楊憲武，左曙光，雷 鐳，吳旭東，李 勇

（同濟大學 汽車學院，上海 201804）

隨著高速公路的普及，汽車行駛在高速公路上的時間越來越長，隨之而來的自激多邊形磨損現(xiàn)象經(jīng)常在汽車輪胎上發(fā)生。這種磨損可導致輪胎提前報廢，造成爆胎等嚴重威脅汽車行駛安全的事故，嚴重影響到產(chǎn)品和企業(yè)的形象。這種不均勻磨損的潛在原因很多，可能是車輛的動態(tài)性能、定位參數(shù)、懸架和道路情況等方面的原因，也可能是輪胎的結(jié)構(gòu)參數(shù)、形狀參數(shù)、胎面形式和胎壓等原因造成的。

國內(nèi)外，對于輪胎偏磨損機理的研究，集中了大量的精力來研究輪胎與路面之間相互作用的微觀和宏觀機理，并以此來試圖解釋輪胎磨損的各種形式［1－4］，但目前尚無成熟的理論方法。日本Atsuo Sueoka［5］研究小組將兩接觸旋轉(zhuǎn)輪滾動之間可以產(chǎn)生自激振動的原理在汽車輪胎周向多邊形磨損機理研究中，較成功地解釋了多邊形磨損的現(xiàn)象，但模型中沒有考慮前束角的影響，且只研究了垂向一個自由度，故不能合理地應用到汽車輪胎磨損研究中。本文正是基于這樣的背景，結(jié)合同濟大學汽車學院輪胎多邊形磨損科研小組前期研究成果［6－7］，從輪胎與路面之間的相互作用機理入手，在側(cè)向方面探討了輪胎的自激振動，研究自激振動發(fā)生分岔的車速范圍和自激勵系統(tǒng)振動特性及車速的關(guān)系，以及前束角、胎面質(zhì)量塊和載荷變化等因素對自激勵系統(tǒng)振動的影響。

1 胎面－路面摩擦模型

1.1 摩擦系數(shù)曲線的選取

在胎面－路面模型中，摩擦特性的描述一直是輪胎力學建模的重點和難點，它直接關(guān)系到模型的精度。摩擦系數(shù)分為動摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)，兩者之間摩擦狀態(tài)的切換是輪胎摩擦特性中比較難以建模的問題，而摩擦狀態(tài)的切換又是汽車使用中經(jīng)常會遇到的工況。過分簡單的數(shù)學模型不能正確描述摩擦力的變化規(guī)律，采用復雜的數(shù)學模型又不能得到系統(tǒng)運動過程的解析結(jié)果，因此，建立合理的數(shù)學模型是研究摩擦力激勵自激的一項關(guān)鍵任務。

以往輪胎模型中摩擦系數(shù)多假設為常數(shù)，或僅給出摩擦系數(shù)隨速度變化而簡單下降的經(jīng)驗公式［8］。而通過對輪胎橡膠塊摩擦試驗可以看到橡膠的摩擦系數(shù)隨滑移速度增加是先上升后下降，下降趨勢是先急劇后緩和［9］。

庫倫摩擦是最早被發(fā)現(xiàn)的一種摩擦現(xiàn)象，隨著對摩擦現(xiàn)象的不斷認識，結(jié)合面間的粘滑摩擦被逐漸重視起來。滾動輪胎接地面上的摩擦力主要包括兩個分力：粘附摩擦力和滯后摩擦力。前者為兩對摩表面摩擦力，而后者則是周期性變形引起并產(chǎn)生于輪胎本身的基體摩擦阻力［10］。圖1給出了兩者間相對速度大小與粘滑狀態(tài)之間的關(guān)系圖［11］。

后來Stribeck模型，指數(shù)模型，Karnopp模型，鬃毛模型均對動靜摩擦系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換進行了深入的分析，Canudas de wit［12］提出了一種更加完善的 Lugre 模型，該模型是鬃毛模型的擴展，同時采納了鬃毛模型的思想，即在微觀下接觸表面可以看成是大量的具有隨機行為的彈性鬃毛。但鬃毛模型描述的是摩擦的隨機行為，而LuGre摩擦模型則是基于鬃毛的平均變形來建模，綜合考慮了兩者接觸面間的粘附摩擦，遲滯特性以及激勵頻率對遲滯環(huán)的影響，其模型表達式如式（1）所示：

式中：σ0為刷毛剛度系數(shù)；σ1為刷毛阻尼系數(shù)；σ2為相對粘滯阻尼系數(shù)；z為刷毛的平均彈性變形量；vr為兩接觸物體間的相對速度；vs為Stribeck速度；δ為Stribeck指數(shù)（一般取0.6～2）；Fs為最大靜摩擦力；Fc為滑動摩擦力；F為總摩擦力。

圖1 相對速度與粘滑狀態(tài)關(guān)系圖Fig.1 Relationship between relative velocity and stick-slip state

如圖2所示，當相對速度的變化頻率較低時，Lugre模型表現(xiàn)出與穩(wěn)態(tài)摩擦模型相一致的靜態(tài)摩擦特性，隨著輸入頻率的不斷提高，Lugre模型的動態(tài)遲滯特性愈發(fā)明顯，說明Lugre摩擦模型可以根據(jù)接觸面間相對速度vr的不同變化做自我調(diào)整，表現(xiàn)出不同的摩擦特性，而輪胎接地印跡塊在汽車前進過程中表現(xiàn)出明顯的彈性遲滯特性，因此，Lugre摩擦模型可以很好地模擬汽車輪胎與地面間摩擦行為的瞬態(tài)特性。

圖2 不同輸入頻率下的Lugre摩擦特性曲線Fig.2 Friction curve of Lugre model with different input frequency

1.2 模型構(gòu)建

除了空氣作用力外，汽車運動所需的所有外力都是由車輪和路面之間的相互作用產(chǎn)生的，因而輪胎力學特性與汽車動力學特性密切相關(guān)。為了準確地描述輪胎的動力學特性，將車輪分成兩部分來建模：輪輞和輪胎等效接地印跡塊。輪輞看成剛體，與輪胎接地印跡塊之間通過彈簧和阻尼器進行連接，其中彈簧和阻尼器代表胎體本身的彈性特性。

輪胎力是它與路面間的切向約束力，就物理性質(zhì)而言，屬于摩擦力的范疇，但其變化規(guī)律與系統(tǒng)運動狀態(tài)有關(guān)，并不簡單取決于摩擦定律。后者只能確定輪胎力的最大值和相關(guān)速度的關(guān)系。為了查清路面給輪胎約束力的影響因素，按照解除約束代之以約束力的通用的力學分析方法，將車輪從車輛上分離出來。

將胎面離散化為若干集中質(zhì)量塊，假設各質(zhì)量塊沿輪胎寬度方向振動，且在相鄰質(zhì)量塊間存在著彈簧和阻尼的作用。取其中任一質(zhì)量塊作為研究對象，其與整個輪胎的連接方式如圖3所示。汽車前進方向為垂直紙面向里。

圖3 胎面質(zhì)量塊與輪胎連接示意圖Fig.3 The connection between tread and tire

在模型中，振動能量的輸入來源于胎面與地面之間持續(xù)不斷的摩擦力作用，即兩者之間的相對速度變化是激勵源。為便于分析，將輪胎與地面間的平動速度Vb簡化為皮帶輪的轉(zhuǎn)動。

其中：

v為汽車行駛速度，θ為車輪前束角。

簡化后的模型如圖4所示，m為離散的胎面質(zhì)量塊，Ks和Cs分別為彈簧剛度及阻尼系數(shù)。

圖4 胎面質(zhì)量塊摩擦模型Fig.4 Friction model of tread

設胎面質(zhì)量塊m在皮帶上相對于初始位置的位移為x，則質(zhì)量塊與皮帶之間的相對速度為：

根據(jù)牛頓－歐拉運動學方程，可以列出胎面質(zhì)量塊m側(cè)向滑移的動力學方程如下：

其中M為汽車輪載荷在胎面質(zhì)量塊m上的分布壓力，F(xiàn)（Vr）為隨相對速度變化的摩擦力曲線，將Lugre摩擦模型代入可得：

2 自激振動的產(chǎn)生機理

自激振動系統(tǒng)中存在著非線性阻尼的作用，這種非線性阻尼有著特殊和非常重要的性質(zhì)：對于較小的速度有使振幅增加的趨勢，是負阻尼作用；對于較大的速度，又有使振幅減少的傾向，是正阻尼作用，系統(tǒng)以自己的運動狀態(tài)為調(diào)節(jié)器，使輸入的能量具有交變性。當輸入的能量與耗散的能量達到平衡時，系統(tǒng)可以維持等幅振動，稱為自激振動，它的相軌跡為相平面內(nèi)孤立的封閉曲線穩(wěn)定，微分方程幾何理論稱之為極限環(huán)［13］。

極限環(huán)分為穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)，考慮到真實的動力學系統(tǒng)要承受外界擾動，不穩(wěn)定的周期運動不能保持。因此，自激振動的相軌跡必須是穩(wěn)定的極限環(huán)。

將式（4）右側(cè)摩擦力進行一階泰勒展開得：

將式（6）代入式（4），略去與振動無關(guān)的常數(shù)項并整理，得到在物體與皮帶輪之間的相對速度v=vx時的瞬時振動微分方程：

此時，該振動系統(tǒng)的當量阻尼為：

當Ce＞0，即Cs＞F'（Vx）時，該振動系統(tǒng)處于“正阻尼”狀態(tài)，系統(tǒng)的能量被損耗，振動有衰減趨勢；當Ce=0，即Cs=F'（Vx）時，該振動系統(tǒng)處于“無阻尼”狀態(tài)，系統(tǒng)的總能量不變，維持等幅振動；當Ce＜0，即Cs＜F'（Vx）時，該振動系統(tǒng)處于“負阻尼”狀態(tài)，系統(tǒng)從外界吸收能量，振動有增強的趨勢。

圖5所示為摩擦力從靜摩擦到動摩擦的變化走勢圖，其中fs，fc分別為最大靜摩擦力和剛剛發(fā)生完全滑動時的滑動摩擦力，V1，V2分別為對應于fs，fc的相對速度。當v∈［0，v1］時，兩個接觸面處于粘滯狀態(tài)，摩擦力屬于靜摩擦，其大小與相對滑動速度基本呈線性關(guān)系且斜率很大。在v=v1處，f達到最大值fs，即為最大靜摩擦力；當v∈［v1，v2］時，接觸面的部分質(zhì)量開始出現(xiàn)滑動，于是兩個接觸面處于部分粘滯狀態(tài)，摩擦力逐漸從靜摩擦過渡到滑動摩擦。由于滑動摩擦力小于最大靜摩擦力，因此這一部分的曲線斜率為負值。當相對速度在v1兩側(cè)來回變化時，就有可能使得Ce在正負之間逐次交替，從而讓振動系統(tǒng)在消耗能量和吸收能量之間找到一個平衡狀態(tài)，達到穩(wěn)定的自激振動。

綜上所述，對于干摩擦振動系統(tǒng)，其摩擦特征曲線中的“負斜率”部分是形成自激振動的根本原因。若此“負斜率”部分足以抵消振動系統(tǒng)自身的“正阻尼”，則該振動系統(tǒng)便會表現(xiàn)出整體“負阻尼”狀態(tài)，進而產(chǎn)生自激振動；而若摩擦特征曲線的“負斜率”特征不明顯，或者振動系統(tǒng)自身的“正阻尼”比較大，則該振動系統(tǒng)無法出現(xiàn)整體“負阻尼”狀態(tài)，振動將被衰減，因此無法形成自激振動

圖5 摩擦力特征曲線Fig.5 Characteristic curve friction force

3 分岔點的計算

動力系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象是指隨著某些參數(shù)的變化，系統(tǒng)的動態(tài)行為發(fā)生質(zhì)的改變，特別是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)發(fā)生穩(wěn)定性改變或出現(xiàn)方程解的軌道分歧。因此找出狀態(tài)發(fā)生改變的參數(shù)點對于動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制有著極其重要的作用。

3.1 模型的線性化

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究比較困難，沒有普遍的分析解法，要依靠數(shù)值解法。但Lyapunov的一次近似定理證明［14］，在小擾動下，由線性化模型得到的關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論，除了臨界點附近的情況以外，可以適用于真實的非線性系統(tǒng)。

胎面質(zhì)量的非線性動力學方程（1）可用狀態(tài)方程表示為：

式中v為車輛行駛速度，是一個動參數(shù)，x為狀態(tài)變量。令x0為方程（2）的平衡點，則非線性動力系統(tǒng)式可以改寫成線性部分與非線性部分分開的形式：

式中g(shù)（x，y）在平衡點x0的鄰域內(nèi)是x的高階無窮小量，A（v）是函數(shù)f（x，y）在平衡點x0處的 Jacobian矩陣，其表達式為：

3.2 極限環(huán)的存在性及穩(wěn)定性分析

用Hopf定理證明極限環(huán)的存在性時，分岔點的尋找，一般是通過計算Jacobian矩陣A（v）的所有特征值來判斷是否有特征根穿越虛軸［15］。這種方法需要對每一車速計算所有特征根并判定根的實部是否為零，計算量很大。尤其當狀態(tài)方程的構(gòu)成較為復雜時，很難寫出特征根的解析表達式。而利用Hurwitz行列式，可以將分岔點的求解轉(zhuǎn)化為一個非線性方程的求解，從而克服了以前方法在計算Hopf分岔點時，對于參數(shù)的每一次變化通過求特征根并判定特征根的實部是否為零的龐大工作量［16］。

對方程（5）進行線性化后的Jacobian行列式為：

其中：

式（12）的特征多項式為：

通過式（13）的系數(shù)可以寫出Hurwitz行列式，進而計算出當Vb=0.144 649和Vb=0.172 816時，即當車速為v1=99.5 km/h和v2=118.8 km/h時，方程（13）有一對純虛根，根據(jù)參考文獻［17］知，非線性系統(tǒng)方程式（5）在車速為v1=99.5 km/h處發(fā)生了Hopf分岔，車速在超過99.5 km/h時，系統(tǒng)的平衡點不再是穩(wěn)定的，出現(xiàn)了極限環(huán)振動現(xiàn)象，當車速達到v2=118.8 km/h時，系統(tǒng)再次發(fā)生了Hopf分岔，極限環(huán)振動逐漸消失，是一種典型的硬自激振動。

由上面分析可知：速度v1、v2為系統(tǒng)的分叉點，對應此速度的輪胎運動狀態(tài)會突然發(fā)生變化。當速度超過v1、v2后，可能會出現(xiàn)超臨界分岔，對應穩(wěn)定的周期振動，即存在穩(wěn)定的極限環(huán)；也有可能會出現(xiàn)指數(shù)發(fā)散的亞臨界分岔，即存在不穩(wěn)定的極限環(huán)?？赏ㄟ^判斷最大Lyapunov指數(shù)的正負來判定極限環(huán)的穩(wěn)定性。

Lyapunov指數(shù)定量地描述了相空間中相鄰軌道呈指數(shù)發(fā)散的性質(zhì)。若L指數(shù)＜0，表示相體積收縮運動穩(wěn)定，且對初始值不敏感；若L指數(shù)=0，則對應臨界狀態(tài)，即穩(wěn)定的邊界；若L指數(shù)＞0，表示相軌道分散，長時間行為對初始值非常敏感，運動呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。

通過計算得知，在車速v1=99.5 km/h處系統(tǒng)發(fā)生分岔時對應的 Lyapunov指數(shù)為 －757.703 1，在車速v2=118.8 km/h處系統(tǒng)發(fā)生分岔時對應的Lyapnov指數(shù)為－568.950 4，這說明在臨界速度v1、v2處發(fā)生的Hopf分岔均為超臨界分岔，所產(chǎn)生的極限環(huán)都是穩(wěn)定的，即輪胎胎面將沿側(cè)向做穩(wěn)定的自激振動。

4 仿真結(jié)果與分析

為研究汽車動態(tài)特性及定位參數(shù)等對輪胎自激振動的影響，以國內(nèi)某一典型車輛作為研究對象，在matlab軟件中建立simulink模型，圖6給出了胎面塊位移隨速度變化的分岔圖。從圖中得知，當速度在99.5 km/h之下時，胎面塊沒有出現(xiàn)自激振動，處于穩(wěn)定狀態(tài)，而當速度在［99.5，118.8］km/h 之間變化時，胎面出現(xiàn)穩(wěn)定的自激振動，且振幅先增大后減小，當速度大于v2=118.8 km/h時，胎面再次出現(xiàn)漸近穩(wěn)定狀態(tài)，自激振動現(xiàn)象消失。

圖6 正常工況下的胎面自激振動分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of self-excited vibration of the tread under normal working condition

為研究系統(tǒng)的振動狀態(tài)隨著參數(shù)變化的規(guī)律，以便于更好地控制和避免輪胎多邊形磨損現(xiàn)象，在圖7中分別畫出了改變車輪負載、接地塊質(zhì)量和前束角后的自激振動分岔圖。其中，在同等載荷下接地塊質(zhì)量主要和輪胎的種類和花紋類型有關(guān)（如寬胎和窄胎）。從圖中可以看出當載荷增加，接地塊質(zhì)量變?。ㄝ喬ピ秸?，前束角變大時，自激振動分岔范圍均變大。

圖7 不同工況下的胎面自激振動分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of self－ excited vibration of the tread under differentl working condition

圖8 不同載荷下的胎面自激振動相圖Fig.8 Phase diagram of self-excited vibration of the tread under different loads

圖9 不同接地印跡下的胎面自激振動相圖Fig.9 Phase diagram of self-excited vibration of the tread under different ground bolt

圖10 不同前束角下的胎面自激振動相圖Fig.11 Phase diagram of self-excited vibration of the tread under different toes

胎面的振幅大小和振動速度快慢反應了其振蕩能量的大小，對輪胎磨損有著直接的影響關(guān)系，自激振動能量越強，多邊形磨損越厲害。為更加清晰地闡述胎面振幅和振動速度變化與參數(shù)之間的關(guān)系，在圖8～圖10中給出了各參數(shù)下的相圖。從圖中得知，在同一車速下，載荷越大、接地塊質(zhì)量變?。ㄝ喬ピ秸?，前束角越大，胎面質(zhì)量塊的自激振動能量越大，對輪胎磨損的貢獻量越大。這和輪胎在高速超載、前束角定位不當時更易出現(xiàn)多邊形磨損現(xiàn)象的特征相吻合。

雖然通過降低車速可以避免自激振動的產(chǎn)生，但作為車輛性能的重要評價指標之一，長期保持低速行駛是不現(xiàn)實的。由此可見，為了更好地消除由胎面自激振動而引起的輪胎多邊形磨損現(xiàn)象，應該避免汽車超載行駛，并調(diào)配好適當?shù)那笆?，或者更換寬胎使得能夠產(chǎn)生自激振動的車速控制在合理范圍之內(nèi)。

5 結(jié)論

（1）本文主要研究了易產(chǎn)生多邊形磨損的輪胎自激振動的形成機理，結(jié)合與試驗模型一致的具有遲滯現(xiàn)象的摩擦系數(shù)曲線，用matlab/simulink軟件建立了輪胎自激振動系統(tǒng)的仿真模型。

（2）通過改變模型中的仿真參數(shù)，模擬了不同載荷，不同輪胎（寬胎和窄胎）以及不同前束角下的各種工況對輪胎自激振動的影響，計算出了產(chǎn)生自激振動的分岔速度，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對其極限環(huán)穩(wěn)定性進行了分析。

（3）得出載荷越大，輪胎越窄，前束角越大越容易出現(xiàn)輪胎多邊形磨損的結(jié)論，為輪胎多邊形磨損的研究提供了理論支撐。

（4）通過控制容易引起自激振動的敏感參數(shù)可以避免或者縮小使得輪胎產(chǎn)生自激振動的車速范圍，最大程度上降低輪胎多邊形磨損對汽車行駛的影響，具有較重要的工程意義。

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