李海林，吳德偉

(空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，陜西西安 710077)

引言

臨近空間是當(dāng)前航空航天領(lǐng)域發(fā)展的研究熱點(diǎn)，臨近空間飛行器的發(fā)展對(duì)于未來(lái)空天一體化作戰(zhàn)、防空防天反導(dǎo)都將產(chǎn)生革命性的影響［1-4］。尤其是高超聲速臨近空間飛行器的研究和應(yīng)用，不僅是航空航天技術(shù)領(lǐng)域的一次飛躍，更是軍事變革的尖刀。對(duì)此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者及著名研究機(jī)構(gòu)紛紛投入大量科研力量，主要集中在總體設(shè)計(jì)技術(shù)、材料與熱防護(hù)技術(shù)、動(dòng)力裝置、導(dǎo)航制導(dǎo)與控制技術(shù)和飛行軌跡等領(lǐng)域［5］。

臨近空間介于航空領(lǐng)域和航天領(lǐng)域之間，臨近空間飛行器的飛行軌跡既不像航空飛行器那樣可以靈活自如地“任意”改變，也不像航天飛行器那樣固定在一定軌道運(yùn)行。所以，針對(duì)臨近空間飛行器飛行軌跡的研究就不能簡(jiǎn)單定義為航跡規(guī)劃或軌道確定。本文論述了高超聲速臨近空間飛行器飛行軌跡，并把非開普勒軌道的研究引入高超聲速臨近空間飛行器的研究范疇，從基本原理上揭示了高超聲速臨近空間飛行器與航空、航天飛行器的不同之處。

1 非開普勒軌道模型

航天器的開普勒軌道可由如下限制性二體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程［6］解得:

式中，r為從天體(記為m1)到航天器(m2)的位置矢量;天體引力常數(shù)μ=Gm1，G為萬(wàn)有引力常數(shù)，這種情況只考慮m1對(duì)m2的引力。這是一個(gè)建立在以天體質(zhì)心為原點(diǎn)的慣性坐標(biāo)系中的航天器軌道動(dòng)力學(xué)方程。

相對(duì)于開普勒軌道，非開普勒軌道是指不符合開普勒三定律的天體或航天器的運(yùn)行軌道，以及不符合二體問(wèn)題解的天體或航天器的運(yùn)行軌道。廣義上定義為一切不符合理想開普勒三定律的軌道都是非開普勒軌道。但開普勒軌道和非開普勒軌道都必定符合一定的動(dòng)力學(xué)原理，因?yàn)樘祗w或航天器的運(yùn)動(dòng)不是無(wú)緣無(wú)故的任意行為，而是有內(nèi)因或外因作用的，必有規(guī)律可尋。因此，應(yīng)用牛頓力學(xué)可以導(dǎo)出高超聲速臨近空間飛行器非開普勒軌道的動(dòng)力學(xué)方程［7］為:

式中，fh為作用在航天器上除天體中心引力以外的所有外力產(chǎn)生的加速度。式(2)與式(1)不同的是等號(hào)右邊不為零，表明fh的方向與r同向，且固定不變。事實(shí)上，還有很多非開普勒軌道的fh的方向與r并不同向。

從文獻(xiàn)［2］得出的非開普勒軌道動(dòng)力學(xué)方程式(2)不具有代表性，只代表了與航天器上除天體中心引力以外的所有外力產(chǎn)生的加速度的方向一致的一部分開普勒軌道。由式(2)進(jìn)一步推導(dǎo)得出更具有廣泛代表性的方程如下:

式中，k為某個(gè)常系數(shù);τd為某個(gè)力的單位矢量;rd為r的單位矢量。式(3)中fh的方向是τd和rd的矢量方向，方向并不確定。當(dāng)k=1，τd和rd方向相同，式(3)與式(2)等同。

高超聲速臨近空間飛行器的運(yùn)動(dòng)軌跡遵循非開普勒軌道原理。這是由于臨近空間的空氣非常稀薄，萬(wàn)有引力定律和開普勒宇宙定律在該區(qū)域難以適用，使得遵循萬(wàn)有引力定律的航空飛行器不能在其中飛行，遵循開普勒宇宙定律的航天飛行器，由于受重力作用過(guò)大，難以維持其飛行軌道。因此，式(3)適用于高超聲速臨近空間飛行器，本文將具體論述這一觀點(diǎn)。

2 非開普勒軌道彈跳的飛行機(jī)理

眾所周知，航天器通過(guò)大氣層返回地面時(shí)，再入大氣層時(shí)的速度方向與當(dāng)?shù)厮骄€的夾角為θ，稱為再入角［8］，再入角的大小直接影響到航天器在大氣層里所受的氣動(dòng)力加熱、過(guò)載和返回時(shí)的航程。以往為了使航天器能夠返回地面，想盡辦法控制再入角度，使其能夠進(jìn)入大氣層安全回到地面?，F(xiàn)在高超聲速臨近空間飛行器就是利用航天器返回原理的反原理進(jìn)行的，亦使飛行器再入大氣層時(shí)的速度方向與當(dāng)?shù)厮骄€相切，只能在大氣層的邊緣飄逸躍遷，而不進(jìn)入大氣層，從而保持在大氣層外不斷飛行。

高超聲速臨近空間飛行器的飛行機(jī)理如圖1所示。當(dāng)進(jìn)入大氣層時(shí)，高超聲速臨近空間飛行器周圍的大氣開始?jí)嚎s，形成強(qiáng)大阻力，程序控制高超聲速臨近空間飛行器的速度V1的大小和方向，使再入角θ較小或?yàn)榱?。由于受大氣阻力D影響，在當(dāng)?shù)厮交鶞?zhǔn)的法線方向增加一個(gè)速度增量ΔV，若不考慮其他因素，根據(jù)牛頓定律，高超聲速臨近空間飛行器將改變?cè)瓉?lái)的運(yùn)動(dòng)方向，朝向V1和ΔV的合成矢量方向V2運(yùn)動(dòng)，從而使高超聲速臨近空間飛行器在大氣層邊緣從航跡1躍遷到航跡2。

圖1 飛行機(jī)理

當(dāng)高超聲速臨近空間飛行器沿航跡2躍遷到一定距離后，受重力影響和發(fā)動(dòng)機(jī)工作，程序控制高超聲速臨近空間飛行器再次改變運(yùn)動(dòng)方向，使高超聲速臨近空間飛行器以特定的速度朝向大氣層運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到大氣層邊緣，又會(huì)受大氣阻力D影響躍遷出去。如此往復(fù)，發(fā)動(dòng)機(jī)只需要適當(dāng)時(shí)候進(jìn)行很少工作，再加上重力的影響，就能保證高超聲速臨近空間飛行器在大氣層邊緣繞地球作彈跳式循環(huán)運(yùn)動(dòng)。

3 非開普勒軌道分析

3.1 巡航段非開普勒軌道動(dòng)力學(xué)方程

高超聲速臨近空間飛行器飛行過(guò)程可分為三個(gè)階段:發(fā)射段、巡航段和再入段。發(fā)射段的目標(biāo)是將飛行器以指定的速度送入指定飛行高度，可以使用地基或天基發(fā)射方式實(shí)施。巡航段是主要的飛行階段，飛行器在一定高度范圍內(nèi)進(jìn)行巡航高速飛行。再入段是指飛行器改變飛行軌跡，使當(dāng)?shù)厮俣葍A角快速變小，與大氣發(fā)生碰撞，使飛行器彈跳或進(jìn)入大氣層對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攻擊。本文主要對(duì)無(wú)動(dòng)力再入段進(jìn)行分析。高超聲速臨近空間飛行器巡航段受力如圖2所示。

圖2 高超聲速臨近空間飛行器巡航段受力分析

設(shè)飛行器作角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)G表示法向方向的力，即地球?qū)︼w行器的萬(wàn)有引力，F(xiàn)S表示切向方向的力，即發(fā)動(dòng)機(jī)推力，則飛行器的合加速度等于法向加速度加切向加速度:

由此可見，式(8)與式(3)相同，說(shuō)明高超聲速臨近空間飛行器運(yùn)行軌道是非開普勒軌道。

3.2 再入段非開普勒軌道動(dòng)力學(xué)方程

實(shí)際上，飛行器在受到多個(gè)力作用的情況下，同樣可以分解為以上兩個(gè)方向的力。式(3)和式(8)同樣適用。高超聲速臨近空間飛行器再入大氣層時(shí)，受力情況如圖3所示。圖中，Cx表示氣動(dòng)阻力;Cy表示氣動(dòng)升力;FG表示地球?qū)︼w行器的萬(wàn)有引力;ˉFS表示飛行器發(fā)動(dòng)機(jī)推力。

圖3 高超聲速臨近空間飛行器再入段受力分析

由牛頓力學(xué)知識(shí)可得，高超聲速臨近空間飛行器所受合力FH為:

3.3 再入瞬間受力分析

圖4 再入瞬間受力分析

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量表示式為:

此式只在飛行器碰撞大氣層瞬間成立。

4 仿真算例與結(jié)果分析

4.1 仿真條件及參數(shù)

以高超聲速再入滑翔臨近空間飛行器為仿真對(duì)象，飛行器參數(shù)采用美國(guó)的空天試驗(yàn)機(jī)X-33的數(shù)據(jù)［9］，質(zhì)量為900 kg，迎角和航跡偏航角分別為 20°和8.5°;仿真計(jì)算取再入點(diǎn)初始速度7 km/s，高度30 km，再入角－2°;設(shè)熱流密度、動(dòng)壓和過(guò)載約束分別為2 000 kW/m2，500 kPa和4;要求終端高度為30 km，Ma ＞6;海平面大氣密度 ρ0=1.225 kg/m3，地球質(zhì)量、平均半徑和自轉(zhuǎn)角速度分別為5.98×1024kg，6 371.004 km 和 15(°)/h。

4.2 仿真結(jié)果及分析

經(jīng)過(guò)計(jì)算，飛行器軌道變化曲線如圖5所示。高超聲速臨近空間飛行器非開普勒軌道動(dòng)力學(xué)方程求解r所得軌道曲線與文獻(xiàn)［10］中的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程求解結(jié)果基本一致，從而說(shuō)明了非開普勒軌道機(jī)動(dòng)模型方程的正確性。

圖5 軌道曲線

不考慮慣性的影響，把飛行器看作剛性體，再入瞬間飛行器的加速度必定在一定值以上才能保證飛行器發(fā)生彈跳，從而實(shí)現(xiàn)高超聲速臨近空間飛行器無(wú)動(dòng)力非開普勒軌道彈跳式遠(yuǎn)距離常時(shí)間飛行。不考慮慣性影響飛行器的加速度曲線如圖6所示。

圖6 飛行器加速度曲線

飛行器向下運(yùn)動(dòng)，加速度由大逐漸變小，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到高度H=100 km時(shí)為再入瞬間，必須使fh≥8.99 m/s2，λ＜1，飛行器向上彈跳運(yùn)動(dòng)，使加速度發(fā)生跳轉(zhuǎn)，開始由小逐漸變大。飛行器向下運(yùn)動(dòng)，加速度由大逐漸變小，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到高度H=60 km時(shí)為再入瞬間，必須使fh≥9.10 m/s2，λ＜1，飛行器向上彈跳運(yùn)動(dòng)，使加速度發(fā)生跳轉(zhuǎn)開始由小逐漸變大。飛行器向下運(yùn)動(dòng)，加速度由大逐漸變小，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到高度H=30 km時(shí)為再入瞬間，必須使fh≥9.19 m/s2，λ＜1，飛行器向上彈跳運(yùn)動(dòng)，使加速度發(fā)生跳轉(zhuǎn)開始由小逐漸變大。

5 結(jié)束語(yǔ)

高超聲速臨近空間飛行器已經(jīng)成為當(dāng)今世界軍事較量和科學(xué)研究的熱點(diǎn)，涉及新材料、新飛行軌道動(dòng)力學(xué)、新熱防護(hù)等問(wèn)題。本文著重討論了高超聲速臨近空間飛行器非開普勒軌道彈跳飛行問(wèn)題，并利用非開普勒動(dòng)力學(xué)方程與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行了仿真對(duì)比，驗(yàn)證了非開普勒軌道動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，同時(shí)仿真結(jié)果證明了該方法的可行性。

［1］ 薛永江，李體方.臨近空間飛行器發(fā)展及關(guān)鍵技術(shù)分析［J］.飛航導(dǎo)彈，2011，(2):53-54.

［2］ Charles R M，Vincent LR.Preliminary X-43 flight test results［J］.Acta Astronautica，2005，57(28):266-276.

［3］ Charles R M，Vincent L R，Robert J S，et al.Hyper-X:foundation for future hypersonic launch vehicles［J］.Acta Astronautica，2005，57(28):614-622.

［4］ Mark C D，Terry W J.X-43A flight-test-determined aerodynamic force and moment characteristics at Mach 7.0［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2008，45(3):472-484.

［5］ 黃偉，羅世彬，王振國(guó).臨近空間高超聲速飛行器關(guān)鍵技術(shù)及展望［J］.宇航學(xué)報(bào)，2010，31(5):1260-1265.

［6］ 肖業(yè)倫.航空航天器運(yùn)動(dòng)的建模［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2003:75-76.

［7］ 陳記爭(zhēng)，袁建平，方群.航天器在推力作用下非開普勒運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模［C］//空間非開普勒軌道動(dòng)力學(xué)與控制專題研討會(huì).北京:裝備技術(shù)學(xué)院出版社，2008:53-54.

［8］ George H K.A navigation solution involving changes to course and speed ［J］.Navigation，1996，43(36):469-482.

［9］ Jason L S，David D，David W.Periodic optimal cruise of an atmospheric vehicle［J］.Journal of Guidance，1985，8(16):31-38.

［10］李菁菁，任章，黎科峰.高超聲速飛行器再入段的動(dòng)力學(xué)建模與仿真［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2009，21(2):534-537.