應時間略長，初始振蕩幅值也略大，這是因為變偏置電流控制，偏置電流隨著轉(zhuǎn)子位移偏差變化而變化，軸承力變化幅度較大。但是兩種方案均可以使轉(zhuǎn)子正常懸浮，

當轉(zhuǎn)子正常懸浮時，變偏置電流控制轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性相對于固定偏置電流控制較好，前者峰峰值約為50 mV，后者約為80 mV，大概降低了約37%。

當轉(zhuǎn)子正常懸浮時，AX通道采用變偏置電流控制，AY通道采用固定偏置電流控制，兩通道轉(zhuǎn)子位移、線圈電流(每個通道線圈電流為差動控制兩線圈電流之和)如圖8所示。

圖8 兩種控制方案靜態(tài)懸浮線圈電流實驗結(jié)果Fig.8 Experimental results of static suspension coil current in two control schemes

由圖8可知靜態(tài)懸浮狀態(tài)采用變偏置電流控制方案比固定偏置電流控制方案線圈電流明顯降低。變偏置電流控制線圈電流為318.2 mA，固定偏置電流控制線圈電流為1 536.4 mA，前者相對于后者軸承銅耗降低約為95%。

4.2 降速功耗測試

轉(zhuǎn)子彎曲模態(tài)為840 Hz左右，為了使轉(zhuǎn)子工作在剛性范圍內(nèi)，采用兩種控制方案電機由700 Hz自由降速過程線圈電流，每10 Hz記錄一次徑向AX道電流，如圖9所示。

圖9 AX通道降速過程中線圈電流Fig.9 AX channel ring current during spin down in tow control schemes

由圖9可知降速過程采用變偏置電流控制方案比固定偏置電流控制方案線圈電流明顯降低。變偏置電流控制線圈電流為0.37 A，固定偏置電流(Ib=0.75 A)控制線圈電流為1.57 A，采用前者比后者軸承銅耗降低約94%。

通過對磁懸浮電機降速功耗分離，可以得到軸承鐵耗在兩種控制方案下隨轉(zhuǎn)頻變化如圖10所示。

圖10 兩種方案下軸承鐵耗與電機轉(zhuǎn)頻關(guān)系曲線Fig.10 The relation curve of bearings iron loss and motor speed in two control schemes

由上圖可知鐵耗隨轉(zhuǎn)速減小而減小;轉(zhuǎn)速越高變偏置電流方案相對于固定偏置方案降低軸承鐵耗越明顯;當轉(zhuǎn)頻為700 Hz時，變偏置電流控制軸承鐵耗約為12 W，固定偏置電流(ib=0.75 A)控制鐵耗約為48 W，采用前者比后者軸承鐵耗降低約為75%。

5 結(jié)語

通過電磁軸承功耗與偏置電流之間的關(guān)系，建立最小功耗時偏置電流表達式，為了實際控制中應用對偏置電流表達式進行近似線性化處理，實現(xiàn)變偏置電流控制方案。

Matlab/SIMULINK建模和仿真表明變偏置電流控制方案可以使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定的起浮。

高速電機實驗證實變偏置電流控制方案可以使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定起浮并保持較好的靜態(tài)懸浮狀態(tài);相對于固定偏置電流控制可以降低磁軸承銅耗達94%左右，鐵耗最高達75%。

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