周海清

函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)中起到橫向聯(lián)系和紐帶連接的主干作用. 用變量和函數(shù)來思考問題的方法就是函數(shù)思想. 具體講就是通過類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化，合理地構(gòu)造函數(shù)，從而有效降低題目難度，以達(dá)到輕松解題的目的. 函數(shù)思想的運(yùn)用范圍不僅在函數(shù)問題的高考試題中，而且在不等式、數(shù)列、解析幾何等問題中也有不俗表現(xiàn).

1. 數(shù)列

數(shù)列從本質(zhì)上來講是函數(shù)，用函數(shù)思想解決數(shù)列問題不但能夠加深對數(shù)列概念的理解，而且能加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系.

例1 等差數(shù)列｛bn｝中，b1 > 0，前n項(xiàng)的和為Tn，若Tl = Tk（l ≠ k），當(dāng)n取何值時(shí)Tn最大？

解析 運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.

設(shè)ｆ（ｎ） ＝ Ｔｎ ＝ ｎｂ１ ＋ ｄ，ｎ∈Ｎ，

則ｆ（ｎ） ＝ ｄｎ２ ＋ （b１ － ）ｎ，此函數(shù)是以ｎ為自變量的二次函數(shù)．

∵ b１ ＞ ０，Ｔｌ ＝ Ｔｋ（ｌ ≠ ｋ），

∴ d < 0，

∴ 二次函數(shù)ｆ（ｎ）的圖像開口向下．

∵ ｆ（ｌ） ＝ ｆ（ｋ），

∴ 當(dāng)ｘ ＝時(shí)， ｆ（ｘ）最大，但ｆ（ｎ）中ｎ∈Ｎ，

∴ 當(dāng)l + k為偶數(shù)時(shí)，n = 時(shí)，Tn最大.

當(dāng)l + k為奇數(shù)時(shí)，n = 時(shí)，Tn最大.

2. 平面解析幾何

在解決平面解析幾何問題時(shí)，若是能夠通過仔細(xì)讀題，發(fā)現(xiàn)某些點(diǎn)、線之間的聯(lián)系，并用函數(shù)來刻畫，往往會(huì)起到事半功倍的效果.

例2 設(shè)a > b > c且a + b + c = 0，拋物線y = ax2 + 2bx + c被x軸截得的弦長為m，證明： < m < 2.

解析 由于弦長m是與ａ，ｂ，ｃ有關(guān)的變量，若能找到它們之間的關(guān)系式，問題就變簡單了.

∵ a > b > c且a + b + c = 0，

∴ ａ ＞ ０，ｃ ＜ ０.

∵ Δ = 4b2 - 4ac > 0，

故方程ａｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０必有兩個(gè)不同實(shí)根ｘ１，x2 .

∴ m2 = （ｘ１ － ｘ２）２ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ － ４ｘ１ｘ２ ＝-=

４（ - ） = 4［(1 + )2 - ］ = 4（ + ）2 + 3.

∴ m2是的二次函數(shù)，由a > b > c且a + b + c = 0，可知-2 << -，當(dāng)< -時(shí)，m2是單調(diào)遞減的．

∴ ４（－ ＋ ）２ ＋ ３ ＜ ｍ２ ＜ ４（－２ ＋ ）２ ＋ ３，

即3 < m2 < 12，又m > 0，

∴< m < 2.

例3 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e = ，已知點(diǎn)P（０，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求這個(gè)橢圓的方程，并求出橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).

解析 設(shè)橢圓的方程為 += 1，因?yàn)閑 = ，

∴== ，

∴ a = 2b，故 +＝ １．

設(shè)橢圓上的點(diǎn)P１（ｘ，ｙ）到P的距離為ｄ，則

ｄ２ ＝ ｘ２ ＋ （ｙ － ）２ ＝ ４ｂ２ － ４ｙ２ ＋ ｙ２ － ３ｙ ＋＝

－３（ｙ ＋ ）２ ＋ ４ｂ２ ＋ ３（－ｂ ≤ ｙ ≤ ｂ）.

若ｂ ＜ ，則當(dāng)ｙ ＝ －ｂ時(shí)，ｄ２ｍａｘ ＝ （ｂ ＋ ）2，

∴ （）2 = （ｂ ＋ ）2，

即b =-> ，與b < 矛盾.

若b ≥ ，則當(dāng)y = - 時(shí)，d2max = 4b2 + 3.

∴ （）2 = 4b2 + 3，得b = 1.

∴ a = 2.

綜上所述，橢圓方程為 ＋ ｙ２ ＝ １，且橢圓上的點(diǎn)（±，）到點(diǎn)P的距離等于.

3. 組合

例4 證明：當(dāng)ｎ ≥ ３時(shí)，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.

證明 設(shè)ｆ（ｘ） ＝ （１ ＋ ｘ）ｎ ＝ Ｃ ＋ Ｃｘ ＋ Ｃｘ２ ＋ … ＋ Ｃｘｎ，

ｆ（１） ＝ Ｃ ＋ Ｃ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ，

＝ １ ＋ ｎ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ ＋ ｎ ＋ １

＝ ２（１ ＋ ｎ） ＋ （Ｃ ＋ … ＋ Ｃ） ＝ ２ｎ.

當(dāng)ｎ ＝ ３時(shí)，２ｎ ＝ ２（１ ＋ ｎ），

當(dāng)ｎ ＞ ３時(shí)，２ｎ ＝ 2（１ ＋ ｎ） ＋ Ｃ ＋ … + Ｃ，

∴ 當(dāng)ｎ ≥ ３時(shí)，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.

4. 解不等式問題

在解決有些不等式問題時(shí)，若運(yùn)用函數(shù)的視野去分析、推理的話，可以讓證明輕松許多.

例5 證明不等式： < （ｘ ≠ ０）.

解析 一般證法是分x > 0或x < 0討論，但運(yùn)算量較大. 這里不妨試試構(gòu)造函數(shù)ｆ（ｘ） =- （ｘ ≠ ０）.

∵ ｆ（－ｘ） =-= －ｘ（１ ＋ ） ＋=-= ｆ（ｘ）,

∴ ｆ（ｘ）是偶函數(shù). 當(dāng)x > ０時(shí)，１ － ２ｘ ＜ ０，從而ｆ（ｘ） ＜ ０，

于是ｘ ＜ ０時(shí)，ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｘ） < 0，

故當(dāng)x ≠ 0時(shí)，恒有ｆ（ｘ） < 0，即 < （ｘ ≠ ０）.

5. 求值

求某些代數(shù)式的值時(shí)，可以將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)式，以提 高解題速度.

例 ６ 如果實(shí)數(shù)ａ，ｂ滿足（ａ － ２）２ ＋ ｂ２ = 3，那么的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

解析 由已知，等式兩邊同除以a2得項(xiàng)，同時(shí)可得到關(guān)于的二次函數(shù)，求此函數(shù)值最大值即可.

兩邊同除以ａ２，得

（）2 -+ 1 += 0.

即（）2 = -（ - 2）2 + 3,

又 ｂ２ ＝ ３ － （ａ － ２）２ ≥ ０,

∴ 2 -≤ a ≤ 2 + ,

當(dāng) = 2，即a = ∈［2 - ，２ + ］時(shí)，（）2max =3，

∴ （）max = .

例7 設(shè)實(shí)數(shù)ｘ，ｙ滿足x3 + 2x + a = 0，y3 + 2y - a = 0，試求x + y的值.

解析 直接解這兩個(gè)方程，顯然運(yùn)算量太大，不明智，通過觀察發(fā)現(xiàn)，可把兩個(gè)方程變?yōu)椋海?＋ ２ｘ ＝ －ａ，ｙ３ ＋ ２ｙ ＝ ａ．

構(gòu)造函數(shù)ｆ（ｔ） ＝ ｔ３ ＋ ２ｔ（ｔ∈R）， 顯然ｆ（－ｔ） ＝ －ｆ（ｔ），

∴ｆ（ｔ）為奇函數(shù).

∵ ｆ（ｘ） ＝ －ａ，ｆ（ｙ） ＝ ａ，所以ｆ（ｘ） ＝ －ｆ（ｙ），

又ｆ（ｔ）為奇函數(shù)，所以ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｙ）.

易證，ｆ（ｔ）為增函數(shù)，所以ｘ＝－ｙ，

故ｘ ＋ ｙ ＝ ０．

通過上面的例子，我們可以看到，函數(shù)思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，滲透在很多知識(shí)點(diǎn)里面，我們平時(shí)在教學(xué)時(shí)應(yīng)注意多去發(fā)掘、培養(yǎng)、訓(xùn)練、強(qiáng)化這種解題思想，讓它不只是局限在用來專門解函數(shù)題上面，而應(yīng)該有更廣泛的應(yīng)用. 善用它，可使我們在解決相關(guān)題目時(shí)更輕松、更高效.