藍(lán) 洋，吳香艷

（1.西安外事學(xué)院 陜西 西安 710077；2.新港中學(xué) 山東 蓬萊 265600）

在工程學(xué)科的高等教育體系中，數(shù)學(xué)教育是基礎(chǔ)，我國著名橋梁專家茅以升曾說過：“數(shù)學(xué)是一切工程學(xué)科的靈魂”。可以說，數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量直接決定了專業(yè)人才是否具有運(yùn)用理論知識獨立解決工程問題的能力。目前，在工程類專業(yè)的本科教學(xué)中，較為普遍的存在著數(shù)學(xué)課與專業(yè)課教學(xué)相脫節(jié)的現(xiàn)象，這直接影響了高等人才專業(yè)素質(zhì)的培養(yǎng)。本文主要針對電子信息學(xué)科，分析了線性代數(shù)課程教學(xué)上存在不足，通過舉例闡述了線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)概念同電子信息類學(xué)科本科課程的聯(lián)系，從而進(jìn)一步說明授課教師應(yīng)該如何改進(jìn)現(xiàn)有的教學(xué)模式來促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深刻理解及靈活應(yīng)用。

1 線性代數(shù)在電子信息學(xué)科中的地位

隨著計算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展，線性代數(shù)在應(yīng)用中的重要性隨之迅速增加。隨著科學(xué)家與工程師所面對的工程問題的復(fù)雜性逐步增加，線性代數(shù)已經(jīng)成為很多工程學(xué)科不可或缺的課程，其對許多工程類課程的重要性已超過了大學(xué)中其它數(shù)學(xué)課程。線性代數(shù)的廣泛應(yīng)用決定了它必然與許多專業(yè)課程息息相關(guān)，例如，在電子信息學(xué)科中，它為電路、信號與系統(tǒng)、通信原理、通信網(wǎng)、數(shù)字信號處理、信息論與編碼和控制理論等課程中的問題描述與求解提供了有力工具。因此，對線性代數(shù)的深刻理解能夠幫助學(xué)生對很多課程建立統(tǒng)一的認(rèn)識，從而進(jìn)一步促進(jìn)其專業(yè)素質(zhì)的培養(yǎng)。所以，線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方向與教學(xué)方法應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育工作者當(dāng)前思考的問題。

2 線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題

在我國，線性代數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)偏重自身的理論體系，強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)的基本定義、定理及其證明，對線性代數(shù)的方法和應(yīng)用重視不夠，幾乎不涉及數(shù)值計算。在電子信息學(xué)科的本科教學(xué)體系中，線性代數(shù)課程與后續(xù)專業(yè)課程未能有效銜接，其主要表現(xiàn)為線性代數(shù)教師在授課時不提專業(yè)背景，大多數(shù)線性代數(shù)課本基本沒有提及實際應(yīng)用，甚至沒有應(yīng)用類的課后習(xí)題，這導(dǎo)致大部分學(xué)生不了解線性代數(shù)對后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)有什么用處，所以到學(xué)習(xí)專業(yè)課的相關(guān)知識時，無法與學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系，從而影響專業(yè)課的學(xué)習(xí)質(zhì)量。而更加令人擔(dān)憂的是，學(xué)生往往不知道這是由于數(shù)學(xué)欠缺所導(dǎo)致的問題，從而無法從根本上解決在專業(yè)課學(xué)習(xí)中遇到的困惑。如果不解決這個問題，必定會影響到工程技術(shù)人才的培養(yǎng)。

3 線性代數(shù)教學(xué)的基本理念

為了有效完成理論教學(xué)，首先需要審視學(xué)習(xí)過程的本質(zhì)。不難理解，我們需要學(xué)習(xí)的對象是自身經(jīng)驗之外的事物，如果我們在自己的經(jīng)驗體系中找到了一個的位置，使得此未知事物同經(jīng)驗體系中的已有事實建立了一種被自己認(rèn)可的和諧關(guān)系，則說明這個未知的事物不僅僅被我們知道了而且被我們理解了。進(jìn)一步的，如果我們在需要的時候，隨時能夠不經(jīng)推理直接喚起關(guān)于這個事物的記憶，那么可以說是記住了。教學(xué)的過程就是教師啟發(fā)或者幫助學(xué)生將未知事物融入各自經(jīng)驗體系的過程。

理論教學(xué)的目的就是幫助學(xué)生將未知事物融入自身經(jīng)驗體系，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動推理，這種推理是從熟悉的具體事物出發(fā)，抽象出其本質(zhì)，形成自身的理論體系，再將此理論還原到現(xiàn)實中新的事物中去，如此循序漸進(jìn)。數(shù)學(xué)的形成和應(yīng)用體現(xiàn)了這一規(guī)律，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也應(yīng)該遵循這一規(guī)律。

4 改進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)的方法

在高等教育階段，如何幫助學(xué)生完成這個過程呢？ 對于如何進(jìn)行理論的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)家William Feller曾指出“對每一門學(xué)科，我們都必須仔細(xì)地區(qū)分理論的3個方面：1）形式邏輯的內(nèi)容；2）直觀的背景；3）應(yīng)用”[1]。 簡單講，除了學(xué)科本身的內(nèi)容之外，決不可忽視它的來龍去脈，即其直觀背景和應(yīng)用。對于工程學(xué)科的學(xué)生而言，理解其直觀背景有助于學(xué)生在未來的現(xiàn)實環(huán)境中發(fā)現(xiàn)問題，熟悉其應(yīng)用可以直接提高學(xué)生理論聯(lián)系實際解決問題的能力。所以，對于線性代數(shù)這樣一門直觀背景極清晰，工程應(yīng)用很廣泛的數(shù)學(xué)課，它的教學(xué)應(yīng)該注重線性代數(shù)與其他數(shù)學(xué)課程、專業(yè)課程、生活經(jīng)驗以及工程應(yīng)用的聯(lián)系。

線性代數(shù)本身具有高度的抽象性與概括性，故其課程教學(xué)的最大挑戰(zhàn)體現(xiàn)在：1）引導(dǎo)學(xué)生深刻理解理論知識；2）啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、描述問題、思考問題乃至靈活應(yīng)用理論解決問題。顯然，僅就課本講授定義、定理和例題傳統(tǒng)教學(xué)方式無法達(dá)到上述教學(xué)目標(biāo)。因此，授課教師應(yīng)在完成傳統(tǒng)授課要求的基礎(chǔ)上，注意以下幾點：

首先，在授課過程中，教師應(yīng)該在講述理論知識之前描述該理論知識的發(fā)展背景，使學(xué)生能夠理解問題的來源，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容進(jìn)行類比，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)新老課程之間、并行課程之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而將新知識同自己的已有知識體系聯(lián)系起來。

其次，在授課中，教師需要經(jīng)常聯(lián)系實例來說明數(shù)學(xué)原理，引導(dǎo)學(xué)生鍛煉用數(shù)學(xué)原理概括實際問題的能力。

再者，為了使學(xué)生在專業(yè)課程學(xué)習(xí)中具有數(shù)學(xué)思維，教師還需要在授課過程中向?qū)W生滲透專業(yè)概念與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使學(xué)生逐步認(rèn)識到數(shù)學(xué)的實用性和學(xué)習(xí)的必要性。

另外，為了加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用科學(xué)計算工具解決數(shù)學(xué)問題與實際問題的能力，授課教師在授課時還可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一些相關(guān)的計算機(jī)軟件（如MATLAB軟件），鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，并同時布置一些與需要編程計算的應(yīng)用題作為課后作業(yè)[2]。

5 線性代數(shù)教學(xué)范例

在電子信息類學(xué)科中，線性代數(shù)的概念幾乎無處不在，例如向量空間、基和線性變換等概念，在許多課程中都是透徹理解主要內(nèi)容的關(guān)鍵以及成為探究知識本質(zhì)的線索。接下來，本文將以向量空間中基的概念為例，探討如何在教學(xué)中將線性代數(shù)與相關(guān)科目知識進(jìn)行聯(lián)系。

5.1 理解向量空間基的概念

在教學(xué)中，教師需要將新的概念同學(xué)生熟悉的知識相聯(lián)系，使學(xué)生在知識擴(kuò)展的過程中消除莫名其妙的感覺與恐懼的心理。例如，用向量空間的一組基來線性表示一個向量與力學(xué)中受力分解便具有很好的對應(yīng)。

5.2 線性代數(shù)與其他數(shù)學(xué)課的聯(lián)系

在一個專業(yè)中，任何一門課程都是相互聯(lián)系、相互支撐的，但對于許多學(xué)生而言，許多課程難以產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。如果授課教師能時時注意為學(xué)生打通課程間的隔閡，在相互并行的課程間建立橋梁，將有助于學(xué)生領(lǐng)悟到不同課程的概念在本質(zhì)上的一致性。數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)與線性代數(shù)之間便具備這樣的聯(lián)系。

從數(shù)學(xué)角度看，一個工程學(xué)系統(tǒng)的輸入和輸出信號都是函數(shù)，函數(shù)的線性運(yùn)算（加法和標(biāo)量乘法）完全類似向量空間中向量線性運(yùn)算（加法和數(shù)乘）的代數(shù)性質(zhì)，將向量張成向量空間的概念推廣到函數(shù)組成的信號空間[7]對于工程應(yīng)用是極為重要的。因此，用線性代數(shù)的向量空間和基的概念來理解級數(shù)，使得它們與線性代數(shù)的向量空間統(tǒng)一起來，對于未來信號與系統(tǒng)等專業(yè)課程的學(xué)習(xí)是非常有益的。

5.3 線性代數(shù)服務(wù)于專業(yè)基礎(chǔ)課教學(xué)

在信號與系統(tǒng)課程的學(xué)習(xí)中，第一個讓學(xué)生感到困難的知識就是Fourier變換，緊接著還有Laplace變換與Z變換更是讓人摸不到頭腦，甚至有學(xué)生提出“信號與系統(tǒng)這門課是數(shù)學(xué)課嗎？”。如果將前述向量空間推廣到函數(shù)空間，找到線性代數(shù)和Fourier變換的內(nèi)在聯(lián)系，那么這個困難的概念將會變得簡單。

設(shè)有函數(shù)f（t）是以 T為周期的周期函數(shù)，且在[-T/2，T/2]可以表示為基 1，ejωt，ej2ωt，…的線性組合，然后通過令 T→+∞可以推導(dǎo)出Fourier變換的形式。這說明Fourier變換本質(zhì)是在信號所在的線性空間中找到能夠反映各個頻率分量的一組基，然后用這組基在頻率域分析信號結(jié)構(gòu)的一種方法。由于需要微積分的支撐，這個概念顯得十分復(fù)雜，但其實質(zhì)卻如力的分解一樣簡單。如果在線性代數(shù)課程中解決了向量空間和基的問題、在復(fù)變函數(shù)課中解決了級數(shù)問題，F(xiàn)ourier變換就不再困難了，隨后在頻譜、功率譜和濾波器等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中就不會“迷失在數(shù)學(xué)計算中而忘記了原本的目的”了。

5.4 數(shù)學(xué)原理在專業(yè)知識中的應(yīng)用

不難看出，線性代數(shù)的基本概念能夠清晰的反映各種變量之間的關(guān)系。當(dāng)給這些變量賦予實際的物理意義時，線性代數(shù)同樣能夠使得看似復(fù)雜的技術(shù)變得簡單明晰，現(xiàn)實生活中第三代移動通信系統(tǒng)（通常被稱為3G）的核心技術(shù)CDMA（碼分多址）技術(shù)就是一個對應(yīng)的例子。

CDMA技術(shù)[8]能夠?qū)崿F(xiàn)在一個天線上允許多用戶同時同地同頻段通信，令多數(shù)學(xué)生很難理解的是：多個用戶的信號混合為一個信號，如何利用不同的碼字區(qū)分戶信息呢。利用向量空間和基的概念，解決這個問題就如同物理學(xué)中的受力分解一樣容易。

設(shè)一個CDMA通信系統(tǒng)，向用戶A和用戶B發(fā)送信息m1和m2，信息分別用碼字 P1，P2來攜帶，發(fā)送信號分別記為S1=m1P1和S2=m2P2。如果用戶A和用戶B同一地點、同一時間接收信息，那么兩個用戶收到的信號均為混合信號S=S1+S2=每個用戶需要從混合信號S中分別提取發(fā)給自己的信號。保證用戶能夠提取信號的關(guān)鍵是攜帶用戶信息的碼字P1，P2，它們通常是具有準(zhǔn)正交特性的偽隨機(jī)碼，可以被看作是信號空間的一組基。用戶A只需要將混合信號S向空間中的基P1進(jìn)行投影，即可得到消息m1。同理，用戶B將信號S向空間中的基P2進(jìn)行投影，可以得到信息m2。

5.5 線性代數(shù)與數(shù)值計算相結(jié)合解決工程問題

線性代數(shù)在應(yīng)用中的重要性隨著計算機(jī)的發(fā)展而迅速增加。在線性代數(shù)的教學(xué)中，僅僅局限于手工計算求解方程組是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，在教學(xué)中應(yīng)該說明工程問題如何對應(yīng)成線性代數(shù)問題（即為數(shù)學(xué)建模）與如何借助計算機(jī)結(jié)合數(shù)值計算進(jìn)行問題求解。計算方法課程中的插值問題可以作為一個很好的工程應(yīng)用和計算機(jī)求解的例子。

針對一個系統(tǒng)未知y=f（x），由實驗或者測量得到一組數(shù)據(jù)（xi，yi），i=0，1，2，…n 希望構(gòu)造一個簡單函數(shù) p（x）作為函數(shù)y=f（x）的近似表達(dá)，使得 yi=p（xi），i=1，2，…n，這類問題即為插值問題[9]。假設(shè)使用n階多項式求解出 ai，i=0，1，2，…，n，即可得到插值多項式 p（x）。 求解這個多項式一個可行的方法是拉格朗日插值，求解公式為該表達(dá)式形式允許工程師通過編程方便實現(xiàn)插值多項式的求解。問題是，表達(dá)式Ln（x）是筆者要的多項式嗎？與希望得到的插值多項式是p（x）是一致的嗎？結(jié)論是完全一致，之所以形式不同，是因為在n階多項式空間中，選取不同形式的基函數(shù)，因而具有不同的線性組合形式。表1對比計算方法的插值問題、線性代數(shù)的向量空間中的基，通過對比，拉格朗日插值多項式的本質(zhì)一目了然。

表1 向量空間中的向量與多項式空間中的插值多項式Tab.1 Vector in vector space and interpolation polynomials in polynomial space

6 結(jié) 論

由以上范例可以看到，在描述具體的工程問題時，線性代數(shù)理論與方法具有很強(qiáng)的適用性[10]。在授課過程中，如果教師能在數(shù)學(xué)課堂上說明這個概念的來源及應(yīng)用，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能夠為未來的學(xué)習(xí)做鋪墊，也能令學(xué)生們認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要作用，引導(dǎo)他們理解抽象的數(shù)學(xué)概念，構(gòu)建自己關(guān)于科學(xué)技術(shù)的認(rèn)知體系。經(jīng)過近5年教學(xué)改革實踐，本文所提出的教學(xué)改革理念和方案，不僅提高了線性代數(shù)課程教學(xué)質(zhì)量，而且也促進(jìn)了數(shù)學(xué)建模、復(fù)變函數(shù)、計算方法、信號與系統(tǒng)、通信原理、信息論與編碼、隨機(jī)信號分析、移動通信等課程的教學(xué)質(zhì)量的提高。

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