易秀英 王三寶

(湖北理工學(xué)院師范學(xué)院，湖北黃石435003)

0 引言

大多數(shù)投資者進(jìn)行投資組合時考慮2 個目標(biāo):一是獲得較高利潤;二是承擔(dān)較低風(fēng)險。處理這 2 個目標(biāo)問題最常用的方法是Markowitz 法。1952年，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家、金融學(xué)家、諾貝爾獎獲得者哈里·馬科維茨(Harry Markowitz)的“資產(chǎn)組合選擇”一文發(fā)表，標(biāo)志著現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的誕生。該文創(chuàng)立了用風(fēng)險資產(chǎn)的收益與風(fēng)險之間的關(guān)系來討論不確定性經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中最優(yōu)投資組合的選擇問題，其核心是均值－方差準(zhǔn)則，即M/V 準(zhǔn)則。

證券投資組合是投資者對各種證券資產(chǎn)的選擇而形成的投資組合。由于證券投資收入受到多種因素的影響而具有不確性，人們在投資過程中往往通過分散投資的方法來規(guī)避投資中的系統(tǒng)性風(fēng)險和非系統(tǒng)性風(fēng)險，實現(xiàn)投資效用的最大化。

證券投資是投資者比較普遍的行為，其未來收益也是不確定的，證券投資收益的不確定性成為證券投資的風(fēng)險，風(fēng)險的大小取決于不確定性方面的客觀和個人主觀方面因素，實際度量風(fēng)險時我們僅考慮證券本身的收益不確定性，在此背景下，投資環(huán)境和Markowitz 的投資組合理論為投資者提供了決策指導(dǎo)。

1 Markowitz 均值－方差模型

設(shè)一個投資組合具有n 個證券，對于給定的持有期，其平均收益率分別為R1，R2，…，Rn，投資組合的期望收益率為。投資者面臨的一個重要問題是如何對每個證券分配適當(dāng)?shù)耐顿Y權(quán)重wi(i =1，2，…，n)，從而使投資者能夠達(dá)到收益較高同時風(fēng)險較低的投資目標(biāo)。用方差σi反映第i 個證券的風(fēng)險，協(xié)方差σij反映第i 個證券與第j 個證券的線性相關(guān)程度(i，j = 1，2，…，n)，則方差反映了投資組合的風(fēng)險［1］。

1.1 投資環(huán)境假設(shè)

現(xiàn)給定如下假設(shè):

1)證券市場是有效的，證券的價格反映了證券的內(nèi)在價值，每個投資者都掌握了充分的信息，了解每種證券的期望收益率及標(biāo)準(zhǔn)差，不存在交易費(fèi)用和稅收，投資者都是價格接受者，證券是無限可分的，必要的話可以購買部分股權(quán)。

2)投資者是厭惡風(fēng)險的。

3)投資者將基于收益的均值和標(biāo)準(zhǔn)差或方差來選擇最優(yōu)投資組合，如果要他們選擇風(fēng)險(方差)較高的方案，他們都要求有額外的收益作為補(bǔ)償。

4)所有wi是非負(fù)的，即不允許買空與賣空。

1.2 投資策略模型

為使投資組合達(dá)到一定收益率水平且風(fēng)險最小化，采用如下有約束條件的非線性規(guī)劃模型(Markowitz 均值－方差模型)［2］:

1.3 情境法

投資組合優(yōu)化問題中的一個重要問題是評價作為決策工具的數(shù)學(xué)模型是否有效，然而模型的有效性又與模型求解所需的數(shù)據(jù)以及生成這些數(shù)據(jù)的方法有著密切的關(guān)系，這些生成數(shù)據(jù)的方法被稱為情境生成方法。本文主要討論的是歷史數(shù)據(jù)法，由于不需要對收益分布函數(shù)進(jìn)行任何假設(shè)，并且簡單易行，歷史數(shù)據(jù)法在情境生成時得到了廣泛的應(yīng)用。這一方法基于假設(shè)“歷史數(shù)據(jù)有可能是未來情境的表現(xiàn)”，并且通常情況下假設(shè)每種情境都可能發(fā)生，這種方法保持收益率的歷史均值和方差不變，其缺點是當(dāng)前價格的未來變化與歷史觀察不同時，就不能準(zhǔn)確反映未來收益率的變化，同時由于歷史數(shù)據(jù)的可得性，對于情境生成的樣本數(shù)量有所限制［3－4］。

2 仿真與實證

2.1 實證

基于情境法，我們采擷了2005年8 月至2010年9 月60 個月的收益率數(shù)據(jù)(表1)，考察廣電電子(gddz)、盤江股份(pjgf)和長電科技(cdkj)3 只股票。參考當(dāng)時我國2005年－2007年紙質(zhì)憑證式國債，其利率在3.8%左右。購買這類國債不失為一種既安全、又靈活、收益適中的投資方式，它是集國債和儲蓄的優(yōu)點為一體的投資品種，可作為無風(fēng)險資產(chǎn)投資。

仿真基于均勻分布，在Mathematica7.0 環(huán)境下，按以下步驟進(jìn)行:

1)假設(shè)12 個月中的每一個月成為上述60 個月之一的概率相等，對每只股票生成12個月的月投資收益率，計算其年度投資平均收益率(以2005.8.30 為基準(zhǔn)價);年度投資平均收益率= (年末價格－年初價格)/年初價格，年初價格即第1 月初價格，年末價格即第12 月末價格。

2)對每只股票生成1 000 個次年(2011年)年度投資平均收益率的樣本。

生成1 000個樣本后的年度投資平均收益率算法如圖1所示。

圖1 生成1 000 個樣本后的年度招資平均收益率算法程序

仿真過程將生成次年投資各股票的年度期望收益率(表2)、風(fēng)險(方差)－年度期望收益率(表3)及其散點圖(圖2)等。其中表3的結(jié)果來自于式(1)，在Mathematica7.0 環(huán)境下［5］，依照微分進(jìn)化算法，對Markowitz 均值－方差模型實施有約束條件的非線性規(guī)劃問題求解而得到，結(jié)果如下:

表1 2005.8.30－2010.9.30 3 只股票60 個月的月收益率

表2 年度期望收益率

表3 風(fēng)險－年度期望收益率

圖2 加入無風(fēng)險資產(chǎn)后投資組合的方差－年度期望收益率散點圖

2.2 仿真分析

表3 和圖2 顯示，投資組合的期望收益率越高，其風(fēng)險越大，高收益對應(yīng)高風(fēng)險。在這3 只股票中，按表3 中的第12 個或第13 個方案進(jìn)行投資組合，將投資比例向量分別確定為{0.34，0.22，0.44}或{0.32，0.25，0.43}，這時其風(fēng)險分別約為0.569 6 和0.579 9，風(fēng)險和收益相當(dāng)。在其他情形下，投資者都將承擔(dān)較大風(fēng)險。顯然這3 只股票是高風(fēng)險和高收益的品種。

首先，從表3 的計算過程得知:組合投資可以將風(fēng)險分散，單個資產(chǎn)風(fēng)險會在組合風(fēng)險分散的效力下消失，不同股票間的相關(guān)系數(shù)是進(jìn)行投資組合應(yīng)考慮的主要因素。

我們不妨構(gòu)建一個等比例的資產(chǎn)組合，即每一資產(chǎn)有平均的權(quán)重wi= 1/n，則組合的方差為:。式中第1 項是各項資產(chǎn)自身方差項對組合風(fēng)險的貢獻(xiàn)，它反映了每一資產(chǎn)本身的風(fēng)險狀況對資產(chǎn)組合風(fēng)險的影響;第2 項是各項資產(chǎn)間的相互作用，即協(xié)方差項對組合風(fēng)險的貢獻(xiàn)。

考慮分散化的影響。當(dāng)n 足夠大時，第1項趨近于0，第2 項接近于平均協(xié)方差，即組合風(fēng)險只包含了平均協(xié)方差。這表明資產(chǎn)特定風(fēng)險可以被分散掉，也就是說，組合風(fēng)險分散所能達(dá)到的最低風(fēng)險是組合內(nèi)所有資產(chǎn)的平均協(xié)方差，個別資產(chǎn)的總風(fēng)險將會在組合風(fēng)險分散的效力下消失，最重要的是考慮不同資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)。

其次，由式(1)可知，每項資產(chǎn)投資的比例、方差以及它們之間的相關(guān)系數(shù)都會影響到整個投資組合的風(fēng)險。如果假定投資組合的期望收益為一常數(shù)，資產(chǎn)之間的相關(guān)性大小將會直接影響其組合風(fēng)險。在式(1)中，不妨假定n =2，固定收益為rp，則風(fēng)險為:

當(dāng)w1確定，由此可推斷:投資組合的期望收益確定后，當(dāng)投資比例一定時，資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)越小，組合風(fēng)險也越小。從而利用相關(guān)性小的資產(chǎn)進(jìn)行投資組合是降低投資組合風(fēng)險的有效途徑之一。

最后，另外一個降低風(fēng)險的途徑是考慮將無風(fēng)險資產(chǎn)組合進(jìn)來。

事實上，假定風(fēng)險資產(chǎn)組合的收益率為rp，期望收益率為E(rp)，標(biāo)準(zhǔn)差為σp，無風(fēng)險資產(chǎn)收益率為rf，并假定E(rp)－rf＞0，風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)重為W，則無風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)重為(1－W)，記這樣的一個組合為C，則其期望收益率與風(fēng)險如下:

由式(2)顯然有:σc＜σp

其中式(4)由圖1 中的AB 直線所示，我們稱其為資本配置線［6］，A 點代表風(fēng)險資產(chǎn)，它是連接rf點(即B 點)和A 點的直線方程，也表示了投資者對風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)任一分配比例所構(gòu)成的組合，一定位于這條直線上;反之，資本配置線上的任何一點都代表了某一特定分配比例的風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)的組合。

加入無風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)行組合，對風(fēng)險和期望收益都有所降低。另外，我們還看到，資本配置線的截距為無風(fēng)險資產(chǎn)的 rf，斜率為，它表示每增加一個單位的標(biāo)準(zhǔn)差會增加的期望收益率，此值越大，意味著直線越陡，即增加單位風(fēng)險可以增加更多的期望收益，這可理解為資產(chǎn)配置線與風(fēng)險資產(chǎn)投資組合的方差－年度期望收益率散點圖形成的曲線相切，切點A 與rf點(或B 點)的連線理論上應(yīng)是風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)所有可行的風(fēng)險收益最佳組合。

另外，選取較多的投資品種進(jìn)行組合，也是降低風(fēng)險的途徑之一。

3 結(jié)論

仿真與實證表明，運(yùn)用Markowitz 投資組合理論進(jìn)行投資組合時應(yīng)注意以下幾點:

1)考慮組合投資將風(fēng)險分散時，單個資產(chǎn)風(fēng)險將會在組合風(fēng)險分散的效力下消失，考慮最重要的因素是不同股票間的相關(guān)系數(shù)。

2)當(dāng)相關(guān)性一定時，投資比例影響資產(chǎn)組合的風(fēng)險。

3)當(dāng)投資比例一定時，資產(chǎn)之間的相關(guān)性越小，其組合的風(fēng)險也越小。

4)約束條件和假設(shè)條件與市場實際情況有時不符。如極端價格變化、股市崩盤和數(shù)據(jù)分布的正態(tài)特性等，容易產(chǎn)生錯誤的分析結(jié)果。

5)應(yīng)對考察期內(nèi)的缺失值進(jìn)行適當(dāng)處理。

此外，達(dá)到最佳分散風(fēng)險的經(jīng)濟(jì)利益以及一個風(fēng)險分散良好的組合，需考慮分散風(fēng)險的邊際利益和分散風(fēng)險的邊際成本，這要由投資者的風(fēng)險厭惡指數(shù)大小而定。

［1］Edwin J E，Martin J G.Modern Portfolio theory and investment analysis［M］.New York:John Wiley ＆ Sons Inc，1991:375－388

［2］唐萬生，梁建峰，韓其恒.組合證券投資的概率準(zhǔn)則模型［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2004，19 (2):193－197

［3］(美)溫斯頓.運(yùn)籌學(xué)概率模型應(yīng)用范例與解法［M］.4 版.李乃文，崔群法，林細(xì)財，等，譯.北京:清華大學(xué)出版社，2006:611－615

［4］王貞，劉三陽，孔翔宇.投資組合優(yōu)化問題情景生成方法的比較［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，47(3):96－99

［5］丁大正.科學(xué)計算強(qiáng)檔Mathematica 4 教程［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2002:180－200

［6］孫伍琴，王朝暉，熊樂星.證券投資學(xué)［M］.上海:立信會計出版社，2008:200－220