黃靈峰， 徐凱宇，2

(1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072;2.上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

近年來(lái)，對(duì)低維半導(dǎo)體材料的研究是人們關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一［1-4］.低維半導(dǎo)體材料，即納米半導(dǎo)體材料，具有與基底材料截然不同的性質(zhì).隨著材料維度的降低和結(jié)構(gòu)特征尺寸的減小(不大于100 nm)，量子尺寸效應(yīng)、量子干涉效應(yīng)、量子隧穿效應(yīng)、庫(kù)侖阻塞效應(yīng)以及多體關(guān)聯(lián)和非線性光學(xué)效應(yīng)都會(huì)表現(xiàn)得越來(lái)越明顯.制作納米半導(dǎo)體材料有多種方法，如微結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)與精細(xì)加工相結(jié)合的方法、溶液-凝膠法、異質(zhì)外延生長(zhǎng)法等，其中異質(zhì)外延生長(zhǎng)法是目前廣泛應(yīng)用的一種重要方法［5］.由于在低維半導(dǎo)體材料生長(zhǎng)初期，基體上的成核是無(wú)序的，故其大小、密度及其在空間的有序性難以控制.因此，從理論上弄清量子線等半導(dǎo)體微結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布，并從實(shí)驗(yàn)上加以控制，實(shí)現(xiàn)有序可控生長(zhǎng)，對(duì)于制備出實(shí)用化的量子器件至關(guān)重要.分析半導(dǎo)體微納米結(jié)構(gòu)的彈性場(chǎng)可以采用有限元法［6-9］、分子模擬法［10-11］、解析法［12-18］等.上述不同方法均有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，如分子模擬雖然可以反映微觀世界的物理現(xiàn)象，但其計(jì)算的規(guī)模受到計(jì)算機(jī)計(jì)算能力等因素的影響;有限元法應(yīng)用廣泛，但其精度受網(wǎng)格劃分、界面形狀等因素影響;解析法往往需要一些必要的假設(shè)，如各向同性假設(shè)與等模量假設(shè).不過(guò)，盡管解析法有此缺陷，但是從解析的結(jié)果中往往更容易找出結(jié)構(gòu)彈性場(chǎng)的變化規(guī)律.在針對(duì)梯形截面半導(dǎo)體量子線彈性場(chǎng)的解析解的研究中，Gosling等［12］由夾雜理論推導(dǎo)周期排列梯形量子線結(jié)構(gòu)的解析解，但是推導(dǎo)過(guò)程很繁瑣，并且沒(méi)有給出梯形量子線結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變分布圖和數(shù)值解.因此，本工作采用格林函數(shù)法分析橫截面為梯形的量子線結(jié)構(gòu)的彈性場(chǎng)分布，并討論了量子線的頂端高度和初始失配應(yīng)變對(duì)量子線結(jié)構(gòu)彈性場(chǎng)的影響.

1 橫截面為梯形的量子線結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)的解析解

由于組成量子線結(jié)構(gòu)的2種半導(dǎo)體材料的晶格常數(shù)不同，在形成量子線時(shí)會(huì)發(fā)生晶格失配，從而引起初始失配應(yīng)變.對(duì)于組成成分均勻的量子線結(jié)構(gòu)，初始失配應(yīng)變?yōu)?/p>

式中，ai為量子線的晶格常數(shù)，as為襯底材料的晶格常數(shù).

對(duì)于合金型InxGa1－xAs/GaAs量子線結(jié)構(gòu)，其初始失配應(yīng)變?yōu)?/p>

式中，aInAs和aGaAs分別為InAs和GaAs的晶格常數(shù)，x為量子線結(jié)構(gòu)中InAs所占的比例，其中當(dāng)x=1時(shí)，InAs/GaAs合金的初始失配應(yīng)變?yōu)?.2%［18］.

考慮無(wú)限大體內(nèi)含一個(gè)橫截面為任意形狀的量子線的彈性場(chǎng).在各向同性和等模量假設(shè)的條件下，由初始失配應(yīng)變引起的應(yīng)力場(chǎng)可以通過(guò)格林函數(shù)積分［13］得到，即

式中，

方程(3)為量子線結(jié)構(gòu)橫截面上的應(yīng)力場(chǎng)，與量子線軸向相關(guān)的應(yīng)力為

當(dāng)點(diǎn)(x，y)在量子線內(nèi)部時(shí)，χ=1;否則，χ=0.

橫截面為等腰梯形的量子線結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中h為截面三角形的高度，f(0＜f≤1)為梯形的高度系數(shù).由式(3)沿著量子線邊界積分，便可得到量子線結(jié)構(gòu)應(yīng)力場(chǎng)的解析解為

式中，

通過(guò)胡克定律，很容易得到量子線結(jié)構(gòu)的應(yīng)變分布為

靜水應(yīng)變?chǔ)舎為

圖1 等腰梯形量子線Fig.1 An isosceles trapezoidal quantum wire

2 結(jié)果與討論

2.1 InP/GaAs量子線結(jié)構(gòu)的應(yīng)變分布

以InP/GaAs量子線結(jié)構(gòu)體系為例，即以InP為量子線材料，GaAs為襯底材料，分析量子線結(jié)構(gòu)的應(yīng)變分布，ε0=－3.7%，v=0.360，E=6.07× 1010Pa［14］.圖2～圖4是假設(shè)當(dāng)量子線結(jié)構(gòu)的底角α=45°時(shí)，給出的εh，εxx，εyy沿y軸的大小分布.由圖可見(jiàn)，量子線結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)高度為30 nm.

圖2是截面為梯形的量子線的靜水應(yīng)變沿y軸的大小分布.從圖中可以看出，靜水應(yīng)變?cè)谥行妮S路徑的分布類(lèi)似一個(gè)有限深勢(shì)阱，在量子線內(nèi)部靜水應(yīng)變?yōu)槌?shù)，即εh=－3.24%，而在量子線外部基體上為0.靜水應(yīng)變不隨量子線的高度系數(shù)f的變化而變化，這與經(jīng)典理論一致.Grundmann等［6］利用有限元法、Gosling等［12］利用傅里葉變換法分析量子線結(jié)構(gòu)時(shí)均得到了相同的結(jié)果.

圖3和圖4分別給出了截面為梯形的量子線的應(yīng)變分布.從圖中可以看出，量子線的應(yīng)變?cè)诹孔泳€內(nèi)和量子線附近變化較大，而遠(yuǎn)離量子線時(shí)，應(yīng)變趨于0;隨著量子線高度系數(shù)的減小，橫向應(yīng)變?chǔ)舩x逐漸減小，而縱向應(yīng)變?chǔ)舮y不斷增大.這是由于隨著高度系數(shù)f不斷減小，量子線橫截面積不斷減小造成的.

2.2 InxGa1-xAs/GaAs量子線結(jié)構(gòu)的應(yīng)變分布

圖2 截面為梯形的量子線的靜水應(yīng)變?chǔ)舎沿y軸方向的分布Fig.2 Hydrostatic strain εhalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

圖3 截面為梯形的量子線的橫向應(yīng)變?chǔ)舩x沿y軸方向的分布Fig.3 Transverse strain εxxalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

圖4 截面為梯形的量子線的縱向應(yīng)變?chǔ)舮y沿y軸方向的分布Fig.4 Longitudinal strain εyyalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

對(duì)于合金型InxGa1－xAs/GaAs量子線結(jié)構(gòu)，v= 0.24，E=1.49×1011Pa［10］，取h=10 nm，α=45°.圖5和圖6給出了初始失配應(yīng)變分別取7.2%，5.4%，3.6%，1.8%(即x=1.00，0.75，0.50，0.25)時(shí)截面為三角形的量子線的應(yīng)變分布.從圖中可以看出，量子線的應(yīng)變?cè)诹孔泳€內(nèi)和量子線附近變化較大，而遠(yuǎn)離量子線時(shí)，應(yīng)變趨于0;隨著量子線初始失配應(yīng)變的減小，橫向應(yīng)變?chǔ)舩x逐漸增大，而縱向應(yīng)變?chǔ)舮y不斷減小.這是由于隨著高度系數(shù)x不斷減小，量子線初始失配應(yīng)變不斷減小造成的.

圖5 截面為三角形的量子線的橫向應(yīng)變?chǔ)舩x沿y軸方向的分布Fig.5 Transverse strain εxxalong the y-axis in a triangular cross-section quantum wire

圖6 截面為三角形的量子線的縱向應(yīng)變?chǔ)舮y沿y軸方向的分布Fig.6 Longitudinal strain εyyalong the y-axis in a triangular cross-section quantum wire

3 結(jié)束語(yǔ)

本工作基于各向同性假設(shè)和等模量假設(shè)，推導(dǎo)出了橫截面為梯形的量子線結(jié)構(gòu)應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)的解析解，并討論了量子線橫截面的高度系數(shù)和初始失配應(yīng)變變化對(duì)量子線應(yīng)變分布的影響.研究結(jié)果表明：靜水應(yīng)變分量在中心軸路徑基本不受量子點(diǎn)幾何形狀的影響，始終保持類(lèi)似有限深勢(shì)阱的變化;而當(dāng)量子線頂端高度系數(shù)減小時(shí)，量子線的橫向應(yīng)變隨之減小，縱向應(yīng)變逐漸增大;隨著量子線初始失配應(yīng)變的減小，橫向應(yīng)變逐漸增大，而縱向應(yīng)變不斷減小.

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