余 飛，王春華，胡 燕，尹晉文

（湖南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082）

由于超混沌系統(tǒng)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù)，相軌在更多方向上分離呈現(xiàn)更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，使得超混沌系統(tǒng)在混沌保密通信和混沌信息加密等方面具有潛在的應(yīng)用［1］.目前，超混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生與同步技術(shù)越來越受到研究者的關(guān)注而成為混沌研究的熱點(diǎn).自從R¨ossler［2］在1979年發(fā)現(xiàn)第1個(gè)超混沌系統(tǒng)以來，大量的超混沌系統(tǒng)相繼提出，如王光義等［3］通過在3階Lorenz系統(tǒng)中引入一個(gè)外加的狀態(tài)變量構(gòu)造了一個(gè)超混沌系統(tǒng).劉揚(yáng)正［4］在三維Lü系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加一維狀態(tài)構(gòu)建了一個(gè)四維超混沌Lü系統(tǒng).周平等［5］構(gòu)造了只包含一個(gè)非線性項(xiàng)的四維超混沌系統(tǒng).可以看出在所研究的眾多新超混沌系統(tǒng)中，由于非線性項(xiàng)的不同導(dǎo)致了系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的超混沌特性，多數(shù)研究的非線性項(xiàng)均為系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量的乘積，對(duì)于含有雙曲函數(shù)非線性項(xiàng)的系統(tǒng)是否會(huì)有同樣的超混沌現(xiàn)象，其動(dòng)力學(xué)行為特性目前尚未有研究.為此，本文在對(duì)這類自治系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)非線性特征主要依賴于一個(gè)非線性二次雙曲余弦項(xiàng)和一個(gè)非線性二次交叉項(xiàng).

Pecora和Carroll［6］在1990年首次提出了混沌同步的原理，由于混沌同步在物理學(xué)、信息科學(xué)以及保密通信等領(lǐng)域存在重要的應(yīng)用價(jià)值，幾十年以來人們對(duì)其進(jìn)行了廣泛深入的研究，并且提出了用以實(shí)現(xiàn)混沌同步的多種方法，如主動(dòng)和被動(dòng)控制法［7－8］、線性和非線性反饋控制同步法［9－10］、基于觀測(cè)器控制法［11］、滑?？刂品ǎ?2］、自適應(yīng)完全和反相同步方法［13］、Backstepping方法［14］、基于H∞控制器方法［15］和廣義函數(shù)投影同步方法［16］等.最近，文獻(xiàn)［5］提出了一種不刪除驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)非線性信息的混沌同步方法，并利用嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論證明了該混沌同步方法可行性，但是該方法只適用于2個(gè)同結(jié)構(gòu)的超混沌同步，對(duì)異結(jié)構(gòu)混沌同步會(huì)失效.本文通過對(duì)該方法的改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了2個(gè)異結(jié)構(gòu)的混沌同步，在同步過程中同樣保留了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的非線性特性，而且通過調(diào)整控制參數(shù)，可控制同步收斂速度，使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)能夠快速精確達(dá)到同步.

1 新的超混沌系統(tǒng)及其基本動(dòng)力學(xué)

超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述為：

式中：a，b，c，k∈R＋；x，y，z，w為狀態(tài)變量.與一般超混沌系統(tǒng)不同的是，系統(tǒng)（1）含有一個(gè)非線性二次雙曲余弦項(xiàng).當(dāng)a＝8，b＝16，c＝10，k＝6，初始條件為［0.2，1，0.8，2］T時(shí)，系統(tǒng)軌跡的三維相圖如圖1所示.該四維超混沌系統(tǒng)的4個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為l1＝0.325 5，l2＝0.121 6，l3＝0，l4＝－17.447 1，由此可以看出存在2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，表明該系統(tǒng)確實(shí)是超混沌系統(tǒng).由圖1可以看出，其吸引子結(jié)構(gòu)與現(xiàn)有已發(fā)表的論文中所提出的四維超混沌吸引子結(jié)構(gòu)完全不同，故本文提出的混沌或超混沌吸引子具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.

由方程組（1）可得：

圖1 超混沌吸引子相圖Fig.1 Phase portraits of hyperchaotic attractors

這意味著，當(dāng)t→∞時(shí)，包含系統(tǒng)軌線的每個(gè)體積元均以指數(shù)率－17收縮至零.因此，所有系統(tǒng)的軌跡最終漸近地運(yùn)動(dòng)到一個(gè)特定的零體積的極限集中，即固定在一個(gè)吸引子上.很明顯，該混沌系統(tǒng)具有z軸對(duì)稱性，即滿足（x，y，z，w）→（－x，－y，z，－w）的不變性.

系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)可以解下面代數(shù)方程求得：

很容易得出該系統(tǒng)有且僅有一個(gè)平衡點(diǎn)E（0，0，1／c，0），在該平衡點(diǎn)處對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行線性化，對(duì)應(yīng)的雅克比矩陣為：

特征方程為：

解得：

根據(jù)Routh－Hurwitz判據(jù)，有

當(dāng)滿足上述條件時(shí)，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E處是全局穩(wěn)定的.圖2為系統(tǒng)（1）的頻譜，由圖可知存在連續(xù)的寬頻帶特性.圖3為在不同平面上所得到的Poin－care映射，可以看出Poincare映射圖在一個(gè)固定區(qū)域內(nèi)存在很多離散的、具有分層結(jié)構(gòu)的點(diǎn).

圖2 log的頻譜Fig.2 Spectrum map of log

圖3 Poincare映射Fig.3 Poincare maps in planes where

2 超混沌系統(tǒng)（1）同步研究

將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)用下面形式表示：

式中：A，B分別為驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)中的線性項(xiàng)系數(shù)矩陣，且A≠B為異結(jié)構(gòu)同步；F1（X1），F(xiàn)2（X2）分別為驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)；U（X1，X2）為控制項(xiàng)，其表達(dá)式為：

式中：DF1（X1），DF2（X1）分別對(duì)應(yīng)于F1（X1），F(xiàn)2（X1）的Jacobi矩陣；C為待定矩陣；e為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)誤差向量（假設(shè)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的最高階為n階）.

由式（4）～式（7）可得誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程為：

將所有響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量X2用驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量X1和誤差變量e表示，則式（8）的后2項(xiàng)將只剩下含有誤差變量ei（i＝1，…，n）的項(xiàng).此時(shí)，ei＝0（i＝1，…，n）是誤差系統(tǒng)（8）的平衡點(diǎn)，誤差系統(tǒng)（8）在平衡點(diǎn)ei＝0（i＝1，…，n）處的Jacobi矩陣為A＋C.如果矩陣A＋C的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以達(dá)到同步.此外，改變矩陣C，可以調(diào)節(jié)同步收斂時(shí)間，從而獲得最佳同步效果.

這里我們選取超混沌系統(tǒng)（1）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型重新描述為：

響應(yīng)系統(tǒng)選取作者最近提出的一個(gè)具有完全四翼形式的四維混沌系統(tǒng)［17］，其數(shù)學(xué)模型描述為：

式中：m，f，g，h，p∈R，當(dāng)m＝8，f＝12，g＝60，h＝4和p＝5時(shí)，系統(tǒng)吸引子具有完全四翼形式.

把驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)寫成向量形式，則驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)分別為：

可得：

計(jì)算F1（X1），F(xiàn)2（X1）的Jacobi矩陣DF1（X1），DF2（X1），分別為：

這里取待定矩陣

式中：k1，k2，k3，k4分別為控制系數(shù)，用來控制同步收斂的速度，需要選擇合適的k1，k2，k3，k4使A＋C的所有特征值具有負(fù)實(shí)部.

由式（6）可得如式（16）的控制器，將式（16）代入式（8）可得如式（17）的誤差動(dòng)力學(xué)方程.顯然ei＝0是誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（17）的平衡點(diǎn)，誤差系統(tǒng)在平衡點(diǎn)ei＝0處的Jacobi矩陣為A＋C.

此外，誤差系統(tǒng)（17）中含有驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的雙曲余弦非線性項(xiàng)，從圖4可以看出，其差值隨時(shí)間變化趨向于零，故這一項(xiàng)并不影響誤差系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的Jacobi矩陣，只要滿足k1＜a，k2＜－1，k3＜c和k4＜0.由于矩陣A＋C的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，所以平衡點(diǎn)ei＝0是誤差系統(tǒng)（17）的漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，故有成立，從而響應(yīng)系統(tǒng)（10）和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

（9）可以達(dá)到全局漸進(jìn)同步.

圖4 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)差值隨時(shí)間變化的曲線Fig.4 Curve of the difference of nonlinear term in the drive system with respect to time

為了驗(yàn)證該方法的有效性，采用4階龍格－庫塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)初始值為X1（0）＝［0.2，1，0.8，2 ］T，系統(tǒng)參數(shù)為a＝8，b＝16，c＝10，k＝6；響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)初始值為X2（0）＝［2，1，1，2 ］T，系統(tǒng)參數(shù)為m＝8，f＝12，g＝60，h＝4，p＝5，此時(shí)2個(gè)系統(tǒng)分別處于超混沌和混沌狀態(tài).當(dāng)控制系數(shù)k1＝7，k2＝－2，k3＝9，k4＝－1時(shí)，圖5為其同步誤差曲線，同步時(shí)間約為5s；當(dāng)其控制系數(shù)k1＝－1，k2＝－2，k3＝－1，k4＝－1時(shí)，圖6為其同步誤差曲線，同步時(shí)間約為4s.由此可知，這種同步方法不但實(shí)現(xiàn)了異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步，而且在同步過程中保留了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的非線性特性.同時(shí)，通過調(diào)節(jié)控制系數(shù)，可提高同步收斂速度，使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)能夠快速精確達(dá)到同步.

圖5 當(dāng)k1＝7，k2＝－2，k3＝9，k4＝－1時(shí)的同步誤差曲線Fig.5 Curves of synchronization errors when k1＝7，k2＝－2，k3＝9，k4＝－1

圖6 當(dāng)k1＝－1，k2＝－2，k3＝－1，k4＝－1時(shí)的同步誤差曲線Fig.6 Curves of synchronization errors when k1＝－1，k2＝－2，k3＝－1，k4＝－1

3 結(jié) 論

提出了一個(gè)含有雙曲函數(shù)非線性項(xiàng)的四維超混沌系統(tǒng)，通過對(duì)該系統(tǒng)的一些基本動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行數(shù)值模擬和理論分析發(fā)現(xiàn)，此超混沌系統(tǒng)在參數(shù)變化時(shí)具有混沌和超混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，為應(yīng)用于保密通信等領(lǐng)域提供了選擇.同時(shí)本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，給出了一個(gè)不刪除驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)非線性項(xiàng)的異結(jié)構(gòu)混沌同步方法，并給予了嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明.數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析的一致性表明了該改進(jìn)的同步方法的有效性和可行性.

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