王 紅， 袁 鴻， 夏曉舟， 章 青

(1.暨南大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州510632;

2.廣東工業(yè)大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，廣州510006;3.河海大學(xué)工程力學(xué)系，南京210098)

目前，不可逆內(nèi)變量的演化規(guī)律一般都是借助類似于經(jīng)典塑性勢(shì)理論的方法來進(jìn)行探討［1-2］.也就是說，必然存在一個(gè)與不可逆內(nèi)變量相關(guān)的勢(shì)函數(shù)面，不可逆內(nèi)變量應(yīng)該沿著勢(shì)函數(shù)面的梯度方向流動(dòng)，大小可由一致性方程確定.但是，該勢(shì)函數(shù)是否存在，即便存在，應(yīng)該是什么形式，這些在理論上還無法確切獲知［3-6］.Valanis［7］引入內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間來表示這個(gè)變形和溫度歷史.Bazant等［8］將內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論引入混凝土研究中，對(duì)混凝土的材料特性進(jìn)行了模擬［8］.此外，研究者們還開展了大量基于能量耗散的材料性質(zhì)的研究［9-14］.這些都為混凝土本構(gòu)關(guān)系的研究指出了新方法和新思路.但是這些方法還存在著諸如對(duì)隱含條件考慮不足、參數(shù)較多、經(jīng)驗(yàn)性強(qiáng)且部分參數(shù)物理意義不明確等缺點(diǎn).顯然，基于傳統(tǒng)塑性勢(shì)理論推導(dǎo)的流動(dòng)方程并不令人信服：一方面，勢(shì)函數(shù)面與加載路徑無關(guān)，塑性勢(shì)函數(shù)面是否像彈性勢(shì)面一樣存在令人懷疑;另一方面，勢(shì)函數(shù)形式的選擇具有隨意性，難以測(cè)定剪脹角，使得非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則模型沒有一個(gè)堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).為了避免理論上的不足，有必要研究一個(gè)具有堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)的新的塑性應(yīng)變流動(dòng)法則.本研究試圖基于一個(gè)普適的原理——最小耗能原理［15-16］來建立一個(gè)全新的塑性應(yīng)變流動(dòng)法則，并以Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則為例，推導(dǎo)出塑性應(yīng)變的流動(dòng)方程.在新的塑性應(yīng)變流動(dòng)法則下，本研究將討論準(zhǔn)脆性材料(如土壤)剪脹性的內(nèi)在機(jī)理，期望能得到一個(gè)合理的解釋.最后，利用虛功原理，在最小耗能原理的框架下，本研究推導(dǎo)出新的流動(dòng)法則下的有限元增量迭代格式.

1 基于最小耗能原理的塑性應(yīng)變流動(dòng)法則的一般表達(dá)式

最小耗能原理的理論基礎(chǔ)是非平衡態(tài)熱力學(xué)下的最小熵產(chǎn)生原理.周筑寶等［16］提出了一種新的最小耗能原理，可適用于遠(yuǎn)離平衡態(tài)的非線性熱力學(xué)過程的任何瞬時(shí)情況.該最小耗能原理可描述為：在遠(yuǎn)離平衡態(tài)的非線性熱力學(xué)系統(tǒng)中發(fā)生的任何耗能過程，都將在與其相應(yīng)的約束條件下，以最小耗能的方式進(jìn)行.該原理可廣泛地用于研究各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中的自由能耗散問題.

假定在整個(gè)系統(tǒng)中只有塑性變形消耗能量，則能量耗散率為

式中，ρ表示密度，φ為單位質(zhì)量的耗能率，σ為應(yīng)力張量，εP為塑性應(yīng)變張量.總耗能率Ψ為

能量耗散過程只有在滿足屈服準(zhǔn)則之后才有可能發(fā)生.假設(shè)有m個(gè)屈服面，約束條件(即屈服準(zhǔn)則)為

根據(jù)周筑寶提出的最小耗能原理，即總耗能率在約束條件下取駐值，因此，式(2)應(yīng)在滿足式(3)的約束條件下取駐值.于是式(1)在引入Lagrange乘子dλi(i=1，2，…，m)后，有

將式(4)的最后兩項(xiàng)移到右邊，可以得到其分量形式為

即塑性應(yīng)變的流動(dòng)法則.與經(jīng)典塑性應(yīng)變流動(dòng)法則相比，該流動(dòng)法則中的塑性應(yīng)變?cè)隽窟€包括一項(xiàng)交叉耦合項(xiàng)，即考慮了當(dāng)前塑性矩陣的變化對(duì)塑性應(yīng)變的貢獻(xiàn).更重要的是，新的流動(dòng)法則不需要構(gòu)建一個(gè)額外的勢(shì)函數(shù)面，因此，所導(dǎo)出的基于最小耗能原理下的塑性應(yīng)變流動(dòng)法則具有良好的理論基礎(chǔ).新的流動(dòng)法則體現(xiàn)了非關(guān)聯(lián)的流動(dòng)特征，當(dāng)交叉耦合項(xiàng)為0時(shí)，該法則也可退化為關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則.

2 含有交叉耦合項(xiàng)的新流動(dòng)法則下的本構(gòu)關(guān)系

假設(shè)硬化參數(shù)κ為塑性功的函數(shù)(這里直接取為塑性功)，于是有dκ=σTdεP.將式(5)代入式(6)，有

可以推得

整理得

由Hooke定律，應(yīng)力增量可推導(dǎo)如下：

這樣就得到了含交叉耦合項(xiàng)流動(dòng)法則下的本構(gòu)關(guān)系：

與傳統(tǒng)塑性理論相比，基于最小能量耗散原理下導(dǎo)出的新的本構(gòu)關(guān)系考慮了塑性矩陣增量的變化.

3 新流動(dòng)法則下的有限元增量迭代格式

由式(11)的線性化可得

將式(14)代入式(12)，可得

將各單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移增量表示成節(jié)點(diǎn)位移的插值形式，即

則根據(jù)幾何關(guān)系，可得到應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

結(jié)合虛位移的任意性，將τ取為上一迭代步的時(shí)刻t，通過區(qū)域離散化，可將式(15)改為

4 新流動(dòng)法則下變形和破壞過程模擬的有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證最小耗能原理下建立的新流動(dòng)法則的有效性，本研究試圖通過一土試樣的數(shù)值實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行驗(yàn)證.該土試樣尺寸為40 mm×80 mm，材料參數(shù)為E=5.0E+7 Pa，ν=0.3，黏聚系數(shù)為c=2.0E+ 4 Pa，摩擦角為φ=15°，剪脹角為φ'=15°.軸向壓縮實(shí)驗(yàn)采用Legendre正交多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)作曲線擬合［17］，結(jié)果如圖1所示.為了與實(shí)驗(yàn)加載過程相符，在試樣頂部增加一層剛性單元，荷載施加到剛性單元上，相當(dāng)于位移加載模式.計(jì)算后，有效塑性應(yīng)變的演化過程如圖2所示.可以看出，有效塑性應(yīng)變并非如關(guān)聯(lián)和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則模擬的那樣均勻發(fā)展(見圖3).對(duì)兩類不同黏聚程度的土樣進(jìn)行軸向壓縮實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖4所示.可見，隨著荷載增大，由于邊界約束的原因，土試樣在中央部位出現(xiàn)凸肚現(xiàn)象.所不同的是，粘性土樣相對(duì)于粘性弱的土樣，凸肚效果明顯，即剪脹效應(yīng)強(qiáng).

圖1 土樣單軸受壓的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.1 Uniaxial stress-strain relationship curve for soil sample

新流動(dòng)法則中的交叉耦合項(xiàng)是材料屈服之后的遲滯效應(yīng)對(duì)流動(dòng)方向的影響，即粘性阻尼對(duì)塑性變形的影響，因此，模擬出的塑性應(yīng)變呈現(xiàn)非均勻發(fā)展的態(tài)勢(shì)，驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，表明當(dāng)前塑性矩陣的變化對(duì)塑性應(yīng)變具有很大的影響.而新流動(dòng)法則中關(guān)于當(dāng)前應(yīng)力和塑性柔度增量矩陣的交叉耦合項(xiàng)恰恰體現(xiàn)了這一點(diǎn)，可以很好地解釋應(yīng)變局部化的機(jī)制.另外，σ1-σ3與軸向應(yīng)變?chǔ)臿之間關(guān)系的趨勢(shì)(見圖5)也與實(shí)驗(yàn)結(jié)果(見圖6)［18］基本吻合.因此，基于最小耗能原理所推導(dǎo)的含有交叉耦合項(xiàng)的塑性應(yīng)變流動(dòng)法則不僅具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，而且也通過實(shí)驗(yàn)證明了其合理性和可靠性.

圖2 有效塑性應(yīng)變的演化Fig.2 Evolvement of the effective plastic strain

圖3 關(guān)聯(lián)和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則模型下的塑性應(yīng)變Fig.3 Effective plastic strain modeled by associated and non-associated flowing rules

5 新流動(dòng)法則在土質(zhì)邊坡中的應(yīng)用

一土質(zhì)邊坡，底寬為40 m，頂寬為30 m，高為10 m，其彈性模量為E=5.0E+7 Pa，ν=0.3，黏聚系數(shù)為c=5.0E+4 Pa，摩擦角為φ=15°，剪脹角為φ'=15°，網(wǎng)格剖分如圖7所示.為了方便壓力荷載的施加，在土質(zhì)邊坡的右頂部布置一層剛性單元，并對(duì)剛性單元層施加偏心壓力.分別采用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則、非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則和基于最小耗能原理的含交叉耦合項(xiàng)的流動(dòng)法則對(duì)模型土質(zhì)邊坡的變形和破壞過程進(jìn)行了模擬，模擬結(jié)果分別如圖8～圖10所示.可以看出，采用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則所得到的結(jié)果幾乎沒有出現(xiàn)剪脹效應(yīng)，而采用非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則和含交叉耦合項(xiàng)的流動(dòng)法則的模型，出現(xiàn)了非常明顯的剪脹效應(yīng)，這與實(shí)際情況較為吻合.模擬過程和結(jié)果表明，與非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則相比，基于最小耗能原理導(dǎo)出的含交叉耦合項(xiàng)的流動(dòng)法則模型不僅體現(xiàn)了剪脹效應(yīng)，而且具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和高效率的計(jì)算(因?yàn)閯偠染仃囀菍?duì)稱的).

圖4 圍壓和軸向壓力同時(shí)作用下土樣的變形和破壞形式Fig.4 Deformation and fracture form with surrounding and axial press for soil samples

圖5 新流動(dòng)法則下的σ1－σ3與軸向應(yīng)變?chǔ)臿之間關(guān)系曲線Fig.5 Curve of the relationship(σ1－σ3)～εafor the new flowing rule

圖6 實(shí)驗(yàn)得到的σ1－σ3與軸向應(yīng)變?chǔ)臿之間關(guān)系曲線Fig.6 Curves of the relationship(σ1－σ3)～εafor the experiment

圖7 土試樣的有限元網(wǎng)格剖分Fig.7 Finite element meshes for soil slope

圖8 關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下的有效塑性應(yīng)變Fig.8 Effective plastic strain with associated flowing rule

圖9 非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下的有效塑性應(yīng)變Fig.9 Effective plastic strain with non-associated flowing rule

圖10 含交叉耦合項(xiàng)的流動(dòng)法則下的有效塑性應(yīng)變Fig.10 Effective plastic strain with cross couple item

6 結(jié)束語

基于周筑寶等提出的最小耗能原理，本研究推導(dǎo)了含有交叉耦合項(xiàng)的塑性應(yīng)變流動(dòng)法則的一般表達(dá)式.由于交叉耦合項(xiàng)的出現(xiàn)，塑性應(yīng)變并不總是沿著屈服面的法向方向流動(dòng)，很好地揭示了準(zhǔn)脆性材料(如混凝土、巖石以及粘土)剪脹效應(yīng)的內(nèi)在機(jī)理，同時(shí)推導(dǎo)了該流動(dòng)法則下的彈塑性本構(gòu)的有限元增量迭代格式.相對(duì)于非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下彈塑性本構(gòu)方程的剛度矩陣是非對(duì)稱的，新的流動(dòng)法則下的剛度矩陣是對(duì)稱的，因此，大大提高了計(jì)算效率.不僅如此，由于本研究是基于一個(gè)普適的原理——最小耗能原理，因此，與非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則相比，所推導(dǎo)的含有交叉耦合項(xiàng)的塑性應(yīng)變流動(dòng)法則具有更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).為了進(jìn)一步驗(yàn)證該流動(dòng)法則的有效性，本研究對(duì)一土試樣在圍壓和軸壓作用下的變形和破壞過程進(jìn)行了追蹤模擬.與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象相比，模擬的變形和破壞模式都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相接近.最后，采用基于最小耗能原理下含有交叉耦合項(xiàng)的流動(dòng)法則模型，模擬了土質(zhì)邊坡的變形破壞過程.結(jié)果顯示，破壞形式符合實(shí)際情況，即表現(xiàn)出了明顯的剪脹性特點(diǎn).這表明，基于含交叉耦合項(xiàng)的流動(dòng)法則的數(shù)值模擬不僅能體現(xiàn)剪脹效應(yīng)，而且具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和高效率的計(jì)算，展現(xiàn)了廣闊的應(yīng)用前景.

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