郭 虎，羅景潤

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽621900）

引 言

高聚物黏結(jié)炸藥（polymer bonded explosive，PBX）PBX 是一種顆粒高度填充的復合材料。從細觀研究可以看出［1-4］，PBX 含有初始損傷，在外加載荷的作用下，這些損傷會進一步演化，以顆粒斷裂、界面脫粘、黏結(jié)劑基體開裂、變形孿晶以及剪切帶等形式使炸藥的力學性能劣化。同時，PBX的起爆機理（特別是XDT）與損傷也有密切的聯(lián)系。因此，對PBX 細觀損傷的表征是其力學行為研究的重要內(nèi)容，也是武器安全性研究的基礎。

目前，已有不少本構(gòu)模型應用于PBX力學行為的研究，如修正的Ramberg-Osgood模型［5］、Johnson-cook模型［6］和羅景潤等［7］結(jié)合前兩者而建立的模型，以及周風華等［8-9］建立的損傷型ZWT 模型。但是，這些本構(gòu)模型都沒有較好地表征PBX 細觀損傷。微裂紋統(tǒng)計模型（Statistical Crack Mechanics，SCRAM）是基于微裂紋擴展的本構(gòu)模型［10-11］，利用微裂紋尺寸表征材料細觀損傷，能較好地反映材料細觀物理過程［12-13］。本研究基于微裂紋統(tǒng)計模型，分析了PBX 的力學行為及相應的物理過程，以及黏性對PBX 力學行為的影響。

1 模型的建立

由于考慮的因素較多，SCRAM 本構(gòu)模型本身比較復雜，為方便應用，相繼出現(xiàn)了各向同性ISOSCRAM 模型［14］和在其基礎上建立的黏彈性Visco-SCRAM 模型［15-16］。如圖1所示，Visco-SCRAM模型由一個包含多個Maxwell體并聯(lián)的黏彈性體和一個由SCRAM 模型定義的微裂紋損傷體串聯(lián)而成。其中，是偏應力率，是黏彈性偏應變率，是微裂紋損傷體的偏應變率，而Gn和ηn分別是第n個Maxwell體的剪切模量和黏性系數(shù)。

在第n個Maxwell體里，有：

圖1 Visco-SCRAM 模型結(jié)構(gòu)圖［15］Fig.1 Schematic representation of Visco-SCRAM model［15］

由于彈簧與黏壺串聯(lián)，故黏彈性應變率等于彈簧與黏壺產(chǎn)生的應變率之和，即：

故第n個Maxwell體的偏應力率為：

即

式中：τ（n）=η（n）／G（n）是 第n個Maxwell體 的 松 弛時間。

對于由多個Maxwell體并聯(lián)的黏彈性體，其偏應力S是各Maxwell體的偏應力的和，即：

所以黏彈性體的偏應力、偏應力率和偏應變率的關(guān)系可以表示為：

對于整個模型，總的偏應變率為黏彈性偏應變率和微裂紋損傷體的偏應變率的和，即：

微裂紋損傷體的偏應變和偏應力的關(guān)系可表示為［15］：

其中，βe是與剪切模量G和初始裂紋分布N0相關(guān)的參數(shù)，c是微裂紋平均半徑，

式中：A 是常數(shù)；a為初始缺陷尺寸。

將其代入（3）式，可以得到：

寫成率的形式為：

聯(lián)立方程（1）、（2）和（4），得到：

另外，模型假設體應變εm和體應力σm的關(guān)系為：

式中：k為材料的體積模量。

模型中含有微裂紋擴展速率，該變量難以測量。根據(jù)實驗觀察與總結(jié)［16］，微裂紋擴展速率主要依賴于應力強度因子。本研究利用Dienes和Johnson等［17-18］總結(jié)的經(jīng)驗公式對應力強度因子和微裂紋擴展速率進行計算。

2 數(shù)值計算與分析

將本構(gòu)方程在單軸應力下進行簡化，即將式（5）和（6）進行簡化，得到（v為泊松比）：

利用中心差分的方法，將上述微分方程組轉(zhuǎn)化為增量形式，可得：

和

由上述單軸應力情況下增量形式的本構(gòu)方程和文獻［16］給出的關(guān)于PBX9501 的參數(shù)，可擬合得到不同加載方式和不同應變率下的應力應變關(guān)系曲線。PBX9501中的顆粒（HMX）和黏結(jié)劑質(zhì)量分數(shù)分別為95%和5%。

2.1 拉伸和壓縮曲線分析

由于在拉伸和壓縮下的損傷機理不同，PBX 存在著明顯的拉伸和壓縮不對稱性［7］。PBX 的拉伸強度要比壓縮強度小很多，通常在一個量級左右。圖2是通過Visco-SCRAM 模型擬合出的拉伸和壓縮下的應力應變曲線（應變率1／s），可以看出，兩者明顯不對稱，且其拉伸和壓縮的強度和模量與實驗結(jié)果基本一致。所以，Visco-SCRAM 模型能夠反映PBX 的拉壓不對稱性，而模型的這一特征來自應力強度因子的計算公式。

圖2 Visco-SCRAM 單軸拉伸與壓縮曲線Fig.2 Simulated stress-strain response under uniaxial tension and compression

PBX 是一種應變率相關(guān)材料，在拉伸與壓縮狀態(tài)下，PBX 的模量和強度均隨應變率的增大而增加。圖3和圖4分別是通過Visco-SCRAM 模型擬合出的拉伸與壓縮狀態(tài)的單軸應力-應變曲線?？梢钥闯?，兩種狀態(tài)下的曲線均有明顯的應變率效應，模量和強度均隨應變率的增大而增加，且在高應變率（101～103s-1）下更加明顯。

另外，在相對較低的應變率（＜10s-1）下曲線的硬化效應并不明顯，在軟化之前應力應變幾乎呈線性關(guān)系，而在應變率較高時則表現(xiàn)出明顯的硬化效應。這種硬化不明顯的現(xiàn)象與模型選取的黏性參數(shù)有關(guān)。

計算采用PBX9501相關(guān)參數(shù)，其壓縮狀態(tài)下的計算值與實驗結(jié)果吻合較好，兩者的強度與模量在進入軟化階段前均相近（如圖5）。其中，準靜態(tài)實驗結(jié)果來自Wiegand等［19］的工作，動態(tài)數(shù)據(jù)來自Dobratz等［20］的工作。進入軟化階段后，動態(tài)與準靜態(tài)的計算值與實驗結(jié)果均相差較大，說明Visco-SCRAM 模型不能較好地模擬PBX 的軟化階段，這可能是出現(xiàn)宏觀裂紋造成的。由于準靜態(tài)情況下計算曲線中的硬化效應不明顯，其擬合結(jié)果與實驗結(jié)果的差異比動態(tài)情況大。所以，Visco-SCRAM模型更適合于模擬PBX 在動態(tài)情況下的力學行為。

由以上結(jié)果可以看出，Visco-SCRAM 模型能較好地反映PBX 的模量和強度隨應變率增大而增加的特征，且其模量和強度的計算值與實驗結(jié)果吻合較好。但該模型只能模擬PBX 軟化前的階段，軟化階段的誤差較大。

圖5 準靜態(tài)和動態(tài)壓縮情況下應力-應變的擬合結(jié)果與實驗Fig.5 Comparison of the stress-strain responses calculated by Visco-SCRAM with data under static and dynamic compression

2.2 物理過程分析

SCRAM 模型的建立是基于細觀微裂紋的擴展，微裂紋的平均半徑和微裂紋的擴展速率是其中的重要變量，它們會隨著加載的過程而變化。

單軸壓縮應力-應變曲線和其過程中微裂紋平均半徑隨應變的變化情況見圖6和圖7。

其中c／c0表示微裂紋平均半徑與初始平均半徑的比值。從微裂紋平均半徑與應變的關(guān)系可以看出，初始的A點到B的過程中，微裂紋平均半徑基本不變，即c／c0≈1。當?shù)竭_B點后，應力足夠大，致使微裂紋開始快速擴展，微裂紋半徑也快速增大。在C點，達到應力峰值，此時微裂紋平均半徑大約是初始半徑的10倍，即c／c0≈10。通過對各應變率下壓縮加載的分析，到達應力峰值時的微裂紋平均半徑隨應變率的增大而增大（如應變率為103s-1時，c／c0≈16）。另外，在拉伸情況下（10s-1），到達應力峰值時的微裂紋平均半徑只是初始半徑的兩倍（c／c0≈2），明顯小于同等應變率下壓縮的情況。在其他應變率下分析也能得到同樣的規(guī)律，即對于應力峰值時的微裂紋平均半徑，拉伸加載下明顯小于壓縮的情況。經(jīng)過應力峰值之后，由于微裂紋半徑過大，微裂紋聚合、生長，使材料發(fā)生宏觀的破壞，致使材料進入軟化階段（C—D）。上述分析能在一定程度上反映材料的細觀物理過程。

微裂紋是PBX 主要的損傷類型，而SCRAM 模型能從微裂紋擴展的角度描述PBX 在受載過程中的細觀物理過程，這將有助于研究PBX 宏觀力學行為與細觀物理過程的聯(lián)系。

2.3 黏性對PBX 力學性能的影響

PBX 的黏性主要來自黏結(jié)劑，黏結(jié)劑越少，黏性對PBX 力學行為的影響越小。Visco-SCRAM 模型里的黏性主要來自廣義Maxwell體里的松弛時間，表1中關(guān)于黏性的參數(shù)是通過半經(jīng)驗的方式得到的。首先通過實驗得到PBX 的模量與應變率的關(guān)系，然后半經(jīng)驗地假設松弛時間是應變率倒數(shù)的十分之一，從而通過最小二乘法擬合數(shù)據(jù)點得到松弛時間與模量的關(guān)系，即應力松弛譜。Bennett等［15］通過該方法得到PBX9501的松弛時間與模量呈對數(shù)關(guān)系（見圖8）：

式中：m1=-0.17 077；m2=0.06 825；m3=7.1 679；E和τ的單位分別為MPa和s。

圖8 PBX9501楊氏模量與松馳時間的關(guān)系［15］Fig.8 The young′s modulus versus relaxation time data for PBX9501［15］

本研究假設松弛時間是應變率倒數(shù)的10-（q+1）倍，則可在表1給出的黏性參數(shù)的基礎上得到新的黏性參數(shù)組。顯然，當q＜0 時，黏性減小；當q＞0時，黏性增大。圖9 是不同黏性參數(shù)下Visco-SCRAM 模型單軸壓縮應力應變曲線（10s-1）。從圖9可以看出，黏性增大和減小對壓縮曲線的影響是不對稱的。當黏性增大時，模量略有減小，強度幾乎沒有變化，而q＞2后，模量和強度都不會有明顯的變化。當黏性減小時，模量有明顯的增大，強度在q＜-1后也有明顯的增大，而q＜-4后，模量和強度都不會有明顯的變化。

圖9 黏性對Visco-SCRAM 壓縮應力—應變曲線的影響Fig.9 Effect of viscosity on the predicted stress—strain response under compression

以上分析說明，黏性的變化對PBX 力學性能的影響較明顯。黏性增大時，模量和強度會隨之減?。火ば詼p小時，模量和強度會增大。其中，存在一定的范圍（-1＜q＜2）內(nèi)，可以使PBX 的模量變化，而強度幾乎保持不變。對于以上黏性增大減小時的不對稱，可能是因為PBX9501 的黏性本身就比較大。

3 結(jié) 論

（1）SCRAM 模型能較好地反映PBX 在拉伸和壓縮下的力學行為和相應的細觀物理過程，對于疲勞、蠕變以及斷裂等行為，還需更加深入的研究。

（2）在壓縮或拉伸過程中，應力較小時，微裂紋平均半徑基本保持不變。隨著應力的增大，微裂紋擴展速率增大，當微裂紋擴展到一定長度時會使PBX 產(chǎn)生破壞。到達應力峰值時，微裂紋平均半徑隨應變率的增加而增大，且該值在拉伸時明顯比壓縮時小。

（3）減小PBX 的黏性，模量明顯增大，破壞應變明顯減小。對于破壞應力，存在一個閾值，當黏性減小量小于這個閾值時，破壞應力基本不變，超過這個閾值后，破壞應力明顯增大。

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