李立言，趙民建，鐘 杰

(浙江大學(xué) 信息與電子工程學(xué)系，浙江 杭州 310027)

小波域中各個(gè)尺度上信號(hào)大部分能量集中在信號(hào)突變位置，而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)在各個(gè)尺度上的分布均勻且幅值較小。參考文獻(xiàn)[1]提出了基于小波系數(shù)閾值的降噪方法。非線性閾值估計(jì)器能夠在多種不同類型信號(hào)條件下接近最小最大風(fēng)險(xiǎn)，具有比線性估計(jì)器更好的性能。

在GNSS接收機(jī)中，衛(wèi)星信號(hào)經(jīng)過(guò)偽碼相位估計(jì)、載波頻偏估計(jì)及位置解算等處理后得到載體位置。不同的背景噪聲和不同的信號(hào)處理算法都會(huì)影響估計(jì)誤差特性，因此很難給出通用的載體位置解算誤差模型或其近似描述。在低動(dòng)態(tài)GNSS接收機(jī)中,為平滑載體運(yùn)動(dòng)軌跡，降低載體位置解算中的噪聲，通常在獲取載體速度估計(jì)后，采用卡爾曼濾波的方式達(dá)到位置平滑的目的[2]。但在高動(dòng)態(tài)接收機(jī)中，載體高階動(dòng)態(tài)變化會(huì)導(dǎo)致對(duì)載體速度估計(jì)精度的下降?；谒俣鹊能壽E平滑方法精度隨之降低。同時(shí)，載體高階動(dòng)態(tài)可能導(dǎo)致載波相位跟蹤環(huán)路的失鎖或周跳。載波相位測(cè)量結(jié)果不能直接用于載體位置解算處理。

[3]提出了一種基于載波多普勒的偽距平滑算法。算法通過(guò)對(duì)載波多普勒的數(shù)值積分替代載波相位的直接測(cè)量，實(shí)現(xiàn)了載波相位不可用條件下的偽距預(yù)處理。該算法在低動(dòng)態(tài)條件下具有分米級(jí)的定位精度。但隨載體動(dòng)態(tài)提高，數(shù)值積分誤差及環(huán)路頻率跟蹤誤差放大使平滑偽距偏差增加，從而造成解算結(jié)果與真實(shí)值的偏差擴(kuò)大。

本文提出了一種新的基于小波降噪載體位置平滑算法。基于偽碼測(cè)距的解算均值偏差較小但誤差方差較大的特征，對(duì)基于載波多普勒平滑偽距的解算結(jié)果進(jìn)行誤差修正。利用位置差分的方式降低了待處理數(shù)據(jù)中的高頻成分，降低小波降噪處理中的門限，從而提高了算法的噪聲隔離性能。最后通過(guò)采集信號(hào)重構(gòu)高動(dòng)態(tài)場(chǎng)景對(duì)算法性能進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 基于差分信號(hào)的軌跡平滑算法

圖1所示為載體具有加加速度條件下，基于偽碼測(cè)距的解算、基于載波多普勒平滑偽距的解算及基于小波直接軌跡平滑得到的一組位置估計(jì)仿真結(jié)果。仿真中載體從第1 140 s開始進(jìn)行變加速運(yùn)動(dòng)，其最大加加速度為50 m/s3。從圖中可以看出，基于偽碼測(cè)距的解算算法估計(jì)誤差方差較大，而后兩種算法在載體具有高階動(dòng)態(tài)時(shí)會(huì)發(fā)生誤差擴(kuò)大的現(xiàn)象，因此并不適合高動(dòng)態(tài)條件下的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)[4]提出的WaveSmoothTM算法通過(guò)對(duì)偽碼測(cè)距與載波相位測(cè)距間偏差進(jìn)行小波分析，選取合適的小波變換尺度和數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理。具有較低的運(yùn)算開銷和較好的實(shí)時(shí)性能，并且比傳統(tǒng)的時(shí)域平滑算法和頻域?yàn)V波方法能夠更好地濾除偽距測(cè)量中的低頻噪聲分量。

基于類似的想法，考慮應(yīng)用小波降噪處理構(gòu)成載體軌跡實(shí)時(shí)平滑算法。對(duì)基于偽碼測(cè)距和載波多普勒平滑偽距的解算結(jié)果進(jìn)行差分，以降低數(shù)據(jù)中的高階變化。對(duì)差分結(jié)果進(jìn)行小波降噪處理后，與基于載波多普勒平滑偽距的解算結(jié)果求和得到軌跡平滑結(jié)果。

2 差分信號(hào)和變換尺度選擇

在GPS系統(tǒng)中，L1波段信號(hào)采用的偽碼稱為粗碼（C/A碼）。記地心地固（ECEF）坐標(biāo)系下，基于偽碼測(cè)距的解算結(jié)果為PCA，基于載波多普勒平滑偽距的解算結(jié)果為 PDop，二者滿足：

將基于偽碼和基于多普勒平滑偽距的解算結(jié)果的差分量以下標(biāo) CmD表示,記。在任意歷元時(shí)刻k差分后信號(hào)可表示為:

根據(jù)參考文獻(xiàn)[3]，當(dāng)載波多普勒平滑偽距所使用的平滑窗口M足夠大時(shí)，平滑后偽距主要受窗口內(nèi)各歷元時(shí)刻載波多普勒測(cè)量的影響。由于載波多普勒測(cè)量誤差與偽碼相位測(cè)量誤差不相關(guān)，平滑后的偽距中由偽碼測(cè)距引入的噪聲方差僅為。因此，當(dāng)M足夠大時(shí)，可近似認(rèn)為PCA與PDop中的噪聲分量不相關(guān)。

圖2給出了PxCmD在加噪和無(wú)噪條件下的頻域特征。從圖中可以看出，PxCmD中的信號(hào)成分主要集中于0.01 Hz以下部分。因此，可認(rèn)為PCmD中基本不包含由載體高階動(dòng)態(tài)引入的高頻分量。

3 小波降噪算法

在降噪處理中，需要將PCmD中的信號(hào)分量與噪聲分量隔離。根據(jù)上一節(jié)的分析，其噪聲分量可以近似為一個(gè)平穩(wěn)、零均值的高斯噪聲。一般而言，經(jīng)過(guò)小波分解后，信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)要大于噪聲的小波系數(shù)。因此，可利用硬閾值處理方法來(lái)達(dá)到降低噪聲對(duì)信號(hào)影響的目的。

在接收機(jī)中，PCmD可看作是連續(xù)時(shí)間序列，為保證算法處理結(jié)果的實(shí)時(shí)性，算法指定處理窗口長(zhǎng)度N，在每個(gè)新的歷元時(shí)刻，利用當(dāng)前歷元及之前N-1個(gè)歷元的PCmD值進(jìn)行處理，得到當(dāng)前歷元的軌跡平滑結(jié)果。

記當(dāng)前歷元時(shí)刻為 N+k，小波變換深度為 L，小波變換的輸入信號(hào)可表示為：

對(duì)于某一選定的小波基，假設(shè)其小波函數(shù)為ψ(t)，尺度函數(shù)為φ(t)。ψ(t)等效于信號(hào)在當(dāng)前尺度下的帶通濾波器，而φ(t)等效于低通濾波器。則小波基的時(shí)頻原子定義為:

記小波函數(shù)和尺度函數(shù)的復(fù)共軛的離散表示分別為 h[n]和 g[n]，離散信號(hào) x尺度為 j的離散小波變換可以表示為:

其中Aj為信號(hào)在尺度 j上的近似，Dj為信號(hào)在尺度 j上的細(xì)節(jié)。在尺度1上信號(hào)的近似和細(xì)節(jié)可以表示為:

小波降噪即通過(guò)修改細(xì)節(jié)部分的小波系數(shù)Dj來(lái)實(shí)現(xiàn)，具體可以采用閾值估計(jì)方法，即對(duì)于大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行零化處理。設(shè)閾值函數(shù)為η(·)，經(jīng)過(guò)閾值降噪處理后的小波域信號(hào)表示為：

最后利用降噪后的小波域表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，即利用小波反變換，將處理后信號(hào)從小波域變換到時(shí)域，可以得到降噪后信號(hào)P?CmD,k。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[6]中對(duì)載體運(yùn)動(dòng)模型的描述，在較短的時(shí)間段內(nèi)，載體運(yùn)動(dòng)主要受推力、空氣動(dòng)力和重力等因素影響。其中，推力和重力可基本視作固定。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，空氣動(dòng)力系數(shù)與載體速度成分段線性關(guān)系。因此，短時(shí)載體運(yùn)動(dòng)模型可用載體位置的4階多項(xiàng)式近似表示。若考慮載體受攝運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)模型采用6階多項(xiàng)式近似即可達(dá)到足夠的模型精度。因此可認(rèn)為PCmD滿足局部Lipschitz指數(shù)α≤6，即PCmD可局部表示為低于 6階的多項(xiàng)式，當(dāng)使用具有大于6階消失矩的小波基進(jìn)行小波變換時(shí)，由于小波函數(shù)與信號(hào)的多項(xiàng)式表達(dá)正交，可以得到：

此時(shí)，PCmD對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)等于其噪聲成分的小波系數(shù)。

參考文獻(xiàn)[1]提出函數(shù)的支集長(zhǎng)度和消失矩是先驗(yàn)獨(dú)立的。如果正交小波的小波函數(shù)有p階消失矩，則其支集長(zhǎng)度至少是2p-1的。參考文獻(xiàn)[7]證明了對(duì)正交小波而言，Daubechies濾波器滿足同等消失矩支集長(zhǎng)度最小的條件。從這一角度上來(lái)說(shuō)，采用db6小波是最優(yōu)的。

由式(7)可知，噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)等效于所有樣點(diǎn)噪聲的加權(quán)和。當(dāng)小波變換輸入信號(hào)中噪聲滿足白高斯分布時(shí)，其各層小波系數(shù)同樣滿足高斯分布。因此可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)該層小波系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差,并依此計(jì)算閾值。為保證算法的實(shí)時(shí)性，降低算法復(fù)雜度，處理窗口長(zhǎng)度N通常滿足：

根據(jù)前一節(jié)中對(duì)PCmD的頻域分析，當(dāng)解算頻率為10 Hz時(shí),小波變換層數(shù)8～9層即可保留PCmD主要信號(hào)分量。

由于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度受限，當(dāng)小波變換層數(shù)增加時(shí)，可用于統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)量減小，統(tǒng)計(jì)偏差隨之增大。因此利用數(shù)據(jù)量相對(duì)較多的第1層小波系數(shù)計(jì)算相應(yīng)的閾值。該層小波系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差可通過(guò)如下近似得到：

由此，可選定2σ1作為降噪處理閾值。當(dāng)輸入數(shù)據(jù)噪聲為白高斯噪聲時(shí)，對(duì)于第1層小波系數(shù)，該閾值能夠?yàn)V除95.4%的噪聲。

4 仿真驗(yàn)證

為評(píng)估算法性能，截取了2011年4月15日獲取的GPS測(cè)量結(jié)果，并以此重構(gòu)高動(dòng)態(tài)場(chǎng)景下的信號(hào)條件，對(duì)算法性能進(jìn)行了仿真。

在重構(gòu)的高動(dòng)態(tài)場(chǎng)景中，載體初始階段保持靜止，從第1 140 s開始進(jìn)行變加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎龞|方向，仰角45°。載體在該過(guò)程中首先以最大正向加加速度加速至最大加速度，保持8 s后以最大反向加加速度加速，直至進(jìn)入勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。該過(guò)程中載體最大加速度 amax=400 m/s2，最大加加速度 aamax=50 m/s3，偽距、載波多普勒測(cè)量值更新速率為10 Hz。仿真中接收機(jī)采用2階鎖頻環(huán)(FLL)進(jìn)行載波頻率跟蹤。當(dāng)存在加加速度時(shí)，環(huán)路存在穩(wěn)態(tài)頻率偏差[2]。

仿真選取載波多普勒平滑偽距窗長(zhǎng)為200 s，即對(duì)每個(gè)新到達(dá)歷元的數(shù)據(jù)，利用歷史數(shù)據(jù)對(duì)200 s前的偽距進(jìn)行估計(jì)，并以估計(jì)后的偽距為基準(zhǔn)，重新利用載波相位遷移量計(jì)算當(dāng)前偽距。基于差分信號(hào)的小波軌跡平滑算法中，小波變換深度L=8。

圖3為本文提出的軌跡平滑算法得到的載體在x軸位置估計(jì)偏差曲線。經(jīng)過(guò)小波降噪處理與合成后,除少量野值外，算法單軸最大位置估計(jì)誤差小于3 m。

算法平滑后載體位置估計(jì)精度如表1所示?？梢钥闯?，算法在高動(dòng)態(tài)條件下載體位置估計(jì)誤差均值基本為0，單軸標(biāo)準(zhǔn)差小于1 m，接近參考文獻(xiàn)[3]中低動(dòng)態(tài)條件下載波多普勒平滑偽距定位算法的性能。

表1 基于小波降噪的位置平滑后的位置估計(jì)精度

圖4為基于載波多普勒平滑偽距的解算算法、基于小波降噪的直接軌跡平滑處理以及本文提出算法得到位置估計(jì)偏差曲線。

從圖4中可以看出，基于小波降噪的直接軌跡平滑處理和本文提出的算法在位置估計(jì)均值精度上明顯優(yōu)于基于載波多普勒平滑偽距的解算算法。在第1 140 s前后，載體以較大加加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，受頻率環(huán)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差影響，載波多普勒平滑偽距定位算法位置估計(jì)誤差發(fā)生擴(kuò)散,基于載波多普勒平滑偽距的解算算法位置估計(jì)誤差逐步放大，直至第1 198 s載體轉(zhuǎn)為勻速運(yùn)動(dòng)后誤差逐漸縮小。而基于差分信號(hào)的小波軌跡平滑算法在整個(gè)定位過(guò)程中基本排除了上述原因引入位置估計(jì)誤差，具有更好的性能。

在高動(dòng)態(tài)條件下，載體動(dòng)態(tài)會(huì)引起接收機(jī)中鎖相環(huán)（PLL）的不穩(wěn)定性，無(wú)法直接采用載波相位測(cè)距提高位置估計(jì)精度。而采用載波多普勒平滑偽距解算得到的位置存在較大的均值偏差。本文提出了一種基于差分信號(hào)的小波軌跡平滑算法。仿真表明，該算法在載體最大加加速度為50 m/s3的條件下，定位均值偏差小于0.04 m，標(biāo)準(zhǔn)差小于1.3 m，在高動(dòng)態(tài)條件下具有較高的定位精度。

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