丁昌春，吳明官，姬忠光

(黑龍江省水利水電勘測設(shè)計(jì)研究院，哈爾濱150080)

1 問題的提出

每個(gè)社會(huì)成員或集體等單位，當(dāng)一次性貸款(F)后，在銀行規(guī)定的還貸期限(m=n×t)內(nèi)，按指定的計(jì)息周期(1/t=日、月、季、年等)、利率(i=r/t)，等額還款的情況下，如何計(jì)算還貸本息，直接影響到各單位和個(gè)人的切身利益。即在一次性貸款后，具體的還款方式對還貸者具有較大的影響，如:等額本息(A)還款、等額本金(F/m)還款、單利法、復(fù)利法、時(shí)段末結(jié)算、時(shí)段中結(jié)算等。

在水利工程經(jīng)濟(jì)評價(jià)中，為了弄清不同還款方式對還貸者帶來的具體影響，詳細(xì)推導(dǎo)了單利法、復(fù)利法還貸計(jì)算公式及相互關(guān)系等，目的是方便廣大還款者事先主動(dòng)了解和掌握不同貸款前提條件及各種方法之間的差別等有關(guān)內(nèi)容。

1.1 等額本息還款

根據(jù)等額本息還款方法，分析逐年的本利和Ek表達(dá)式如下:

1.2 等額本金還貸

根據(jù)等額本金還款方法，分析逐時(shí)段還貸利息Sk表達(dá)式如下:

2 單利法還貸利息計(jì)算公式

從上述等額本金還貸利息Sk表達(dá)式中可以看出，當(dāng)不考慮復(fù)利(利息再取利息)的情況下，單利法等額本金還貸利息總額計(jì)算公式推導(dǎo)過程如下:

公式(2)就是單利法等額本金還貸利息總額計(jì)算公式，該法的計(jì)算公式比較簡單易用，故直接采用即可。

3 復(fù)利法還貸計(jì)算公式

3.1 等額本息還款額計(jì)算

3.1.1 時(shí)段末結(jié)算

從上述等額本息還款Ek表達(dá)式中可以看出，當(dāng)考慮時(shí)段末結(jié)算的情況下，復(fù)利法等額本息還款額(A)計(jì)算公式推導(dǎo)過程如下:

式(4)就是目前我國銀行系統(tǒng)給購房者放貸中，最常用的年等額本息還款額(A)的計(jì)算公式。

由式(4)求得年等額本息還款額A的基礎(chǔ)上，計(jì)算本利和E、不同計(jì)息周期(1/t=日、月、季、年等)相應(yīng)的平均還款額P。

方法1:平均法

式(7)就是在先求得時(shí)段長為年的還貸本息情況下，還貸期內(nèi)平均等額本息還款的計(jì)算方法，簡稱:平均法。

方法2:直接法

式(8)就是在一年計(jì)息t次的情況下，目前銀行系統(tǒng)常用的等額本息還款的計(jì)算方法，簡稱:直接法。

3.1.2 時(shí)段中結(jié)算

從上述等額本息還款的本利和Ek表達(dá)式中可以看出，當(dāng)考慮時(shí)段中結(jié)算的情況下，復(fù)利法等額本息還款額(A°)計(jì)算公式推導(dǎo)過程如下:

由式(5)代入式(11)得:

式(12)就是時(shí)段中結(jié)算的等額本息還款額(A°)的計(jì)算公式。

3.1.3 等額本息還款時(shí)機(jī)成果比較

因此，式(13)和式(14)就是時(shí)段中結(jié)算的年等額本息還款額(A°)和時(shí)段末結(jié)算的年等額本息還款額(A)關(guān)系式。

因?yàn)椋?1+r)/(1+r/2)＞1，所以，年等額本息還款額計(jì)算成果，時(shí)段末(A)大于時(shí)段中(A°)成果。

3.2 等額本金還貸計(jì)算

從上述等額本金還貸利息Sk表達(dá)式中可以看出，當(dāng)考慮復(fù)利(利息再取利息)的情況下，還貸利息總額計(jì)算較復(fù)雜，具體的推導(dǎo)過程如下:

由式(4)代入式(15)得:

因?yàn)椋?/p>

所以，

由式(18)代入式(17)得:

式中:Sm=(F－(m－1)/mF)i+Sm－1i=F(1－(m－1)/m)i+Sm－1i

式(20)和式(4)代入式(19)得:

公式(21)就是等額本金復(fù)利法還貸利息總額計(jì)算公式。

由式(21)求得等額本金還貸利息總額S的基礎(chǔ)上，計(jì)算本利和E、不同計(jì)息周期(1/t=日、月、季、年等)相應(yīng)的平均還款額P。

3.3 等額本金還貸復(fù)利法近似公式

由于復(fù)利法等額本金還貸利息總額計(jì)算公式較復(fù)雜，故通過分析復(fù)利法和單利法的關(guān)系，推導(dǎo)出復(fù)利法簡化后的近似公式。

復(fù)利法S≈A單利法≈AX

又從式(24)可以看出，若還貸計(jì)息周期取月(m=年數(shù)n×12)、日(m=年數(shù)n×365)時(shí)，m值很大，即2i/m/(m+ 1)/(1－i)2≈0，則復(fù)利法簡化后的近似公式如下:

式(24)和式(25)就是時(shí)段末結(jié)算的復(fù)利法等額本金還貸利息總額簡化的近似公式。

當(dāng)i=r/t，m=nt時(shí)，由式(25)得:

當(dāng)t→∞時(shí)，對式(26)求極限后得:

式(27)就是計(jì)息周期(1/t)趨近于零時(shí)，時(shí)段末結(jié)算的復(fù)利法等額本金還貸利息總額計(jì)算公式。

4 分析與討論

4.1 計(jì)息周期

若計(jì)息周期為(1/t)(即1 a計(jì)息t次)，則E=F(1+r)n就要修改為:

4.2 等額本金還款

一次性貸款后，等額本金還款的時(shí)機(jī)，對還貸利息總額也有一定的差別，即規(guī)定時(shí)段內(nèi)，可以取時(shí)段末、時(shí)段中。

4.2.1 單利法

從上述等額本金還貸利息Sk表達(dá)式中可以看出，當(dāng)不考慮復(fù)利(利息再取利息)的情況下，時(shí)段中結(jié)算的單利法等額本金還貸利息總額計(jì)算公式推導(dǎo)過程如下:

4.2.2 復(fù)利法

同樣可以推求時(shí)段中結(jié)算的復(fù)利法等額本金還貸利息總額計(jì)算公式如下:

S°≈(1－2i/m/(m+1)/(1－i)2)/(1－i)X°(31)

4.2.3 等額本金還款時(shí)機(jī)成果比較

公式(30)就是計(jì)息周期內(nèi)時(shí)段中結(jié)算的單利法等額本金還貸利息總額計(jì)算公式(X°=Fim/2)，與時(shí)段末結(jié)算的單利法等額本金還貸利息總額計(jì)算公式(X=Fi(m+ 1)/2)，比較(X－X°=Fi(m+1)/2－Fim/2=Fi/2)或( X/X°=Fi(m+1)/2/Fim/2=1+1/m)結(jié)果，時(shí)段末結(jié)算的單利法等額本金還貸利息總額X比時(shí)段中結(jié)算的單利法等額本金還貸利息總額X°多Fi/2或比值為1+1/m，也就是差第一時(shí)段后半個(gè)時(shí)段的利息。公式(31)的分析結(jié)論(S/S° =Fi(m+1)/2/Fim/2=1+1/m)與公式(30)分析結(jié)果相同。

4.3 等額本息還款與等額本金還款的差別

一次性貸款額F=40萬元，在銀行規(guī)定的還貸期限(n =20年)內(nèi)，按指定的計(jì)息周期(1/t=1/12=月)、年利率(r =4.9%)，采用復(fù)利法等額還款、時(shí)段末結(jié)算的情況下，等額本息(A)還款和等額本金(F/m)還款的具體差別分析如下:

4.3.1 等額本息(A)還款

平均法:P=E/(n t)=63.650894萬元/(20×12)= 0.2652萬元/月。

直接法:P1=F(r/t)(1+r/t)nt/((1+r/t)nt－1)=40萬元×6.54444×10－3=0.26178萬元/月。

4.3.2 等額本金(F/m)還款

4.3.3 差別分析

因此，同樣采用復(fù)利法等額還款，但由于采用的等額不同，等額本息(A)還款和等額本金(F/m)還款的具體差別較大，從上述的例子可以看出，等額本息(A)還款與等額本金(F/m)還款的本利和E、每月的還款額P，分別差3.0672萬元、127.8元/月;相對差為5.13%，a=P1/P2=1.0513≈1 +r=1.049。

4.4 分析結(jié)論

由于等額還款時(shí)機(jī)，取時(shí)段末和時(shí)段中的還貸利息總額，時(shí)段末的大于時(shí)段中的成果;無論是取時(shí)段末或時(shí)段中的還貸利息總額，單利法小于復(fù)利法;等額本息還款和等額本金還款時(shí)，采用平均法還貸本息大于直接法計(jì)算成果，而且等額本息還款額大于等額本金還款額。因此，真正落實(shí)貸款時(shí)，還貸者角度看，盡量爭取時(shí)段中結(jié)算、單利法、直接法和等額本金還款的成果，更有利于還款者。

從計(jì)息周期分析成果中可以看出，存款者角度看，在確定存款額和年利率、存款年限、一次性還本付息的條件下，計(jì)息周期越小，本利和越大，越有利于存款者。

另外，從等額本息(A)還款與等額本金(F/m)還款的本利和E、每月的還款額P的差別分析成果中可以看出，目前我國銀行系統(tǒng)給購房者放貸時(shí)，為什么采用等額本息(A)還款方式，很顯然，在相同的貸款條件下，等額本息(A)還款比等額本金(F/m)還款方法，更有利于銀行。

5 算例

一次性貸款總額F=100萬元，銀行規(guī)定的還貸年限n =20 a，指定的年利率r=7.05%。分別計(jì)算規(guī)定時(shí)段取年、半年、季度、月、旬、日的等額還貸情況下的利息總額和平均每時(shí)段的還款額。具體成果詳見表1和表2即可。

以20 a還貸期限的100萬元，采用直接法放貸計(jì)算，按照每月均等的還款方式，年利率為7.05%時(shí)，月均還款額P，等額本金還款為7134元/月、等額本息還款為7 783元/月，相差649元/月;本利和E，等額本金還款為171.2122萬元、等額本息還款為186.792萬元，相差15.5798萬元，相對差為9.1%。

從表2中可以看出，復(fù)利法的普通公式和簡化公式，當(dāng)規(guī)定的時(shí)段縮小到月時(shí)，還貸利息總額非常接近;當(dāng)規(guī)定時(shí)段縮小到日時(shí)，復(fù)利法和單利法的還貸利息總額也很接近，相對差約0.2‰;當(dāng)規(guī)定時(shí)段繼續(xù)縮小到零時(shí)，復(fù)利法和單利法的還貸利息總額均等于S=X=nFr/2。

［1］吳恒安.財(cái)務(wù)評價(jià)、國民經(jīng)濟(jì)評價(jià)、社會(huì)評價(jià)、后評價(jià)理論與方法［M］.北京:中國水利水電出版社，1998.

表1 不同計(jì)息周期等額還款額計(jì)算成果比較表 萬元/t

表2 等額本金還貸利息總額計(jì)算成果對比表 萬元