☉安徽省長豐縣城關(guān)中學(xué) 軒傳利
☉安徽省舒城縣闕店中學(xué) 任保平
談?wù)剟討B(tài)探究型問題
☉安徽省長豐縣城關(guān)中學(xué) 軒傳利
☉安徽省舒城縣闕店中學(xué) 任保平
探究幾何圖形在運動變化過程中與圖形相關(guān)的某些量的變化規(guī)律或其中蘊含的結(jié)論,這類題目叫動態(tài)探究型問題.它主要有以下幾種類型:動點問題、動直線問題、圖形變換問題等.對于動態(tài)幾何探究型問題,要注意用運動和變化的眼光去觀察和研究幾何圖形,把握圖形運動與變化的全過程,抓住其中的等量關(guān)系,并特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系,善于化“動”為“靜”,由特殊情形入手,逐步過渡到一般情形,綜合運用各種相關(guān)知識及各種數(shù)學(xué)思想方法加以解決.
1.單動點問題
例1 如圖1,在直角坐標(biāo)系中,點A是x軸正半軸上的一個定點,點B是雙曲線y=(x>0)上的一個動點,當(dāng)點B的橫坐標(biāo)逐漸增大時,△OAB的面積將會( ).
A.逐漸增大 B.不變
C.逐漸減小 D.先增大后減小
解析:本題中的不變量有兩個:△OAB中的底OA和反比例函數(shù)y=中k=3的值不變,其中的變量是點B的橫、縱坐標(biāo),當(dāng)橫坐標(biāo)不斷增大時,縱坐標(biāo)不斷減小,所以相當(dāng)于△OAB的高不斷減小,在底不變時,這個底邊上的高不斷減小,所以面積也就是不斷減小.
答案:C
點評:對于動態(tài)問題,關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件中的不變量與變量,抓住反比例函數(shù)中k的值不變這一條件是解決此問題的關(guān)鍵.
例2(2012年甘肅蘭州市)如圖2,AB是⊙O的直徑,弦BC=2cm,F(xiàn)是弦BC的中點,∠ABC=60°.若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著A→B→A的方向運動,設(shè)運動時間為t(s)(0≤t<3),連接EF,當(dāng)△BEF是直角三角形時,t的值為( ).
點評:根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形ABC,再根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì),可求出AB的長.△BEF是直角三角形,則有兩種情況:①∠BFE=90°,②∠BEF=90°.在上述兩種情況所得到的直角三角形中,已知BC邊和∠B的度數(shù),即可求得BE的長;由AE=AB-BE即可求出AE的長,也就能得出E點運動的距離(有兩種情況),從而求出t的值.此題綜合考查了圓周角定理的推論、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì),是一道動態(tài)題,同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,有一定的難度.
2.雙動點問題
(2)當(dāng)點P、Q運動時,線段DE的長度不會改變(如圖5).理由如下:
所以當(dāng)點P、Q運動時,線段DE的長度不會改變.
點評:本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.
例5(2012年廣東珠海市)如圖6①,在等腰梯形ABCD中,,對角線AC、BD交于H,平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速平移,分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q,分別交對角線AC于F、G;當(dāng)直線RQ到達點C時,兩直線同時停止移動.記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2,若直線MN平移的速度為1單位/秒,直線RQ平移的速度為2單位/秒,設(shè)兩直線移動的時間為x秒.
點評:本題綜合性很強,難度較大,注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用.解答問題時,要求對幾何元素的運動過程有一個完整、清晰的認(rèn)識,不管點動、線動還是形動,要善于借助動態(tài)思維的觀點來分析,不被“動”所迷惑,從特殊情形入手,變中求不變,動中求靜,抓住靜的瞬間,以靜制動,把動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問題來解決,從而找到“動”與“靜”的聯(lián)系,揭示問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)運動中的各個變量之間互相依存的函數(shù)關(guān)系,從而找到解決問題的突破口,也就找到了解決這類問題的途徑.
例6 (2012年四川南充市)如圖7,在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ中點,把一三角尺的直角頂點放在點M處,以M為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)三角尺,三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B.
(1)求證:MA=MB.
(2)連接AB,探究:在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中,△AOB的周長是否存在最小值.若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)連接OM.證明△AMO S△AMO即可.(2)在Rt△AOB中,運用勾股定理求得AB的長,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問題,運用二次函數(shù)的最值求解.
解:(1)如圖8,連接OM.
點評:本題以直角三角形為基本圖形,綜合考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點.考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題的能力.對于幾何知識與二次函數(shù)的綜合,是學(xué)生解題的難點之一.
例7 如圖9,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點E,交CB于點F.
(1)求證:CE=CF.
(2)將圖9中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使點E′落在BC邊上,其他條件不變,如圖10所示,試猜:BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.
點評:本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定,角平分線的性質(zhì)等.證線段相等常用的方法:①全等三角形對應(yīng)線段相等;②等量代換相等.
例8(2012年貴州省畢節(jié)市)如圖11①,有一張矩形紙片,將它沿對角線AC剪開,得到△ACD和△A′BC′.
(1)如圖11②,將△ACD沿A′C′邊向上平移,使點A與點C′重合,連接A′D和BC,四邊形A′BCD是______形.
(2)如圖11③,將△ACD的頂點A與A′點重合,然后繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),使點D、A、B在同一直線上,則旋轉(zhuǎn)角為______度;連接CC′,則四邊形CDBC′是______形.
(3)如圖11④,將AC邊與A′C′邊重合,并使頂點B和D在AC邊的同一側(cè),設(shè)AB、CD相交于E,連接BD,四邊形ADBC是什么特殊四邊形?請說明你的理由.
分析:(1)利用平行四邊形的判定,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可.(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及直角梯形判定得出即可.(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC,AD=CB,即可得出答案.
點評:此題主要考查圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識,熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.
*本文系2011年安徽省六安市教育科學(xué)規(guī)劃重點課題(LM11038)“與新課程相適應(yīng)的學(xué)生作業(yè)設(shè)計研究”的部分研究成果.