?海倫市第二中學(xué) 郭 媛

轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它蘊(yùn)涵著極其豐富的內(nèi)容，應(yīng)用非常廣泛.在解數(shù)學(xué)題時(shí)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可化繁為簡，把握解題的關(guān)鍵，突破解題的難點(diǎn)，探明解題的思路，獲得新穎、獨(dú)特的解題方法，從而提高解題的能力.可見，轉(zhuǎn)化思想確實(shí)是解題的一把靈巧的金鑰匙，現(xiàn)舉例說明如下.

一、一般問題特殊化

例1：方程（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18=0對任何實(shí)數(shù)m都有一個(gè)共同的實(shí)數(shù)解，試求這個(gè)實(shí)數(shù)解.

分析：本題應(yīng)抓住兩個(gè)關(guān)鍵詞：一是“任何實(shí)數(shù)”，二是“一個(gè)共同的解”，這樣就可以把一般問題轉(zhuǎn)化成特殊問題來解.

解：因?yàn)閙為任何實(shí)數(shù)，不妨取m=-1和m=0兩種情形，將m=-1代入原方程，得：2x2-18=0，

解這個(gè)方程，得：x=±3；

將m=0代入原方程，得：x4-3x3=0，

解這個(gè)方程，得：x=0或x=3.

因?yàn)檫@兩個(gè)方程只有公共解x=3，所以方程共同的實(shí)數(shù)解是x=3.

二、不等問題相等化

例2：已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，求滿足不等式的實(shí)數(shù)a、b、c的值.

分析：一個(gè)不等式，三個(gè)待定未知量，不免令人困惑，但仔細(xì)揣摩條件，變換思考角度，不難想到向相等方面轉(zhuǎn)化.

解：因?yàn)閍2+b2+c2+4≤ab+3b+2c可變形為：

所以a=1，b=2，c=1.

三、方程問題不等式化

例3：一個(gè)邊數(shù)是奇數(shù)的凸多邊形中，除兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為2 390°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

分析：此題如用方程解，難于下手，如根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理及內(nèi)角的取值范圍來，求邊數(shù)的取值范圍，可迎刃而解.

解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由于多邊形每個(gè)內(nèi)角大于0°且小于180°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得：2 390°＜（n-2）×180°＜2 390°+180°×2，

又因?yàn)閚是奇數(shù)，故n＝17，這個(gè)多邊形是17邊形.

四、函數(shù)問題方程化

例4：已知拋物線y=x2-5mx+4m2（m為常數(shù)），求證：此拋物線與x軸一定有交點(diǎn).

分析：要證拋物線與x軸有交點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化成證明一元二次方程一定有實(shí)數(shù)解的問題.

解：若x2-5mx+4m2=0，

則Δ=（-5m）2-16m2=9m2≥0，

即一元二次方程x2-5mx+4m2=0有實(shí)數(shù)解，

故知拋物線y=x2-5mx+4m2與x軸一定有交點(diǎn).

五、正面問題反面化

例 5：設(shè)三個(gè)二次方程 x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m-1）x2+2mx+m-1=0，它們中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求m的取值范圍.

分析：此題從正面入手，須要分多種情況進(jìn)行討論，運(yùn)算相當(dāng)繁冗，不如變換思考角度，從反面突破.

解：若三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根，則：

Δ1=（4m）2-4（4m2+2m+3）＜0，

Δ2=（2m+1）2-4m2＜0，

Δ3=4m2-4（m-1）2＜0.

所以符合題意的m的取值范圍為：

六、變量問題常量化

例6：解方程：x3+10x2+25x+4=0.

分析：這是關(guān)于x的三次方程，想通過降次解出x很不容易，若把常量a視為變量，把變量x視為常量，問題可迎刃而解.

解：把原方程變?yōu)椋簒×52+（2x2+1）×5+（x3-1）=0.

解關(guān)于5的一元二次方程得：