（浙江省電力設計院，杭州310012）

輸配電技術

概率最優(yōu)潮流方法及其在無功優(yōu)化配置中的應用

丘文千

（浙江省電力設計院，杭州310012）

針對電力系統(tǒng)運行中存在的大量不確定因素，探討概率最優(yōu)潮流方法及其在無功優(yōu)化配置中的應用。分析和比較了蒙特卡羅法、半不變量法、點估計法等幾類主要概率分析方法及特點，重點介紹點估計法及應用。給出了概率無功優(yōu)化模型及蒙特卡羅法、半不變量法和點估計法的求解方法，通過實例對各種算法的準確性進行比較，并驗證了方法的有效性。

電力系統(tǒng)分析；概率最優(yōu)潮流；無功優(yōu)化配置；點估計法

電力系統(tǒng)運行中存在大量的不確定因素，如負荷、功率或發(fā)電出力的隨機變化，電力設備因隨機故障退出運行等。為了掌握這些變化對系統(tǒng)運行狀況的影響，在電力系統(tǒng)規(guī)劃設計和運行方式的研究中需要進行大量的潮流計算，但仍很難全面反映上述情況。概率潮流方法是解決上述問題的有效方法，根據(jù)負荷等隨機擾動的概率分布獲得待求狀態(tài)量的概率分布函數(shù)，可提供更全面的信息。但一般的概率潮流模型中的狀態(tài)變量是電壓相角和幅值，將電源出力等調控因素視為固定不變，缺乏系統(tǒng)應對隨機擾動的調控信息。

隨著計算機的廣泛應用，最優(yōu)化方法也得以迅速發(fā)展，廣泛應用于國民經(jīng)濟的各個領域，成為提高生產(chǎn)力和資源利用效率的有效手段，正在發(fā)揮越來越大的作用。由于隨機因素的影響，在電力系統(tǒng)運行與規(guī)劃的優(yōu)化問題中，若不考慮隨機因素將無法得出真正意義上的“最優(yōu)”決策。

概率最優(yōu)潮流方法是概率潮流方法和最優(yōu)化方法的發(fā)展與結合。本文運用概率最優(yōu)潮流方法，通過概率無功優(yōu)化計算獲得無功出力應對負荷隨機擾動的概率信息，有助于優(yōu)化無功配置方案。

1 概率潮流方法

概率潮流方法是電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行的宏觀統(tǒng)計方法，在一些文獻中或稱為隨機潮流方法。概率潮流計算運用概率統(tǒng)計方法處理系統(tǒng)運行中的隨機變化因素，如考慮負荷波動、設備隨機故障等，根據(jù)這些隨機變化因素的概率分布獲得狀態(tài)變量的概率分布函數(shù)，如運行電壓、支路潮流的概率分布函數(shù)等。因此，概率潮流計算比一般潮流計算能更深刻揭示系統(tǒng)運行狀況、存在問題與薄弱環(huán)節(jié)，例如給出電壓越限概率和線路過負荷概率等，可以為運行與規(guī)劃決策提供更完整的信息，從而得到廣泛應用。

隨著對概率潮流計算方法研究的深入，出現(xiàn)了半不變量法（累積量法）[1]、蒙特卡羅法[2]、一次二階矩法[3]、點估計法[3-4]等計算方法。

蒙特卡羅法也被稱為抽樣試驗法，通過大規(guī)模統(tǒng)計試驗獲得結果，可直接使用現(xiàn)有的確定性分析計算模型與方法，不需要進行線性化處理和近似，便于處理隨機輸入量的相關性和設備隨機故障等，缺點是計算量較大，為滿足計算精度的要求，通常需要進行大量的反復抽樣計算。

半不變量法和一次二階矩法一般以牛頓-拉夫遜法潮流方程的線性關系式為基礎。半不變量法利用隨機變量的半不變量性質簡化隨機變量的卷積運算，然后運用Gram-Charlier級數(shù)或Edgeworth級數(shù)求出隨機變量的概率分布。半不變量法通過隨機待求量與隨機輸入量的線性關系，將隨機輸入量的m階半不變量變換為隨機待求量的m階半不變量，然后求得隨機待求量的概率分布。半不變量法假定隨機變量之間相互獨立，忽視了實際可能存在的相關性。一次二階矩法則根據(jù)隨機輸入量與隨機待求量的線性關系式，由隨機輸入量的協(xié)方差矩陣求得隨機待求量的協(xié)方差矩陣，能夠計及隨機輸入量和隨機待求量的相關性。線性化近似處理會影響計算的準確性，為提高計算的準確性，一次二階矩法有幾個改進模型[5]，但都增加了模型和計算的復雜性。

與蒙特卡羅法相比，點估計法同樣可以在很大程度上利用現(xiàn)有的確定性模型與方法，且計算量大大減少，若系統(tǒng)有n個隨機輸入量，僅需要進行2n或2n+1次確定性計算就可以獲得待求隨機量的概率分布信息，與半不變量法和一次二階矩法相比一般更為準確。近年來在電壓穩(wěn)定分析[6-9]、電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析[10-11]、電力市場競價交易[12]等方面都有應用。

2 點估計法

點估計法是根據(jù)隨機輸入量的概率分布求取待求隨機量各階矩的概率統(tǒng)計方法。假定X=[X1，…，Xn]T為隨機輸入量，Y=[Y1，…，Ym]T為待求隨機量，簡單起見先設X1，…，Xn相互獨立，且Y與X的函數(shù)關系可表示為Y=f（X）。對Y作泰勒級數(shù)展開，用Xk的各階矩構成r個估計點，對于具有n個隨機輸入量的系統(tǒng)，點估計法僅需r×n次確定性計算即可獲得待求隨機量Y的前2r-1階矩，從而得到Y的概率分布。估計點Xk由以下公式確定：

式中：ξk，j為待定系數(shù)；pk，j為Xk的取值點xk，j的權重系數(shù)；μk，σk分別為隨機量Xk的期望值和標準差；λk，i為隨機量Xk的第i階標準中心矩，即第i階中心矩Mk，i與標準差σk的i次方的比值。

其中：

式中：h（x）為隨機量Xk的概率分布函數(shù)。

實際上，點估計法中每個隨機變量取值點都不超過3個，即r≤3。當r=2，即成為兩點估計法，取值點為每個隨機變量均值兩側各確定1個點，每次確定性計算取其中之一，其它隨機變量則取其均值。若系統(tǒng)中有n個隨機變量，僅需要進行2n次確定性計算。由式（2）和（3）可得：

由于λk，1=0，λk，2=1，聯(lián)立求解方程式（9）和（10），可得：

當待定系數(shù)ξk，j和權重系數(shù)pk，j確定后，隨機變量Y的i階矩計算如下：

點估計法中另一稱為三點估計法的取值方案是每個隨機變量取3個點，分別為均值和均值兩側各1個點，每次確定性計算取其中之一，其它隨機變量則取其均值。若系統(tǒng)中有n個隨機變量，要求3n次確定性計算，但由于其中n次計算中隨機變量取值點都為均值，只需計算1次即可，因此僅需要進行2n+1次確定性計算，故也稱為2n+1方案。由式（2）和（3）可得：

聯(lián)立求解方程式（14）和（15），并將λk，1=0，λk，2=1及ξk，3=0代入，可得：

對于正態(tài)分布（高斯分布），λk，3=0，λk，4=3，代入式（19）可知：當n＞3時pk，3＜0。按照文獻[4]的解釋，點估計法是基于權重的方法，而不是基于概率分布離散化的方法，pk，1，pk，2，pk，3均大于零的要求不一定能滿足。一般情況下，由于三點估計法利用了更高階的隨機變量矩信息，計算精度可能會更高一些[7]，[12]。但是三點估計法對隨機變量分布特征的要求較高，為使ξk，1和ξk，2為實數(shù)解，須滿足此外，由于不能滿足pk，1， pk，2，pk，3均大于零，還有可能出現(xiàn)E（X2）-[E（X）]2＜0的異常情況。

以上分析是假定隨機輸入量之間相互獨立，如果隨機輸入量之間具有相關性，可采用矩陣變換方法，即先確定隨機輸入量協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，用正交變換將其轉換為一組統(tǒng)計上相互獨立的隨機變量進行概率分析計算[3]，然后通過逆變換求取待求隨機量的協(xié)方差矩陣。

3 在無功優(yōu)化配置中的應用

無功優(yōu)化模型如下：

式中：X為狀態(tài)變量，包括無功電源功率Qgi、電壓相角θi和幅值Vi；Gij和Bij分別為導納矩陣元素Yij的實部和虛部，Pgi，Pli和Qli分別為節(jié)點i的有功電源功率、負荷有功功率和無功功率，Vi，min和Vi，max分別為節(jié)點i的電壓下限和上限，Qgi，min和Qgi，max分別為節(jié)點i的無功電源功率的下限和上限。

運用函數(shù)變換法，式（23）和（24）可通過以下變換式模擬：

代入系統(tǒng)潮流方程式（21）和（22），可得：

對于式（27）和（28），若發(fā)生隨機擾動（負荷擾動、設備故障等），必然引起無功電源功率、電壓相角及幅值也發(fā)生變化，可看作是系統(tǒng)對擾動的響應，設其變化量分別為ΔQgi，Δθi，ΔVi（i=1，…，n），將式（21）和（22）展開并略去高次項，可得到以下電源功率及相角、電壓與隨機擾動之間的線性關系式：

式中：ΔPdi和ΔQdi為隨機擾動。

式（20）為優(yōu)化目標。若以系統(tǒng)網(wǎng)損最小為優(yōu)化目標，可表示為：

由于無功優(yōu)化問題中的網(wǎng)內電源有功出力和有功負荷是確定的，系統(tǒng)網(wǎng)損最小等同于平衡節(jié)點注入有功功率最小，但后者的目標函數(shù)更為簡單，可表示為：

式中：Pgb和Plb分別為平衡節(jié)點的有功出力和有功負荷。

其它的優(yōu)化目標還有：

式中：Vi（O）為節(jié)點i的標準電壓。

構造拉格朗日函數(shù)：

最優(yōu)解存在的必要條件是拉格朗日函數(shù)對于所有變量及拉格朗日乘子的偏導數(shù)為零，即：

式（39）和（40）為潮流方程，其線性展開式如式（29）和（30），其中的ΔPdi和ΔQdi為隨機擾動。由于ΔPdi和ΔQdi作為擾動引入，不是狀態(tài)變量，其隨機變化不改變最優(yōu)條件（36）-（40）。將式（36）-（38）線性展開，與式（29）和（30）一起構成隨機無功配置規(guī)劃的狀態(tài)變量與隨機擾動的線性關系式，并可表示為矩陣形式：

將式（41）表示為：

可求得：

式中：S0為靈敏度矩陣，ΔW為隨機擾動，ΔX=為狀態(tài)變量，其中Δδ為系統(tǒng)滿足電壓、功率約束要求條件下由于隨機擾動而引起的電源無功功率響應，可據(jù)此確定考慮隨機擾動所需的無功電源容量。

利用上述模型還可對系統(tǒng)網(wǎng)損受隨機擾動影響的波動情況進行估算，由式（31），其線性化表達式為：

由式（41）可求得：

上述線性關系式可用于半不變量法或一次二階矩法計算。蒙特卡羅法通過對擾動的隨機抽樣形成一組輸入，然后利用確定性無功優(yōu)化方法[13-14]計算，重復上述過程獲得足夠的待求隨機量統(tǒng)計信息。點估計法則按照式（4）形成2n組（兩點估計法）或2n+1組（三點估計法）輸入量，然后利用確定性無功優(yōu)化方法計算，按照式（13）求得待求隨機量的概率分布。

4 算例

14節(jié)點系統(tǒng)網(wǎng)絡及節(jié)點參數(shù)如表1、表2所示，節(jié)點負荷Pdi和Qdi為符合正態(tài)分布的隨機變量，以Pdi和Qdi為均值，0.1Pdi和0.1Qdi為均方差。規(guī)定各節(jié)點電壓上下限為1.05和0.95（標幺值），概率無功優(yōu)化配置計算結果示于表3、表4和表5，表中Qi表示節(jié)點i的無功出力，正值為容性，負值為感性。為校驗概率無功優(yōu)化配置的正確性，運用蒙特卡羅方法，通過產(chǎn)生服從正態(tài)分布的隨機數(shù)來模擬各節(jié)點負荷功率的隨機變化，反復進行5 000次潮流計算，以其統(tǒng)計規(guī)律作為標準結果。由表可見，半不變量法和點估計法與蒙特卡羅法的計算結果是相符的，點估計法比半不變量法的精度更高。根據(jù)不同的控制策略（如電壓變化最小，無功補償設備容量最小或系統(tǒng)線損最小等），通過概率無功優(yōu)化計算獲得的無功出力應對負荷隨機擾動的概率統(tǒng)計信息，有助于優(yōu)化無功配置。顯然，為應對負荷等隨機擾動的影響，無功配置應有合理裕度。在本算例中，負荷預測誤差或隨機波動符合正態(tài)分布，正態(tài)隨機量的分布完全由其數(shù)學期望值μ和均方差σ所確定，并滿足：

式（47）即所謂“3σ規(guī)則”，表明正態(tài)隨機量的值落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]內是大概率事件，可用來估計隨機量的變化范圍，選擇合理裕度和優(yōu)化配置。

5 結語

概率最優(yōu)潮流方法是概率潮流方法和最優(yōu)化方法的發(fā)展與結合。本文運用概率最優(yōu)潮流方法，根據(jù)不同的控制策略，通過概率無功優(yōu)化計算獲得的無功出力應對負荷隨機擾動的概率統(tǒng)計信息，可用來優(yōu)化無功配置。為應對負荷等隨機擾動的影響，無功配置應有合理裕度。掌握隨機量的概率統(tǒng)計信息，可以估計隨機量的變化范圍，有助于選擇合理裕度和優(yōu)化配置。

概率最優(yōu)潮流的求解方法有半不變量法（累積量法）、蒙特卡羅法、一次二階矩法、點估計法等，其中點估計法可以利用現(xiàn)有的確定性模型與方法，若系統(tǒng)有n個隨機輸入量，僅需要進行2n或2n＋1次確定性計算就可以獲得待求隨機量的概率分布信息，與蒙特卡羅法相比計算量大大減少，與半不變量法和一次二階矩法相比一般更為準確，具有高效、準確的特點，適合工程應用。

[1]王錫凡主編.電力系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃[M].北京：水利電力出版社，1990.

[2]丁明，李生虎，黃凱.基于蒙特卡羅模擬的概率潮流計算[J].電網(wǎng)技術，2001，25（11）∶10-14.

[3]李雪，李渝曾，李海英.幾種概率潮流算法的比較與分析[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報，2009，21（3）∶12-17.

[4]H.P.HONG.An efficient point estimate method for probabilistic analysis[J].Reliability Engineering and System Safety，1998，59（3）∶261-267.

[5]張建芬，王克文，宗秀紅，等.幾種概率潮流模型的準確性比較分析.鄭州大學學報，2003，24（4）∶32-36.

[6]陳閩江，陳陳，吳蓓，等.計及STATCOM的動態(tài)電壓穩(wěn)定概率評估[J].高電壓技術，2010，36（4）∶1032-1037.

[7]王敏，丁明.考慮分布式電源的靜態(tài)電壓穩(wěn)定概率評估[J].中國電機工程學報，2010，30（25）∶17-22.

[8]候學勇，鞠平,付紅軍.基于兩點估計法的電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定概率分析[J].河海大學學報（自然科學版），2010，38（3）∶347-352.

[9]吳蓓，張焰，陳閩江.點估計法在電壓穩(wěn)定性分析中的應用[J].中國電機工程學報，2008，28（25）∶38-43.

[10]易海瓊，程時杰，候云鶴，等.基于點估計的電力系統(tǒng)穩(wěn)定概率分析[J].電力系統(tǒng)自動化，2007，31（23）∶1-4.

[11]楊慧敏，易海瓊，文勁宇，等.一種實用的大電網(wǎng)低頻振蕩概率穩(wěn)定性分析方法[J].電工技術學報，2010，25（3）∶124-129.

[12]潘煒，劉文穎，楊以涵.概率最優(yōu)潮流的點估計算法[J].中國電機工程學報，2008，28（16）∶28-33.

[13]丘文千.具有變量范圍約束的潮流算法在OPF中的應用[J].電力系統(tǒng)自動化，2007，31（15）∶35-40.

[14]丘文千.運用混合優(yōu)化算法求解包含離散變量的無功優(yōu)化問題[J].浙江電力，2008，27（4）∶1-4.

（本文編輯：龔皓）

Probabilistic Optimal Power Flow Method and Its Application in Optimum Reactive Power Allocation

QIU Wen-qian
（Zhejiang Electric Power Design Institute，Hangzhou 310012，China）

In the power system planning and operation，there are lots of uncertain factors.This paper discusses the probabilistic optimal power flow method and its application in optimum reactive power allocation. Through the analysis and comparison of the main kinds of probabilistic analysis methods and their characteristics including the method of monte-carlo，half invariable，point estimate，the paper focuses on the point estimation method and its application.The probabilistic reactive power optimization model and the solution methods of monte-carlo，half invariable，and point estimation are given.By a case study，the accuracies of these methods are compared，and the validities are demonstrated.

power system analysis；probabilistic optimal power flow；reactive power allocation；point estimation method

TM744+.2

：A

：1007-1881（2012）10-0001-06

2012-02-15

丘文千（1952-），男，上海人，碩士，教授級高級工程師，主要從事電力系統(tǒng)規(guī)劃、設計與技術管理工作。