夏洪星，李勇朝，張海林

1(南通師范高等?？茖W(xué)校 信息技術(shù)系，江蘇 南通 226300)

2(西安電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，西安 710071)

1 引 言

無線射頻能量可為能源受限的無線設(shè)備補(bǔ)充電能，從而延長無線網(wǎng)絡(luò)的使用壽命.這種能量的特點(diǎn)是可獲取率隨著能量收發(fā)機(jī)之間距離的增長而快速衰減.隨著大規(guī)模無線網(wǎng)絡(luò)，如5G標(biāo)準(zhǔn)小蜂窩網(wǎng)絡(luò)和移動車聯(lián)網(wǎng)的興起，能量收發(fā)機(jī)之間的距離越來越近.同時，隨著網(wǎng)絡(luò)密度的增大，干擾信號也可以作為一種能量來源進(jìn)行累加，提高了能量獲取率.基于此，本文分析大規(guī)模無線網(wǎng)絡(luò)中典型位置節(jié)點(diǎn)收集射頻能量的性能.

1.1 相關(guān)工作

目前，研究者主要采用隨機(jī)幾何工具分析大規(guī)模隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的能量收集性能.文獻(xiàn)[1]提出了一種供電塔和蜂窩基站共存的網(wǎng)絡(luò)模型，得出了在用戶上行中斷概率約束下用戶發(fā)射功率、基站密度、供電塔發(fā)射功率及分布密度之間的均衡分析.文獻(xiàn)[2]考慮了一種能量信息協(xié)同傳輸?shù)拇笠?guī)模無線網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)每個發(fā)射機(jī)有唯一的接收機(jī)，研究了平均收集能量和下行中斷概率約束下的發(fā)射機(jī)功率優(yōu)化問題.文獻(xiàn)[3]根據(jù)無線網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)部署時的空間排斥特性，采用Ginibre點(diǎn)過程對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模，得出平均射頻能量收集率是發(fā)射機(jī)密度的閉式函數(shù)，并分析了能量中斷概率.能量中斷包含兩種情況：一是收集能量不足以支持基本電路消耗的功率；二是收集能量可以支持通信但是速率達(dá)不到QoS要求.但文獻(xiàn)[3]沒有考慮接收機(jī)天線的輸入能量低于能量收集器啟動門限的情形.

文獻(xiàn)[4]研究了多層異構(gòu)信息能量同傳網(wǎng)絡(luò)中的能量收集性能和上行傳輸覆蓋率.雖然該工作得到了收集能量的累積分布函數(shù)(CDF)的積分表達(dá)式，但僅考慮了2維空間模型，不能直觀地?cái)U(kuò)展到多維空間.此外，該文獻(xiàn)沒有考慮能量收集電路敏感性的問題.文獻(xiàn)[5]首次提出有效能量收集概率的概念并應(yīng)用于2維小蜂窩網(wǎng)絡(luò)模型，但沒有得出平均可收集能量.本文將該工作拓展到多維空間模型，并提出新的能量收集性能指標(biāo).

1.2 主要貢獻(xiàn)及文章組織

本文采用多維隨機(jī)泊松點(diǎn)過程(Poisson Point Process，PPP)對傳輸節(jié)點(diǎn)進(jìn)行建模，而不僅局限于常見的2維網(wǎng)絡(luò).優(yōu)點(diǎn)是將得到一個形式統(tǒng)一的分析框架，可將分析結(jié)果同時應(yīng)用于1維隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)(如車聯(lián)網(wǎng))，2維隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)(如LTE-A小蜂窩網(wǎng)絡(luò))和3維隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)(如3D無線傳感器網(wǎng)絡(luò)，城市建筑群內(nèi)的Wi-Fi熱點(diǎn))等.

此外，本文還將考慮能量采集電路的敏感性對收集性能的影響.這一點(diǎn)尚未被其他學(xué)者充分考慮.敏感性是指僅當(dāng)接收機(jī)天線的輸入能量高于某一門限值時，這些能量才會被轉(zhuǎn)化成直流功率信號存儲到電池或者超級電容中，否則換能器將無法啟動(或轉(zhuǎn)換效率太低達(dá)不到能效要求).一般而言，信息譯碼所需信號功率水平在-60dBm左右即可.而能量收集器啟動所需信號功率在-10dBm左右[6].隨著射頻能量收集電路的不斷發(fā)展，收集功率門限有一定降低.文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種利用移動終端發(fā)射的2.4GHz Wi-Fi信號為可穿戴設(shè)備充電的方案，收集器要求輸入功率至少達(dá)到-16dBm以上.文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了采集蜂窩網(wǎng)絡(luò)738MHz頻段能量的收集器，要求至少-18dBm的輸入功率.雖然能量收集門限有一定降低，但仍然遠(yuǎn)高于信息譯碼所需功率.因此在計(jì)算節(jié)點(diǎn)可用射頻能量時，必須考慮能量收集門限約束條件.否則，會造成對可用能量的過高估計(jì)，從而影響無線供電通信系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì).

本文用泊松點(diǎn)過程對d維大規(guī)模無線輸能網(wǎng)絡(luò)中的發(fā)射機(jī)和接收機(jī)進(jìn)行建模，采用有界路徑損耗模型和瑞利小尺度衰落進(jìn)行信道建模，利用隨機(jī)幾何工具分析了實(shí)際可收集能量的性能.本文主要貢獻(xiàn)如下：

1)考慮實(shí)際能量收集器件的敏感程度，提出有效能量收集概率和平均可用能量這兩個新的性能量度，分別表征大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中射頻能量的充電概率和平均充電效率.給出了這兩個指標(biāo)的數(shù)值計(jì)算方法，得到維度和路損指數(shù)之比為0.5時的閉合表達(dá)式.

2)得到d維隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中接收機(jī)到達(dá)功率分布函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式，這一結(jié)果可同時用于一維、二維和三維大規(guī)模隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，可在車聯(lián)網(wǎng)無線輸能和3-D無線傳感器網(wǎng)絡(luò)能量收集等方面得到應(yīng)用.

3)本文研究結(jié)果表明，對于高密集隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)或者低敏感度的能量收集器，收集門限將產(chǎn)生較大的影響：包括對充電概率和平均可用能量的過高估計(jì).

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第2部分描述了系統(tǒng)模型并提出兩個性能指標(biāo)：有效能量收集概率和平均可收集能量.第3部分則利用拉普拉斯變換方法得到了接收機(jī)到達(dá)能量的分布.第4部分得到了所提出性能指標(biāo)的計(jì)算方法和閉式上界，通過仿真驗(yàn)證了結(jié)果.第5部分對本文做了總結(jié).

符號約定：符號E[X]表示隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)平均.符號P(A)表示事件A發(fā)生的概率.‖x‖表示坐標(biāo)x到原點(diǎn)的歐氏距離.

2 系統(tǒng)模型和性能指標(biāo)

2.1 系統(tǒng)模型

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中接收機(jī)Rx的位置y服從d維均勻泊松點(diǎn)分布Φr(λr)，即y∈Φr.發(fā)射機(jī)Tx的位置x服從d維均勻泊松點(diǎn)分布Φt(λt)，即x∈Φt.λr和λt分別為接收機(jī)和發(fā)射機(jī)的分布密度.坐標(biāo)x和y為d維向量，為描述方便，本文可能直接用坐標(biāo)x,y代表收發(fā)機(jī)本身.網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示.根據(jù)Palm定理，均勻泊松點(diǎn)過程中任意一點(diǎn)觀察到的點(diǎn)分布均相同[9].不失一般性，本文假設(shè)坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)為典型能量接收機(jī)所在位置，即典型接收機(jī)的坐標(biāo)為y=o.

圖1 網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)模擬，λt=5×10-5/m2,λr=1×10-4/m2Fig.1 Simulation of network with λt=5×10-5/m2,λr=1×10-4/m2

根據(jù)Friis公式，自由空間中的發(fā)射機(jī)D處天線的接收功率為[10]：

(1)

其中Pt為發(fā)射功率，Pr(r)為接收功率，D為T-R距離，L≥1為系統(tǒng)損耗因子，Λ為波長.為了簡化表達(dá)式，本文將除距離函數(shù)以外的所有因子歸納為等效發(fā)射功率Pet，即Pet=PtGtGrΛ2/(4π)2L；考慮到實(shí)際環(huán)境，將路徑損耗指數(shù)修正為α(α>2)；同時考慮小尺度衰落對接收功率的影響，得到發(fā)射機(jī)x對典型位置接收功率的貢獻(xiàn)為：

Pr(‖x‖)=Pet,xhx‖x‖-α

(2)

其中，‖x‖為點(diǎn)x到原點(diǎn)的歐氏距離；hx表示信道衰落系數(shù).由于發(fā)射機(jī)位置是隨機(jī)分布的，有可能出現(xiàn)‖x‖<1的情況.這會導(dǎo)致接收功率大于發(fā)射機(jī)功率，違反了能量守恒定律.為了避免這一情況的發(fā)生，本文采用如下有界路徑損耗模型[11]：

(‖x‖)=min(1,‖x‖-α)

(3)

則發(fā)射機(jī)x發(fā)出的信號在原點(diǎn)處的接收功率為：

Pr,x(‖x‖)=Pet,xhx(‖x‖).

(4)

整個大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)所有發(fā)射機(jī)發(fā)出信號在原點(diǎn)處的累積接收功率為：

(5)

為簡化分析，本文假設(shè)所有發(fā)射機(jī)的等效發(fā)射功率相同，即Pet,x=Pet.同時設(shè)所有無線信道服從均值為1的獨(dú)立瑞利衰落.則考慮發(fā)射功率后的等價(jià)信道衰落系數(shù)h=Pethx服從均值為Pet的瑞利分布，即h～Exp(1/Pet).根據(jù)以上假設(shè)，將(5)改寫為：

(6)

2.2 有效能量收集概率

定義1.有效能量收集概率(Effective Energy Harvesting Probability(EEHP))：能量收集器的接收功率超過收集門限Θ的概率.即，

Pech=P(PH≥Θ)=1-FPH(Θ).

(7)

其中，F(xiàn)PH(x)是接收功率的累積分布函數(shù).

對于大規(guī)模隨機(jī)分布的接收機(jī)而言，EEHP可以認(rèn)為是某次網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)中可充電的接收機(jī)在所有接收機(jī)中所占比例.也可理解為某個確定的接收機(jī)在一段較長時間內(nèi)可充電的概率(假設(shè)活動發(fā)射機(jī)位置隨機(jī)分布).

2.3 平均可收集能量

定義2.平均可收集能量(Average Harvestable Energy (AHE))： 可被能量收集器利用的平均射頻功率.即，

(8)

其中，fPH(x)是到達(dá)功率的概率密度函數(shù)，η(x)為輸入功率為x時的能量轉(zhuǎn)化效率.

AHE可認(rèn)為是大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中每個接收機(jī)的平均可收集能量，也可認(rèn)為是某個用戶長期的平均可收集能量.該項(xiàng)指標(biāo)描述了射頻能量的收集效率.

3 接收功率分布

直接計(jì)算接收功率PH的分布函數(shù)較困難，本節(jié)將首先分析PH的拉普拉斯變換，然后通過反變換來求接收功率的累積分布函數(shù).

3.1 PH的拉普拉斯變換

采用閃點(diǎn)噪聲過程的分析方法計(jì)算接收機(jī)的到達(dá)功率[12].首先，根據(jù)映射定理將密度為λt的d維均勻PPP映射到密度為λ′的一維PPP，

λ=λtcddrd-1

(9)

cd為d維單位球的體積，cd=πd/2/Γ(1+d/2).

接收能量PH的拉普拉斯變換定義為：

LPH(s)?E[exp(-sPH)]

(10)

由于功率分布和泊松網(wǎng)絡(luò)中的干擾分布具有類似的形式.為此首先引入有限均勻泊松網(wǎng)絡(luò)中干擾分析的一個重要結(jié)論[13]：

推論1.一個有限均勻泊松網(wǎng)絡(luò)中，典型節(jié)點(diǎn)處總干擾功率的拉普拉斯變換為：

LI(PPP)(s)=exp(-λcdEh[D(s)])

(11)

其中，λ為網(wǎng)絡(luò)密度.

(12)

這里A和B分別表示環(huán)形有限泊松網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)徑和外徑.Γ(a,z)表示上不完全伽馬函數(shù)，

考慮到本文所采用的有界路損模型，不妨將接收功率PH分成兩個部分：

1)PH,r≤1：單位球B(o,1)內(nèi)的發(fā)射信號在原點(diǎn)的接收功率；

2)PH,r≤1：單位球B(o,1)外的發(fā)射信號在原點(diǎn)的接收功率，則PH=PH,r≤1+PH,r>1.

將A=0,B=1帶入(12)和(11)可得到PH,r≤1的拉普拉斯變換為：

LPH,r≤1(s)=exp(-λtcdEh[hδ]Γ(1-δ)sδ).

(13)

其中δ=d/α，為維度和路損指數(shù)之比.將A=1,B→∞帶入(12)得到PH,r>1的拉普拉斯變換為：

LPH,r>1(s)=exp{λtcd[Eh[1-e-sh]-sδEh[hδ]Γ(1-δ)
+sδEh[hδΓ(1-δ,sh)]]}.

(14)

接收功率的拉普拉斯變換為：

LPH(s) =E[exp(-s(PH,r≤1+PH,r>1))]

=LPH,r≤1(s)LPH,r>1(s)

=exp{λtcd-sδEh[hδ]Γ(1-δ)+

sδEh[hδΓ(1-δ,sh)]}

(15)

命題1.發(fā)射機(jī)密度為λt的d維大規(guī)模泊松網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)所有信道服從瑞利衰落，則典型位置接收機(jī)到達(dá)功率的拉普拉斯變換為，

(16)

證明：表達(dá)式(15)的指數(shù)部分的第一項(xiàng)為

(17)

第二項(xiàng)為

(18)

其中，2F1(a,b;c,z)為超幾何函數(shù)[14].將以上結(jié)果帶入(15)并利用伽馬函數(shù)的性質(zhì)Γ(1+δ)Γ(1-δ)=πδ/sin(πδ)即可得證.

3.2 PH的累積分布函數(shù)

根據(jù)反拉普拉斯變換計(jì)算接收功率的累積分布函數(shù)如下[15]：

(19)

表達(dá)式(16)沒有閉式的反拉普拉斯變換，可采用如下的歐拉算法進(jìn)行數(shù)值求逆.

(20)

其中，M用于調(diào)節(jié)計(jì)算精度；

(21)

(22)

數(shù)值計(jì)算方法可以給出PH的近似分布，但是無法觀察各參數(shù)對收集性能的具體影響.為此，本部分推導(dǎo)出瑞利衰落信道條件下的一個閉式CDF上界.該結(jié)論假設(shè)δ=d/α=0.5，可在城市環(huán)境(路損指數(shù)α=4)的二維網(wǎng)絡(luò)(d=2)中得到廣泛應(yīng)用.第(4.1)部分的仿真將證明，此上界在感興趣的較低功率區(qū)間是緊致的.

引理1.(接收功率CDF的上界) 假設(shè)無線信道服從均值為Pet的瑞利隨機(jī)分布，發(fā)射機(jī)構(gòu)成密度為λ的泊松點(diǎn)過程，且設(shè)δ=d/α=0.5，則典型位置接收機(jī)的接收功率累積分布函數(shù)的上界為：

(23)

(24)

考慮到CDF為連續(xù)有界函數(shù)，所以對任意x∈R+，

(25)

(26)

將(17)和δ=0.5帶入(26)上式，化簡后得到：

(27)

將(27)帶入(19)，

(28)

綜上，本節(jié)主要結(jié)論包括：

1)如果發(fā)射機(jī)和接收機(jī)均形成d維泊松點(diǎn)過程，且收發(fā)機(jī)信道增益服從瑞利分布，則典型位置接收功率的拉普拉斯變換有半閉合的表達(dá)形式.可以采用歐拉算法進(jìn)行數(shù)值求逆，得到接收功率的累積分布函數(shù)；

2)為了觀察各系統(tǒng)參數(shù)對接收能量分布的影響，本節(jié)得出了δ=0.5時接收功率CDF的緊致上界.

4 能量收集性能分析

本節(jié)利用得到的接收功率CDF分別計(jì)算兩個能量收集性能指標(biāo)：有效能量收集概率和平均可用射頻能量.不失一般性，本文考慮一個單位時間內(nèi)收集的射頻能量，因而余下部分將不再區(qū)分收集能量和收集功率，且可能交叉使用兩種術(shù)語.

4.1 有效能量收集概率

根據(jù)定義1，給定能量收集器門限Θ，有效能量收集概率可容易地表示為接收能量的互補(bǔ)累積分布函數(shù)，即Peeh=1-FPH(Θ).收集門限Θ的典型取值范圍應(yīng)該在-20 dBm至30 dBm之間，取決于具體采用的整流電路和工作頻率[17].通常高頻射頻能量收集器需要的門限功率高，但轉(zhuǎn)化效率也較高.本小節(jié)先驗(yàn)證在典型的收集門限范圍內(nèi)，所提出收集功率分布函數(shù)的準(zhǔn)確性；同時驗(yàn)證分布的上界(23)在該門限范圍內(nèi)是緊致的.最后，將討論發(fā)射機(jī)密度、等效發(fā)射功率對Peeh的影響.

本文通過Matlab軟件進(jìn)行蒙特卡洛仿真來檢驗(yàn)提出的CDF計(jì)算方法及上界.系統(tǒng)參數(shù)為：發(fā)射機(jī)空間分布設(shè)為λt=0.01和0.001的二維泊松點(diǎn)過程，分別代表超密集網(wǎng)絡(luò)和一般網(wǎng)絡(luò).發(fā)射機(jī)的等效發(fā)射功率為Pet=30 dBm，無線信道的路徑損耗系數(shù)α=4，信道功率增益服從均值為Pet的指數(shù)分布.蒙特卡洛仿真參數(shù)為：仿真區(qū)域?yàn)檫呴L1000米的正方形區(qū)域，通過20000次網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)來估計(jì)CDF.

仿真結(jié)果如圖 2所示.結(jié)果表明：

圖2 二維網(wǎng)絡(luò)中有效能量收集概率和收集門限的關(guān)系曲線,α=4Fig.2 Effective energy harvesting probability over the energy harvesting threshold in a 2-dimensional network with α=4

1)蒙特卡洛仿真和數(shù)值計(jì)算的結(jié)果十分吻合，這證明本文采用的數(shù)學(xué)模型是可信的；

2)本文提出的上界在感興趣的區(qū)域(-20dBm～20dBm)十分緊致，和數(shù)值計(jì)算的結(jié)果基本相同.這一結(jié)果為下文采用該上界來分析問題提供了支持，可減小分析難度；

3)能量收集器的敏感度對Peeh的影響較大，對于等效發(fā)射功率30 dBm的接入點(diǎn)(為Wi-Fi接入點(diǎn)的最大發(fā)射功率)，當(dāng)收集門限高于0 dBm時，密集網(wǎng)絡(luò)中(λt=0.01)約70%的接收機(jī)可以收集能量，而稀疏網(wǎng)絡(luò)(λt=0.0001)僅有不到1%的有效能量收集概率.

圖3 多維網(wǎng)絡(luò)中有效能量收集概率和收集門限的關(guān)系Fig.3 Effective energy harvesting probability over the energy havresting threshold in a d-dimensional network

值得注意的是，本文提出的性能分析框架普遍適用于多維泊松網(wǎng)絡(luò).下面將比較網(wǎng)絡(luò)維度對收集性能的影響.3維無線傳感器網(wǎng)絡(luò)[18]和建筑群內(nèi)的無線接入點(diǎn)，如Wi-Fi和分布式天線等，都可用3維泊松網(wǎng)絡(luò)來模擬.雖然3D網(wǎng)絡(luò)建模過于理想化，但可作為能量收集性能的上界.而一維泊松點(diǎn)過程已被用于線性車聯(lián)網(wǎng)的建模[19].在仿真中，3D網(wǎng)絡(luò)的路損指數(shù)設(shè)為α=4(室內(nèi)典型值)，1D網(wǎng)絡(luò)的路損指數(shù)設(shè)為α=3(室外典型值).等效發(fā)射功率Pet=30 dBm，分別考慮了密集和一般網(wǎng)絡(luò)兩種情形.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖 3所示.可以發(fā)現(xiàn)：

1)在多維模型下，數(shù)值結(jié)果和仿真結(jié)果十分吻合，進(jìn)一步證明了提出模型的正確性；

2)在相同密度下，3D網(wǎng)絡(luò)的能量收集性能顯著高于線性網(wǎng)絡(luò).

圖4 有效能量收集概率和發(fā)射機(jī)密度以及等效發(fā)射功率的關(guān)系Fig.4 Effective energy harvesting probability versus the transmitter density and the equivalent transmitting power

綜上，本小節(jié)驗(yàn)證了所提出CDF模型和算法的有效性，同時證明了特定系統(tǒng)參數(shù)下，EEHP的上界是緊致的.另外，還通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了一般系統(tǒng)參數(shù)下性能估計(jì)的準(zhǔn)確性.最后，通過數(shù)值計(jì)算說明了能量收集門限對EEHP的制約關(guān)系.有效能量收集概率刻畫了大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中可收集射頻能量的終端所占比例，但無法描述網(wǎng)絡(luò)中可收集能量的多少.接下來的部分將計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中某個節(jié)點(diǎn)的長期平均可收集能量，或者等效表達(dá)為，某個時刻全網(wǎng)可用能量的平均值.

4.2 平均可收集能量

接收機(jī)天線收集的能量需要經(jīng)過整流器和電壓倍增器之后方可用于對電池或者超級電容充電.影響能量轉(zhuǎn)換效率的因素包括匹配網(wǎng)絡(luò)，工作頻率以及輸入功率等.輸入功率過低或過高都會降低轉(zhuǎn)換效率.當(dāng)負(fù)載完全匹配時，轉(zhuǎn)化效率才能達(dá)到最大[20].由于轉(zhuǎn)化效率與輸入功率之間的關(guān)系取決于工作頻率、匹配網(wǎng)絡(luò)和所采用的集成芯片的特點(diǎn)等，難以用確定的公式描述，且超過本文研究的范圍.本文中假設(shè)對所有輸入功率的平均轉(zhuǎn)化效率為ηα.得到如下的AHE計(jì)算式：

(29)

利用前面得到的接收功率分布函數(shù)，可以推導(dǎo)出瑞利衰落信道下的平均可用能量.

命題2.(平均可收集能量)設(shè)網(wǎng)絡(luò)中所有發(fā)射機(jī)至接收機(jī)信道服從均值為Pet的瑞利衰落，發(fā)射機(jī)位置構(gòu)成密度為λt的泊松點(diǎn)過程，則典型位置接收機(jī)的平均可收集能量可表達(dá)為：

(30)

其中，Θ為收集器啟動的門限功率，LPH(s)由(16)式給出.

證明：由(28)式，

(31)

表達(dá)式(a)為不考慮電路敏感性的平均接收功率.與第3節(jié)計(jì)算接收功率拉普拉斯變換的方法相同，分兩個部分計(jì)算平均功率：一部分來自于單位球內(nèi)的發(fā)射機(jī)所形成的平均功率，記為μ1；另一部分來自于單位球外的發(fā)射機(jī)所構(gòu)成的平均功率，記為μ2.因?yàn)閮蓚€區(qū)域的均值是獨(dú)立的，所以(a)=μ1+μ2.

先計(jì)算單位球內(nèi)發(fā)射機(jī)貢獻(xiàn)的平均功率.單位球內(nèi)功率的拉普拉斯變換為(13)，根據(jù)均值和拉普拉斯函數(shù)的關(guān)系，可得μ1為，

(32)

單位球外的平均功率計(jì)算需要用到如下已知結(jié)論[13]：有限泊松網(wǎng)絡(luò)干擾功率的n階累積量為：

(33)

(34)

對于(b)部分的計(jì)算，考慮到fPH沒有閉合形式，可以采用數(shù)值求逆來計(jì)算.

(35)

(36)

(37)

第4.1節(jié)的仿真結(jié)果表明，在收集門限較低區(qū)域，PH的概率分布函數(shù)完全可由(23)所示的上界來近似.下面給出維度-路損指數(shù)比δ=0.5這種特殊情況下的閉合近似值.

引理2.(特殊情形下的近似AHE)若δ=0.5，收集門限功率Θ下的平均可收集能量近似為：

(38)

證明：根據(jù)引理1，(31)式中FPH(x)?FPH(x)，帶入(b)得到

(39)

將(34)和(39)帶入(31)得證.

圖5 平均可收集能量與發(fā)射機(jī)密度的關(guān)系，α=4,d=2.Fig.5 Avergare harvestable energy versus the transmitter density with α=4,d=2

接下來將通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證引理2的準(zhǔn)確性，并討論能量收集門限對系統(tǒng)性能的影響.

圖5中比較了不考慮收集門限和考慮20dBm的收集門限下的平均可收集能量.蒙特卡洛仿真區(qū)域設(shè)為200×200的矩形，網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)次數(shù)為10000次.其他參數(shù)為，Pet=1W，路損指數(shù)α=4，空間維度d=2.圖5中的仿真曲線表明，模擬的性能和分析計(jì)算的性能吻合度高，驗(yàn)證了本文所提出的分析方法.此外，通過比較發(fā)現(xiàn)，不考慮收集電路敏感性將過高估計(jì)AHE，從而影響對無線能量傳輸效率的分析和判斷.

圖6進(jìn)一步說明了發(fā)射機(jī)密度λt、收集器門限功率Θ對AHE的影響.通過觀察圖中透明曲面和著色曲面的變化趨勢發(fā)現(xiàn)，λt越大，理想收集能量和實(shí)際可用能量之間的差距越大，當(dāng)λt=0.4時，兩者的差距接近4 dBm.這可以通過(39)說明，該式表明門限一定時不可用能量隨密度變大而增加.另一方面，可發(fā)現(xiàn)相同發(fā)射機(jī)密度情況下，AHE會隨著收集電路敏感性降低而增大.此現(xiàn)象和(39)式吻合，該式顯示不可用能量是門限的單調(diào)遞減函數(shù).

圖6 平均可收集能量和發(fā)射機(jī)密度及感知門限的關(guān)系，α=4，d=2Fig.6 Average Harvestable Energy versus the transmitter density and the harvesting threshold with α=4，d=2

綜上，本節(jié)提出了計(jì)算平均可用能量的數(shù)值方法，得到了δ=0.5這種特殊情形下的平均可用能量的閉合表達(dá)式.通過蒙特卡洛仿真驗(yàn)證了所提出的解析表達(dá)式.最后，通過數(shù)值仿真揭示了平均可用能量和發(fā)射機(jī)密度及能量收集器敏感程度的關(guān)系.這些結(jié)果將對無線輸能網(wǎng)絡(luò)的能效分析和優(yōu)化部署提供理論指導(dǎo).

5 總 結(jié)

本文研究了多維大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中收集器功率門限對射頻能量收集性能的影響，提出了兩個新的衡量收集性能的指標(biāo)：有效能量收集概率和平均可收集能量.假設(shè)收發(fā)機(jī)位置服從密度不同的均勻泊松點(diǎn)過程，利用隨機(jī)幾何工具對典型接收機(jī)的到達(dá)功率進(jìn)行建模，獲得了瑞利分布隨機(jī)信道下接收功率的分布函數(shù)和平均可收集能量.分析結(jié)果表明，高收集門限會導(dǎo)致充電概率和可收集能量顯著減少；同時，在高密集網(wǎng)絡(luò)中，收集電路敏感性對收集性能影響較大.蒙特卡洛仿真驗(yàn)證了所有分析結(jié)論.本文研究結(jié)果可為無線輸能網(wǎng)絡(luò)的能量效率分析及網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化提供參考.本文的下一步工作考慮將相關(guān)結(jié)論推廣到異構(gòu)無線輸能網(wǎng)絡(luò)和一般衰落信道模型.