黃艷曦

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。”這句話說(shuō)明了“數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學(xué)的兩根柱石，所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合來(lái)探索解決問(wèn)題的思路，從而使問(wèn)題得以解決的思想方法。關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，我總結(jié)了幾點(diǎn)自己的看法與大家交流。

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的重要性。

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)始終，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其運(yùn)用大致可以分為兩種情形：借助于形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，比如運(yùn)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，如運(yùn)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合即以數(shù)作為手段，形作為目的，用這種思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題往往可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化。數(shù)形結(jié)合思想既能發(fā)揮代數(shù)的優(yōu)勢(shì)，又可以充分利用圖形的直觀性，從多個(gè)角度探索問(wèn)題，對(duì)思維能力的發(fā)展大有裨益。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)思維，數(shù)學(xué)探索需要通過(guò)思維來(lái)實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，又是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。

二、教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，形成用數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的意識(shí)。

縱觀近年來(lái)的中考，熔“數(shù)”和“形”于一體的試題屢見(jiàn)不鮮。目前我們使用的新課本，不再把數(shù)學(xué)課劃分為“代數(shù)”、“幾何”，而是綜合為一門數(shù)學(xué)課，這樣更有利于“數(shù)”與“形”的結(jié)合，因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要做好“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘，剖析其所具有的幾何模型，這對(duì)于幫助學(xué)生深化思維，拓展知識(shí)，提高能力都有很大的幫助。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想不僅直觀、易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。所以要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維。

下面通過(guò)幾個(gè)例題的分析給予解評(píng)。

例1：數(shù)形結(jié)合與函數(shù)問(wèn)題

解析：這是一道三角函數(shù)問(wèn)題，如果沒(méi)有圖形，學(xué)生將較難理解題目，感覺(jué)到無(wú)從下手。有了圖形，可以將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化將抽象問(wèn)題具體化。

解：過(guò)C作AB的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，得到Rt△ACD與Rt△BCD.

答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近.

由以上的幾個(gè)例子，我們可以看出數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，解題思路非常清晰，步驟非常明了。另外，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想方法的興趣。

數(shù)形結(jié)合的思想方法，不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。以往的數(shù)學(xué)題是單純地對(duì)于“數(shù)”或“形”這樣的單個(gè)個(gè)體而展開(kāi)的，而數(shù)形結(jié)合思想?yún)s同時(shí)包含了“數(shù)”和“形”兩個(gè)對(duì)象，研究對(duì)象可由“數(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤靶巍保部捎伞靶巍鞭D(zhuǎn)變?yōu)椤皵?shù)”，學(xué)生要改變以往單一的處理符號(hào)信息或者是圖形信息的操作，要將兩種信息同時(shí)進(jìn)行操作，將原本看上去無(wú)關(guān)的代數(shù)和幾何融合在一起，甚至是將其融會(huì)貫通。這就給學(xué)生的學(xué)習(xí)加大了難度，也打擊了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情和降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。因此，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的興趣顯得尤為重要。我認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面入手。

1.將數(shù)學(xué)與實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生在生活中感受“數(shù)形結(jié)合”思想。如每個(gè)學(xué)生在日常生活中都具有一定的圖形知識(shí)，如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，溫度計(jì)與其上面的溫度，我們每天走過(guò)的路線可以看做是一條直線，教室里每個(gè)學(xué)生的座位，等等。我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)。在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)與數(shù)軸，一對(duì)有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系，一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖像，二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖像之間的關(guān)系等，都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會(huì)。

2.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)掘數(shù)學(xué)的美感。數(shù)學(xué)家哈代曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)就像畫家的顏色或者詩(shī)人的文字一樣，一定會(huì)和諧地組合在一起。美感是首要的試金石，丑陋的數(shù)學(xué)在世界上是站不住腳的?！睌?shù)學(xué)美感在生活和情感等方面的體現(xiàn)，如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中揭示數(shù)形結(jié)合思想同時(shí)也能夠使學(xué)生享受到美感，就能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的興趣，從而大大地增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)效果。如黃金分割在生活中的運(yùn)用，舉世聞名的完美建筑古希臘帕提依神廟，建筑師們發(fā)現(xiàn)由于高和寬的比是0.618，按照這樣的比例進(jìn)行建筑設(shè)計(jì)，建筑物會(huì)更加壯觀。教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的美感，增強(qiáng)他們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的興趣，從而更加積極地學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。

3.通過(guò)典型例題讓學(xué)生感受和分析數(shù)形結(jié)合思想，并反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。并引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候注意一些基本原則，如是知形確定數(shù)還是知數(shù)確定形，在探索規(guī)律的過(guò)程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行，從而歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論。另外，加強(qiáng)相應(yīng)練習(xí)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的主動(dòng)運(yùn)用。

四、結(jié)論

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞曾說(shuō)：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過(guò)它而找到正確的道路?！睌?shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)思想方法中重要的一員，具有重要的地位和作用。教師可以利用現(xiàn)有教材，在教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合其他數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合運(yùn)用，給學(xué)生提供足夠的材料和時(shí)間，啟發(fā)學(xué)生積極思維，相信這會(huì)使學(xué)生在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。