陳 宇

邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部

談高職院校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)中《概率論》的教學(xué)

陳 宇

邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部

本文針對(duì)高職院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的特點(diǎn)，提出在高職院校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)中概率論的教學(xué)原則，并結(jié)合全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的具體案例加以說(shuō)明，對(duì)高職數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)提供了教學(xué)的依據(jù)。

數(shù)學(xué)建模；高職；概率；教學(xué)

數(shù)學(xué)模型是描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號(hào)組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，討論建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)是一項(xiàng)面向大學(xué)生的課外科技活動(dòng)，目的在于開(kāi)拓學(xué)生的知識(shí)面，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和協(xié)作意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力和開(kāi)放性思考方式。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽自1992年創(chuàng)辦以來(lái)，日益受到廣大大學(xué)生的歡迎，已經(jīng)成為目前全國(guó)高校規(guī)模最大的課外科技活動(dòng)。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的大專(zhuān)組比賽始于1999年，我院于2001年開(kāi)始參加大專(zhuān)組比賽，在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)中積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)。高職院校數(shù)學(xué)課的課時(shí)相對(duì)較少，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差，學(xué)生有很多數(shù)學(xué)建模所需的知識(shí)沒(méi)有經(jīng)過(guò)系統(tǒng)學(xué)習(xí)，即使學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)也不能完全掌握和領(lǐng)會(huì)。因此，高職院校數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的組織與培訓(xùn)應(yīng)有別于普通本科院校，并應(yīng)針對(duì)學(xué)生的情況與特點(diǎn)建立一套獨(dú)特的數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)方法和內(nèi)容。

在高職院校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)時(shí)，學(xué)生要在較短的學(xué)時(shí)內(nèi)盡快掌握建模的基本思想和方法，這就需要教師歸納比較不同數(shù)學(xué)分支所解決問(wèn)題的范圍及思維方式，盡可能總結(jié)出一套系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模方法。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，以其實(shí)用性和善于處理隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、政治學(xué)、生物科學(xué)等各學(xué)科領(lǐng)域以及社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐中，是數(shù)學(xué)建模中不可缺少的知識(shí)和基本方法。因此，研究如何在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用概率理論，如何做好數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)中概率論的教學(xué)具有重要的意義。在數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練中，為了讓學(xué)生更好地運(yùn)用概率知識(shí)，在教學(xué)中應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

1 引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)建模的內(nèi)涵，全面理解所研究的實(shí)際問(wèn)題，充分考慮到實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)性影響

現(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，這些因素根據(jù)其本身的特性及人們對(duì)它們的了解程度，可分為確定因素和隨機(jī)因素兩類(lèi)。確定因素決定事物的必然規(guī)律，是人們所能認(rèn)識(shí)而且能夠控制的因素；隨機(jī)因素使事物呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，大量的隨機(jī)因素未能為人們所認(rèn)識(shí)或未能被人們所控制，但只要存在隨機(jī)因素的影響，就必然會(huì)有所表現(xiàn)。從建模的背景、目的和手段看，如果隨機(jī)因素可以忽略或者隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn)，就可以建立確定性模型；如果隨機(jī)因素對(duì)研究對(duì)象的影響必須考慮，就應(yīng)該建立隨機(jī)性的數(shù)學(xué)模型或利用概率知識(shí)解決問(wèn)題。

例如，報(bào)童的訣竅問(wèn)題：報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣(mài)掉的報(bào)紙退回。報(bào)童每天如果購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，不夠賣(mài)，會(huì)少賺錢(qián)；如果購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，賣(mài)不完，將要賠錢(qián)。報(bào)童應(yīng)如何確定他每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大收益。顯然，報(bào)童應(yīng)該根據(jù)需求量確定購(gòu)進(jìn)量，而需求量是隨機(jī)的，致使報(bào)童每天的收入也是隨機(jī)的，隨機(jī)分布影響決策，因此必須考慮隨機(jī)因素對(duì)收益的影響，應(yīng)該建立隨機(jī)模型。

有時(shí)需要建立的并不是隨機(jī)模型，但是其中一些問(wèn)題或變量的處理需要考慮隨機(jī)因素。例如，在2006年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題《煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測(cè)與控制》中，由于煤礦中瓦斯和煤塵的濃度會(huì)受到工作中諸多因素的影響，因此煤礦出現(xiàn)不安全情況帶有隨機(jī)性，據(jù)此該煤礦出現(xiàn)不安全情況的可能性就可以通過(guò)概率的統(tǒng)計(jì)定義進(jìn)行計(jì)算。

2 熟練掌握概率的基本概念和知識(shí)，理解常用的重要分布，并能利用基本合理的假設(shè)將問(wèn)題簡(jiǎn)化到可以用簡(jiǎn)單的方法解決

近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽大專(zhuān)組的賽題中涉及的都是基本的概率知識(shí)，但是很多學(xué)生在訓(xùn)練的過(guò)程中并不能準(zhǔn)確把握，究其原因之一就是對(duì)概率的基本概念和知識(shí)掌握不牢固，導(dǎo)致不能準(zhǔn)確靈活運(yùn)用。在建模的過(guò)程中關(guān)鍵是確定哪個(gè)變量是隨機(jī)的，即搞清楚隨機(jī)性的主要來(lái)源是什么，把這個(gè)主要來(lái)源設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量，而且這個(gè)隨機(jī)變量的分布是容易得到的，其他隨機(jī)變量都可以寫(xiě)成它的函數(shù)，并明確這個(gè)隨機(jī)變量服從于什么類(lèi)型的分布。同時(shí)，合理的假設(shè)也是建立模型的關(guān)鍵。

二項(xiàng)分布是一種重要的隨機(jī)分布模型，結(jié)合中心極限定理理論，在科學(xué)試驗(yàn)及生產(chǎn)管理中具有廣泛的應(yīng)用。例如，航空公司的訂票策略問(wèn)題：乘客是否按時(shí)前來(lái)登機(jī)是隨機(jī)的，若假設(shè)每位乘客是否按時(shí)前來(lái)登機(jī)是相互獨(dú)立的，則每位不按時(shí)前來(lái)登機(jī)的乘客數(shù)就是服從于二項(xiàng)分布的。雖然這種假設(shè)更適合于單獨(dú)行動(dòng)的商人、游客等，但是假設(shè)基本合理，且可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化到所學(xué)知識(shí)能夠建模的程度。

例如，2009年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題《會(huì)議籌備》：根據(jù)問(wèn)題1的要求，要對(duì)本屆會(huì)議與會(huì)代表的數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。代表是否與會(huì)顯然是隨機(jī)的，因此，實(shí)際與會(huì)的代表數(shù)量X是隨機(jī)變量。設(shè)與會(huì)代表數(shù)量的最大值N中每人實(shí)際與會(huì)的概率為p，通過(guò)“以往每屆與會(huì)代表的數(shù)量除以以往每屆與會(huì)代表數(shù)量的預(yù)測(cè)值”再取平均可以得到p的估計(jì)值。可以假設(shè)各位代表是否實(shí)際與會(huì)是相互獨(dú)立的，于是X服從于二項(xiàng)分布B(N,p)。當(dāng)N較大時(shí)可以用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布計(jì)算。類(lèi)似的，在2005年的D題《DVD在線租賃問(wèn)題》中，某一種DVD的需求也是隨機(jī)變量，同樣可以看成是服從于二項(xiàng)分布的。

3 將數(shù)學(xué)建模策略的教學(xué)放在重要位置，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模策略與數(shù)學(xué)建模方法之間的聯(lián)系

所謂數(shù)學(xué)建模策略是指在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中選擇解決方法、采取解決步驟的指導(dǎo)方針，是選擇、組合、改變或操作與當(dāng)前數(shù)學(xué)建模問(wèn)題解決有關(guān)的事實(shí)、概念和原理的規(guī)則。研究表明，優(yōu)秀學(xué)生在數(shù)學(xué)建模策略的掌握與運(yùn)用方面具有較高水平，而一般學(xué)生的數(shù)學(xué)建模策略運(yùn)用水平較低。掌握一些有效的數(shù)學(xué)建模策略，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，因此教師應(yīng)將實(shí)施數(shù)學(xué)建模策略的教學(xué)放在重要位置。

一個(gè)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題案例實(shí)質(zhì)上意味著多種數(shù)學(xué)建模策略在此特定的情境中發(fā)生特定的聯(lián)系，解析一個(gè)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的過(guò)程就是將多種數(shù)學(xué)建模策略遷移至此情境的過(guò)程，關(guān)注每個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題所包含的多種數(shù)學(xué)建模策略的應(yīng)用，有助于理解和掌握多種數(shù)學(xué)建模策略在解決同一情境問(wèn)題時(shí)的有效協(xié)同。因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)向?qū)W生明確揭示數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過(guò)程所蘊(yùn)含和所運(yùn)用的一般思維策略，并鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)中有意識(shí)地使用，使學(xué)生通過(guò)教師的教學(xué)和建模訓(xùn)練的過(guò)程，不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模策略運(yùn)用的靈活性，提升數(shù)學(xué)建模能力。數(shù)學(xué)建模的一般思維策略包括：解題時(shí)，先準(zhǔn)確理解題意，從整體上把握題意，理清復(fù)雜關(guān)系，挖掘蘊(yùn)涵的深層關(guān)系，把握問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)；在理解問(wèn)題整體意義的基礎(chǔ)上判斷解題的思路方向；充分利用已知條件信息；克服思維定勢(shì)，進(jìn)行擴(kuò)散性思維；解題后總結(jié)解題思路，舉一反三等等。

例如，傳送系統(tǒng)的效率問(wèn)題：在機(jī)械化的生產(chǎn)車(chē)間里，工作臺(tái)旁的工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過(guò)他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺(tái)數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途徑。

首先，引導(dǎo)學(xué)生分析傳送系統(tǒng)的工作情況和特點(diǎn)，并據(jù)此進(jìn)行合理的假設(shè)：進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過(guò)他的工作臺(tái)，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒(méi)有空鉤經(jīng)過(guò)，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但是由于各種隨機(jī)因素的干擾，經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間后，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻就會(huì)不一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個(gè)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性相同；假設(shè)n個(gè)工作臺(tái)均勻排列，n個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是等可能的。然后，在模型分析和假設(shè)的基礎(chǔ)上尋找解決問(wèn)題的關(guān)鍵：傳送系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)的效率等價(jià)于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品的數(shù)量與一周期內(nèi)能生產(chǎn)的產(chǎn)品的數(shù)量之比來(lái)描述。最后，在計(jì)算傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)s時(shí)，如果從工人的角度考慮，分析每個(gè)工人能將自己的產(chǎn)品掛上掛鉤的概率，就會(huì)使問(wèn)題復(fù)雜化。此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生克服思維定勢(shì)，轉(zhuǎn)換改變考慮問(wèn)題的角度：從掛鉤的角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下掛鉤沒(méi)有次序處于同等的地位，因此很容易能求出一周期內(nèi)的每只掛鉤非空的概率p，則s=mp（m為掛鉤的數(shù)量）。

總之，在教學(xué)中結(jié)合具體的數(shù)學(xué)建模案例引入數(shù)學(xué)建模策略的教學(xué)，有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)更好地把握建模的思維策略，更好更快地提升數(shù)學(xué)建模能力。

[1]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型（第3版）[M].高等教育出版社,2003

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10.3969/j.issn.1001-8972.2012.23.118

陳宇（1974-）.女，河北邯鄲人,邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院,副教授,研究方向：數(shù)學(xué)教育。