林玎

(吉林建筑工程學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，長(zhǎng)春130118)

0 引言

1 設(shè)Σ是球面或球面的一部分，球面方程:x2+y2+z2=R2

利用球面坐標(biāo)［2］，該球面的方程為r=R.又設(shè)Σ:r=R.α≤θ≤β，γ≤φ≤ω.

利用球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面φ=常數(shù)，θ=常數(shù);把積分曲面Σ分成許多小塊曲面，則曲面的面積微元為:

曲面上任一點(diǎn)(x，y，z)與球面坐標(biāo)(r，φ，θ)之間的關(guān)系為:

所以，

解 用球面坐標(biāo)計(jì)算，由(1)，(2)式得:

2 設(shè)Σ是柱面或柱面的一部分，柱面方程:x2+y2=R2

利用柱面坐標(biāo)(r，θ，z)，該柱面的方程為r=R，又設(shè)Σ:r=R

α≤θ≤β，φ1(θ)≤z≤φ2(θ)，以坐標(biāo)面z=常數(shù)，θ=常數(shù)，

分割曲面Σ，設(shè)ds為上任一小塊曲面，則曲面微元ds=Rdθdz，曲面上任一點(diǎn)(x，y，z)與其柱面坐標(biāo)(r，θ，z)之間的關(guān)系為:

所以，

解:利用柱面坐標(biāo)，由(3)，(4)式得:

下面介紹一個(gè)靈活利用球面坐標(biāo)計(jì)算曲面積分的例子

例3求圓柱面x2+y2=2xa(a＞0)被錐面和坐標(biāo)面xoy所截的面積

在Σ上用θ=常數(shù)的直線(平行于z軸)和z=常數(shù)的平面分割曲面Σ，面積元素ds=adθdz

3 結(jié)語(yǔ)

由例1～例3可見(jiàn)，利用微元法把曲面微元轉(zhuǎn)化成兩個(gè)變量微分之積，對(duì)面積曲面積分的計(jì)算方便快捷，效果較好，可在以后教學(xué)中借鑒.

［1］張永明.計(jì)算柱面上對(duì)面積的曲面積分的一種新方法［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008(4):201-203.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))［M］.北京:高等教育出版社，2007:215-218.