吳瑩，黃顯林，高曉智，，Kai Zenger

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，黑龍江 哈爾濱150001;2.阿爾托大學(xué) 自動(dòng)化與系統(tǒng)技術(shù)系，芬蘭 赫爾辛基 FI－00076)

0 引言

人工魚群算法(artificial fish-swarm algorithm，AFA)是一種基于自然界魚群行為的群智能優(yōu)化算法[1]。AFA算法通過模擬魚覓食、群聚和追尾等行為，建立人工魚群的簡(jiǎn)單的基本行為。AFA算法有較好的全局尋優(yōu)性能，對(duì)搜索空間也有一定的自適應(yīng)能力。然而由于人工魚個(gè)體行為是尋找局部最優(yōu)值，這種算法不可避免地會(huì)遇到個(gè)體早熟的難題，在處理多峰函數(shù)優(yōu)化時(shí)容易陷入局部最優(yōu)。為進(jìn)一步提高AFA算法的全局收斂性能，本文提出在算法中引入變異因子，同時(shí)應(yīng)用文化算法指導(dǎo)魚群的進(jìn)化。

文化算法(culture algorithm，CA)是一種新穎的處理優(yōu)化問題的方法，由 Reynolds于 1994年提出[2]。CA算法包含了由人類社會(huì)文化發(fā)展規(guī)則發(fā)展出來的一類計(jì)算模型，是一個(gè)雙向繼承體系。從微觀角度，群體空間中進(jìn)行著魚群進(jìn)化;從宏觀角度，個(gè)體在進(jìn)化過程中得到的經(jīng)驗(yàn)通過接收函數(shù)保存在信仰空間中，用于指導(dǎo)個(gè)體往更優(yōu)解的方向進(jìn)化。信仰空間和群體空間之間通過通訊協(xié)議聯(lián)系，通訊協(xié)議決定了知識(shí)通過影響函數(shù)指導(dǎo)群體空間個(gè)體進(jìn)化的方式。多種進(jìn)化算法可以嵌入到文化算法框架中作為群體空間的進(jìn)化過程[2－4]。

本文首先引入變異算子，將文化算法和AFA算法融合，提出了克服算法早熟缺點(diǎn)的帶變異算子的魚群算法——CAFAC(cultured AFA with crossover，CAFAC)。根據(jù)融合方式的不同，一共提出了4種CAFAC算法。將人工魚群作為文化算法中的群體空間，利用信仰空間中的規(guī)劃知識(shí)和情景知識(shí)指導(dǎo)魚群進(jìn)化的步長(zhǎng)和方向。通過5個(gè)高維多峰函數(shù)檢驗(yàn)算法的性能，最后應(yīng)用新算法求解鼠籠式感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)問題。

1 人工魚群算法和文化算法

1.1 人工魚群算法

人工魚群算法的基本思想是模擬魚的行為，例如覓食、群聚和追尾。假設(shè)D維優(yōu)化問題，共有N條人工魚，每一條人工魚描述為:Xi=(xi1，xi2，…，xiD)，i=1，2，…，N，其中 Xi表示要優(yōu)化的變量，y=f(Xi)表示適應(yīng)度函數(shù)，描述了人工魚所在點(diǎn)的食物濃度，f(Xi)值越小說明食物濃度越低。AFA算法的主要參數(shù)有 dij=‖Xj－Xi‖表示人工魚個(gè)體 Xi和Xj之間的距離;vvisual表示人工魚個(gè)體的視野;sstep表示人工魚個(gè)體移動(dòng)步長(zhǎng);δ表示擁擠度因子。

人工魚的行為描述如下[1]:

1)覓食行為:人工魚當(dāng)前狀態(tài)為Xi，在其視野范圍內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)狀態(tài)Xj表示為Xj=Xi+rand(0，1)×vvisual，當(dāng)該狀態(tài)的食物濃度大于當(dāng)前狀態(tài)，即f(Xj)＜f(Xi)時(shí)，則人工魚向該方向前進(jìn)一步，即

如果f(Xj)＞f(Xi)，則重新隨機(jī)選擇 Xi，判斷是否滿足前進(jìn)條件;反復(fù)ntry－number次后，如果仍不滿足，則隨機(jī)移動(dòng)一步，即

2)群聚行為:人工魚當(dāng)前狀態(tài)為 Xi，在其視野范圍內(nèi)有nf個(gè)伙伴。如果nf≠0定義人工魚群伙伴中心位置)表示中心位置的適應(yīng)度值。如果nf×ycenter＜δ×yi，則表明伙伴中心位置Xcenter不太擁擠，同時(shí)，如果中心位置的食物濃度大于當(dāng)前狀態(tài)的食物濃度，則人工魚向Xc前進(jìn)一步，即

如果nf×ycenter＜δ×yi，人工魚執(zhí)行覓食行為。

3)追尾行為:人工魚當(dāng)前狀態(tài)為 Xi，在其視野范圍內(nèi)的最優(yōu)伙伴是 Xmin，對(duì)應(yīng)的食物濃度分別為ymin=f(Xmin)。nf表示 XminXmin視野范圍內(nèi)伙伴數(shù)目，如果 ymin＜f(Xi)，nf×ymin＜δ×yi，則人工魚向Xmin前進(jìn)一步，即

如果前進(jìn)條件不滿足，則執(zhí)行覓食行為。

1.2 文化算法

Reynolds在1994年提出了文化算法這一概念，文化算法總體上包括三大元素:種群空間，信念空間和通訊協(xié)議，其中通訊協(xié)議又包括接收函數(shù)、更新函數(shù)和影響函數(shù)[5]。文化算法的基本框架[6]如圖 1所示。

圖1 文化算法框架Fig.1 Framework of cultural algorithm

2 帶變異算子的文化魚群算法

人工魚群算法具有對(duì)初值、算法參數(shù)設(shè)置不敏感的特點(diǎn)。然而由于人工魚進(jìn)化行為和步長(zhǎng)的隨機(jī)性，算法在成熟階段收斂很慢，特別是當(dāng)解空間較大或者為平坦區(qū)時(shí)，算法存在搜索盲區(qū)，造成人工魚群算法局部搜索能力和全局探索能力之間的失衡。針對(duì)這些不足，本文提出了一種新型的帶變異算子的文化魚群算法CAFAC，改進(jìn)常規(guī)人工魚群算法的優(yōu)化性能。

首先在人工魚群算法中引入變異算子改變?nèi)斯~的狀態(tài)，使人工魚盡可能地搜索其他區(qū)域的可能的解。人工魚找到食物后，通常會(huì)游向更好的方向。變異算子帶來的探索行為不僅可以幫助人工魚跳出搜索盲區(qū)，而且繼承了父代的優(yōu)勢(shì)。

接下來受到文化算法思想的啟發(fā)，在基本人工魚群算法中應(yīng)用信仰空間中保存的規(guī)劃知識(shí)和情景知識(shí)指導(dǎo)人工魚種群的進(jìn)化步長(zhǎng)和方向[7]。這樣在信仰空間中形成和保存的域知識(shí)可以用來描述和指導(dǎo)種群的每一步進(jìn)化行為，根據(jù)知識(shí)指導(dǎo)進(jìn)化方式的不同，本文中提出了4種不同形式 CAFAC算法。

2.1 CAFAC算法中的信仰空間結(jié)構(gòu)

情景知識(shí)只包含人工魚群中的當(dāng)前最佳個(gè)體，定義在第t步迭代的情景知識(shí)描述為。情景知識(shí)的初始值為初始種群中的最佳人工魚個(gè)體，迭代過程中的更新方程可描述為

規(guī)劃知識(shí)描述了優(yōu)化問題的可行解空間[7]。每一個(gè)變量的規(guī)劃知識(shí)表示為

其中U、L和D 是n維向量，I={x|l≤x≤u}，n表示變量個(gè)數(shù);lj和uj分別是第j個(gè)變量的下界和上界，Lj和Uj是對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值。通常lj和 uj用初始種群的下界和上界初始化。在迭代過程中，規(guī)劃知識(shí)按照以下公式更新，即

其中第ith個(gè)體影響第 j個(gè)變量的下界，第k個(gè)體影響第jth個(gè)變量的上界，t表示信仰空間當(dāng)前的迭代步數(shù)。

2.2 CAFAC算法中的接收函數(shù)

接收函數(shù)的作用是確定種群中哪部分個(gè)體用來更新信仰空間中的知識(shí)。用于更新知識(shí)的個(gè)體數(shù)目可由下式確定[4]，即

其中N是種群規(guī)模，t是當(dāng)前迭代步數(shù)，β=0.2。

2.3 CAFAC算法中的影響函數(shù)

信仰空間的知識(shí)通過3種方式影響種群空間的個(gè)體進(jìn)化:1)決定進(jìn)化的步長(zhǎng)。2)決定進(jìn)化的方向。3)由規(guī)劃知識(shí)確定決定前進(jìn)步長(zhǎng)，同時(shí)在視野范圍內(nèi)確定人工魚個(gè)體下一步前進(jìn)的方向。

利用規(guī)劃知識(shí)和情景知識(shí)指導(dǎo)進(jìn)化的步長(zhǎng)和方向時(shí)，有4種不同的方式。如果規(guī)劃知識(shí)僅用來決定前進(jìn)步長(zhǎng)，則新算法稱為CAFAC(Ns);如果用情景知識(shí)來指導(dǎo)人工魚個(gè)體的進(jìn)化方向，則新算法稱為CAFAC(Sd);如果利用規(guī)劃知識(shí)指導(dǎo)人工魚個(gè)體進(jìn)化的步長(zhǎng)，同時(shí)利用情景知識(shí)指導(dǎo)進(jìn)化的方向，新算法稱為CAFAC(Ns+Sd);如果利用規(guī)劃知識(shí)同時(shí)指導(dǎo)人工魚個(gè)體的進(jìn)化方向和步長(zhǎng)，則產(chǎn)生的新算法稱為CAFAC(Ns+Nd)。接下來例舉CAFAC(Ns+Sd)算法的影響函數(shù)，說明兩種知識(shí)對(duì)人工魚進(jìn)化的指導(dǎo)作用。

在第k步進(jìn)化時(shí)，利用情景知識(shí)指導(dǎo)進(jìn)化的方向?yàn)?/p>

其中Δ描述了進(jìn)化的步長(zhǎng)，利用規(guī)劃知識(shí)指導(dǎo)進(jìn)化的步長(zhǎng)。

1)覓食行為

當(dāng) i≤ntry－number時(shí)，

當(dāng) i＞ ntry－number時(shí)，

2)群聚行為

3)追尾行為

2.4 變異算子

根據(jù)以下準(zhǔn)則判斷CAFAC算法是否陷入局部最優(yōu):

當(dāng)以上判斷準(zhǔn)則成立時(shí)，對(duì)第 i個(gè)人工魚Xi(i=1，2，…，N)執(zhí)行變異操作[8]:

其中:xr2，xr1是隨機(jī)挑選的兩個(gè)人工魚個(gè)體，r1，r2是[1，N]區(qū)間里的兩個(gè)隨機(jī)整數(shù)，并且滿足r1≠r2≠i;α是[－d，1+d]中滿足均勻分布的隨機(jī)數(shù)，其中d=0.25;評(píng)價(jià)子代 x'i，如果優(yōu)于父代，則用 x'i替代xi。

本文提出的新算法CAFAC的基本流程可以描述如下:

1)初始化人工魚個(gè)體的數(shù)目N，人工魚視野范圍、擁擠度因子等算法參數(shù)，設(shè)置迭代次數(shù)和收斂條件，初始化N個(gè)人工魚個(gè)體的位置;

2)評(píng)價(jià)所有人工魚個(gè)體，計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值，初始化信仰空間;

3)對(duì)每一個(gè)人工魚個(gè)體，比較覓食、群聚和追尾三種行為，選擇其中最好的子代，如果對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值優(yōu)于父代，則用子代替代父代;

4)更新信念空間;

5)如果滿足不等式(14)，則對(duì)第3步中的人工魚個(gè)體執(zhí)行變異操作;

6)判斷是否滿足收斂條件，如果不滿足則回到第3步直到滿足算法收斂條件。

3 高維多峰非線性函數(shù)優(yōu)化

選取5個(gè)高維、多峰非線性函數(shù)檢驗(yàn)新算法CAFAC的性能，包括4種算法形式CAFAC(Ns)，CAFAC(Sd)，CAFAC(NsSd)以及CAFAC(NsNd)。分別為fAckley(x)=

(xi－ 1)2;;參數(shù)設(shè)置如下:N=40，D=30，vvisual=250，sstep=225，δ =24，ntry－number=10。測(cè)試函數(shù)的維數(shù)均為30。

算法分別運(yùn)行 10次，每一次迭代 5 000步。CAFAC算法的性能與基本魚群算法AFA的比較結(jié)果如表1所示。從表中可以看出，對(duì)于 Expfun函數(shù)、Griewank函數(shù)和 Neumaier3函數(shù)，算法 CAFAC(NsSd)可以準(zhǔn)確地找到全局最優(yōu)值。對(duì)于Ackley和Rosenbrock函數(shù)，所有的4種CAFAC算法的性能都較AFA算法有明顯提高，體現(xiàn)了新算法全局優(yōu)化性能有了顯著的改善。從表1中還可以看到CAFAC(NsSd)算法的性能總體上優(yōu)于其他3種算法，由此可以推斷利用信仰空間中的知識(shí)指導(dǎo)魚群進(jìn)化的方向和步長(zhǎng)可以取得最佳的優(yōu)化性能。

表1 CAFAC算法與AFA算法函數(shù)優(yōu)化性能比較Table 1 Performance comparison for CAFAC and AFA

以 Ackley和Rosenbrock函數(shù)為例，圖2、圖3比較了4種CAFAC算法的收斂性能。為了便于比較，圖中縱軸是采用了對(duì)數(shù)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)每50步畫一個(gè)數(shù)據(jù)。平均適應(yīng)度函數(shù)值是算法10次獨(dú)立運(yùn)行對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值的平均值。從圖上可以看出，AFA算法在迭代初期收斂很快，但是隨后便陷入局部最優(yōu)。CAFAC算法較好地客服了AFA算法的這一不足，提高了人工魚群算法跳出局部最優(yōu)的能力，提高了全局尋優(yōu)性能。

圖2 Ackley函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果Fig.2 Results of Ackley function

圖3 Rosenbrock函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Results of Rosenbrock function

4 籠式感應(yīng)電機(jī)參數(shù)辨識(shí)

4.1 問題描述

本節(jié)中研究的籠式感應(yīng)電機(jī)，在定子上繞有4極繞組起到執(zhí)行器的作用。執(zhí)行器產(chǎn)生作用于轉(zhuǎn)子的力，抑制轉(zhuǎn)子軸在水平和垂直方向的振動(dòng)偏移。電機(jī)辨識(shí)系統(tǒng)中利用電渦流傳感器測(cè)量電機(jī)轉(zhuǎn)軸的振動(dòng)偏移量，編碼器用于測(cè)量轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角度和頻率。電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的目的是建立電機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)系統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制器。電機(jī)工作頻率32.085 Hz，激勵(lì)信號(hào)(水平和豎直方向的控制電壓)是一個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列，頻率最高500 Hz。輸出信號(hào)經(jīng)過處理，只保留激勵(lì)信號(hào)引起的系統(tǒng)響應(yīng)[9]，如圖4所示。圖4中前13 s記錄的數(shù)據(jù)用于參數(shù)辨識(shí)，剩余的數(shù)據(jù)用作測(cè)試數(shù)據(jù)。

研究電機(jī)系統(tǒng)的線性時(shí)不變參數(shù)模型，根據(jù)文獻(xiàn)[10]，感應(yīng)電機(jī)模型建立在模態(tài)坐標(biāo)系中的機(jī)械模型基礎(chǔ)上[11]:

其中:η表示模態(tài)坐標(biāo)系中的向量;urc表示轉(zhuǎn)子軸中心偏移量;Φrc表示模態(tài)矩陣;Ω表示包含固有頻率的對(duì)角陣;Ξ表示包含不同頻率對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)的模態(tài)阻尼矩陣;fex表示干擾力;fc表示作用在轉(zhuǎn)子上的機(jī)電控制力。

圖4 轉(zhuǎn)子偏移實(shí)測(cè)值Fig.4 Measurements of rotor displacement

模型結(jié)構(gòu)與文獻(xiàn)[12]中相同，表示為

其中各個(gè)矩陣定義如下:

表2 電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)Table 2 Parameters of motor system

電機(jī)系統(tǒng)線性時(shí)變模型的參數(shù)如表2所示，滿足一定的物理約束。電阻值已知且是常數(shù)，Rc=14.5，無需優(yōu)化。當(dāng)不考慮不平衡磁拉力的作用時(shí)，模型簡(jiǎn)化為一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。輸入量包含控制繞組電壓υ，輸出量是轉(zhuǎn)子中心的偏移量urc。系統(tǒng)矩陣是未知參數(shù)的函數(shù)，未知參數(shù)的含義和電機(jī)系統(tǒng)模型的詳細(xì)推導(dǎo)見文獻(xiàn)[12]，將未知參數(shù)表示為如下向量:

4.2 利用CAFAC算法辨識(shí)電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)

參數(shù)辨識(shí)過程中，利用電壓υ和干擾力fex激勵(lì)系統(tǒng)。為了降低系統(tǒng)階次，從辨識(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)中去掉干擾力，即fex=0。辨識(shí)目的是建立系統(tǒng)參數(shù)模型，在保存的有限帶寬白噪聲激勵(lì)下，模型的輸出與實(shí)際系統(tǒng)的輸出信號(hào)吻合。參數(shù)辨識(shí)的基本思路是找到一組向量使得以下代價(jià)函數(shù)的值最小[15]，即

其中urc(n)表示電機(jī)系統(tǒng)在特定輸入下的輸出信號(hào)測(cè)量值(n)表示同樣輸入下，辨識(shí)得到的參數(shù)模型的輸出。定義一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)衡量得到的模型參數(shù)P的準(zhǔn)確性，即

在之前的CAFAC算法的仿真算例結(jié)果分析中，發(fā)現(xiàn)CAFAC的4種形式中 CAFAC(NsSd)算法的性能優(yōu)于其他3種形式，并且顯著優(yōu)于基本魚群算法AFA[14]。因此利用CAFAC(NsSd)算法進(jìn)行電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)化模型辨識(shí)。參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表3所示。利用測(cè)量數(shù)據(jù)的13～20 s的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果，最終辨識(shí)模型的輸出和實(shí)際系統(tǒng)的輸出對(duì)比結(jié)果如圖5所示，為了顯示清晰截取了15～16 s之間的對(duì)比結(jié)果。水平方向和豎直方向的模型匹配度分別為78.9400%和84.9011%?？梢钥闯隼肅AFAC算法得到的辨識(shí)模型有效地描述了實(shí)際系統(tǒng)的特性，參數(shù)模型的響應(yīng)與實(shí)際系統(tǒng)輸出間的偏差接近于零。

表3 電機(jī)系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果Table 3 Identification results of motor system

圖5 實(shí)際系統(tǒng)與辨識(shí)模型對(duì)比Fig.5 Comparison of outputs between the real system and estimated model

5 結(jié)論

基本人工魚群算法AFA在處理高維非線性優(yōu)化問題時(shí)，容易陷入搜索盲區(qū)。本文提出了新算法CAFAC，引入了文化算法框架，利用存儲(chǔ)在信仰空間的規(guī)劃知識(shí)和情景知識(shí)指導(dǎo)人工魚群的進(jìn)化;變異算子的引入提高了人工魚群的多樣性，有助于算法跳出局部最優(yōu)，新算法提高了人工魚群算法的全局優(yōu)化性能。

通過高維多峰函數(shù)優(yōu)化問題檢驗(yàn)了新算法性能，結(jié)果表明本文提出的基于知識(shí)和變異算子的CAFAC算法相較基本魚群算法，全局優(yōu)化性能有了顯著提高。最后利用CAFAC算法進(jìn)行了內(nèi)置執(zhí)行器的籠式感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)，結(jié)果表明辨識(shí)得到的參數(shù)化執(zhí)行器－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型有效地體現(xiàn)了實(shí)際電機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)特性，具有很高的匹配度。本文的研究結(jié)果表明CAFAC優(yōu)化算法在函數(shù)優(yōu)化以及高維非線性系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域具有很好的應(yīng)用前景。

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