楊鳳樓

(江蘇省江陰高級中學 江蘇 江陰 214400)

萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),是17世紀自然科學最偉大的成果之一.它把地面上物體運動的規(guī)律和天體運動的規(guī)律統(tǒng)一起來,第一次揭示了自然界中物體間普遍存在的一種基本相互作用規(guī)律,對天文學的發(fā)展起到了巨大的推動作用.其具體應用有:根據(jù)其規(guī)律發(fā)現(xiàn)新的天體,測天體質(zhì)量,計算天體密度,研究天體的運動規(guī)律,同時也是現(xiàn)代空間技術(shù)的理論基礎.這部分內(nèi)容是歷年高考的熱點,也是教學過程中教師感覺較為容易的部分,無非是圓周運動知識在天體運動中的具體應用.但實際教學卻與之正好相反,學生面對眾多的物理量和各式各樣的運動模型,理不清思路,用不對公式,很容易混淆.本文從4個方面對天體運動中的問題進行分析,希望將紛繁復雜的天體運動問題條理化、簡單化.

1 構(gòu)建一種模型

在天體運動中,通常將研究對象看做質(zhì)點,將天體運動抽象成質(zhì)點繞中心點的運動.比如宇宙飛船繞地球飛行,可以將宇宙飛船看作質(zhì)點,圍繞地球做半徑為質(zhì)點到球心距離的勻速圓周運動.在這一模型中,研究對象所受的萬有引力提供做圓周運動所需的向心力.利用向心力公式,就可以求出運行速度、天體質(zhì)量、運動周期等相關(guān)物理量.

2 緊扣兩條思路

天體運動問題之所以學生感覺比較難,是因為它不僅涉及到新學習的天體運動的各式模型,更是將之前學習過的知識進行綜合應用的過程.如萬有引力定律、牛頓第二定律、勻速圓周運動規(guī)律等等.但撥開層層迷霧,解決天體運動問題有兩條基本思路是清晰可見的:

3 分清三個不同

3.1 天體半徑和衛(wèi)星軌道半徑的不同

我們通常把天體看作質(zhì)量均勻的球體,天體半徑就是球的半徑,反映了天體的大小.衛(wèi)星軌道半徑是天體的衛(wèi)星繞天體做圓周運動的半徑,通常為運動的天體到中心天體球心的距離.一般地,衛(wèi)星軌道半徑大于該天體的半徑.當衛(wèi)星貼近天體表面運動時,可認為衛(wèi)星軌道半徑近似等于天體半徑.

例1.一艘宇宙飛船在一個星球表面附近沿圓形軌道環(huán)繞飛行,宇航員要估測該星球的密度只需要

(A)測定飛船的環(huán)繞半徑.

(B)測定行星的質(zhì)量.

(C)測定飛船的環(huán)繞周期.

(D)測定飛船的環(huán)繞速度.

分析:當宇宙飛船繞著星球運行時,可視為繞星球做勻速圓周運動,萬有引力提供向心力.設宇宙飛船的軌道半徑為r,則由向心力公式可得

設星球半徑為R,則星球密度為當飛船貼近星球表面飛行時,可近似認為r＝R,故所以只需要知道飛船環(huán)繞的周期就可以估測該星球的密度,選(C).

3.2 衛(wèi)星的運行速度和發(fā)射速度的不同

若將地球看作是質(zhì)量均勻的球體,則衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時,由萬有引力提供向心力,即得衛(wèi)星的運行速度(M為地球的質(zhì)量).從式中可以看出,衛(wèi)星離地球越高,其運行速度越小;衛(wèi)星離地球越近,其運行速度越大.當衛(wèi)星近地運行時,軌道半徑近似等于地球半徑,這時軌道半徑達到最小,運行速度達到最大,代入數(shù)據(jù)可得,地球衛(wèi)星的最大運行速度為7.9km/s.

而教材中提到的3個宇宙速度,都是指發(fā)射速度.發(fā)射速度達到7.9km/s,物體可以成為地球衛(wèi)星,所以第一宇宙速度也稱之為環(huán)繞速度;發(fā)射速度達到11.2km/s,物體可以完全擺脫地球引力束縛飛離地球,所以第二宇宙速度也稱之為脫離速度;發(fā)射速度達到16.7km/s,物體可以擺脫太陽引力束縛飛出太陽系,所以第三宇宙速度也稱之為逃逸速度.對于繞地球做圓周運動的人造衛(wèi)星而言,發(fā)射速度越大,穩(wěn)定運行時離地球就越遠,軌道半徑就越大,所以發(fā)射速度越大,運行速度就越小.原因在于衛(wèi)星在遠離地球的過程中,萬有引力對其做負功,使速度變小.v＝7.9km/s是地球衛(wèi)星最大的運行速度,也是最小的發(fā)射速度.

例2.以下關(guān)于宇宙速度的說法中正確的是

(A)第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星運行時的最大速度.

(B)第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星運行時的最小速度.

(C)人造地球衛(wèi)星運行時的速度一定小于第二宇宙速度.

(D)地球上的物體無論具有多大的速度都不可能脫離太陽的束縛.

分析:第一宇宙速度的大小與最大運行速度的大小相等,都是v＝7.9km/s.人造地球衛(wèi)星繞地球運行時,速度一定小于或等于第一宇宙速度,所以人造地球衛(wèi)星的運行速度一定小于第二宇宙速度.當發(fā)射速度達到第三宇宙速度時,能脫離太陽引力束縛,故選(A)、(C).

3.3 一般衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的不同

地球同步衛(wèi)星相對于地球靜止于赤道上空.和地球自轉(zhuǎn)具有相同的運行周期即T＝24h.不同的地球同步衛(wèi)星,除運行周期相等外,還具有以下特點:

一定在赤道上空.由于衛(wèi)星受到的地球引力指向地心,在地球引力的作用下同步衛(wèi)星不可能停留在與赤道平面平行的其它平面,一定位于赤道的正上方.如我國發(fā)射的電視轉(zhuǎn)播衛(wèi)星,不是定點在北京上空,也不是定點在我國其它地點的上空,而是停在位于赤道的印度尼西亞上空.

其它衛(wèi)星的軌道平面只要通過地心,可以在赤道上空,可以通過兩極,也可通過其他地區(qū).離地的高度只要大于地球半徑都可以,周期、線速度可能比同步衛(wèi)星大,也可能比同步衛(wèi)星小.線速度的最大值為v＝7.9km/s,最小周期大約為84min(近地衛(wèi)星).

例3.(2011年廣東高考理綜第20題)已知地球質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn)周期為T,地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m,引力常量為G.有關(guān)同步衛(wèi)星,下列表述正確的是:

(B)衛(wèi)星的運行速度小于第一宇宙速度.

(D)衛(wèi)星運行的向心加速度小于地球表面的重力加速度.

分析:對衛(wèi)星環(huán)繞地球的圓周運動,運用牛頓第二定律及萬有引力定律有解得衛(wèi)星距地面的高度為錯.第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星環(huán)繞速度,是地球衛(wèi)星中的最大環(huán)繞速度,(B)對.同步衛(wèi)星距地面有一定的高度h,受到的向心力大小為(C)錯.由可知,衛(wèi)星運動的向心加速度為由近似關(guān)系可知,地球表面的重力加速度為(D)對.故選(B)、(D).

4 掌握4個問題

以上三點可以輕松、簡便地解決天體運動中的絕大部分問題.但對于以下幾個問題,僅會使用以上三點,會感覺到力不從心,甚至就算找出結(jié)果但仍心存疑惑,不得要領(lǐng).這就要求我們必須從根本上理解它們的本質(zhì),把握解決的關(guān)鍵,不僅要知其然,更要知其所以然.

4.1 雙星問題

“雙星”是由兩顆繞著共同的中心旋轉(zhuǎn)的恒星組成.雙星運動具有以下特點:兩顆恒星均圍繞共同的旋轉(zhuǎn)中心做勻速圓周運動;兩恒星之間的萬有引力分別提供了兩顆恒星做勻速圓周運動所需的向心力,即兩顆恒星受到的向心力大小相等;兩顆恒星與旋轉(zhuǎn)中心時刻三點共線,即兩顆恒星角速度相同,周期相同.

圖1

例4.現(xiàn)代觀測表明,由于引力作用,恒星有“聚集”的特點.眾多的恒星組成不同層次的恒星系統(tǒng),最簡單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星,如圖1所示.兩星各以一定速率繞其連線上某一點勻速轉(zhuǎn)動,這樣才不至于因萬有引力作用而吸引在一起.已知雙星質(zhì)量分別為m1、m2,它們間的距離始終為L,引力常量為G,求:

(1)雙星旋轉(zhuǎn)的中心O到m1的距離;

(2)雙星的轉(zhuǎn)動周期.

分析:設雙星旋轉(zhuǎn)的中心O到m1的距離為x,由F引＝F向知

聯(lián)立以上兩式求解得:雙星旋轉(zhuǎn)的中心到m1的距離為

雙星的轉(zhuǎn)動周期為

4.2 追及問題

天體運動中的“追及問題”,它與直線運動中“追及”的含義不同,研究的是兩個在不同的圓周軌道上運動的物體,何時相距最近(即相遇)或最遠的問題.相距最近的含義是:兩個衛(wèi)星(或物體)和圓周軌道的圓心三點在同一條直線上,且兩個衛(wèi)星(或物體)在圓心同側(cè);相距最遠的含義是:兩個衛(wèi)星(或物體)和圓周軌道的圓心三點在同一條直線上,且兩個衛(wèi)星(或物體)在圓心異側(cè).解決這類問題的關(guān)鍵在于首先要知道兩個衛(wèi)星中,哪個角速度較大,然后根據(jù)以上分析的最近與最遠的關(guān)系,列方程解決問題.

圖2

例5.(2011年重慶高考理綜第21題)某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓.每過N年,該行星會運行到日地連線的延長線上,如圖2所示.該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑比為:

分析:由于每過N年,該行星會運動到日地連線的延長線上,所以有對地球、行星繞太陽的環(huán)繞運動,運用開普勒第三定律得代入T1＝1年,解得故選(B).

4.3 變軌問題

圖3

衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術(shù)的一個重要方面,衛(wèi)星定軌和返回都要用到這個技術(shù).以衛(wèi)星從橢圓軌道遠地點變到圓軌道為例加以分析.如圖3所示,在軌道遠地點P,萬有引力要使衛(wèi)星改做圓周運動,必須滿足且F與v垂直,而F與v垂直在遠點成立,所以只需增大速度,讓速度增大到成立即可,這個任務由衛(wèi)星自帶的推進器完成.“神舟”飛船就是通過這種技術(shù)變軌的,地球同步衛(wèi)星也是通過這種技術(shù)定點于同步軌道上的.

圖4

例6.如圖4所示,飛船在橢圓軌道1上運行,Q為近地點,P為遠地點,當飛船運動到P點時點火,使飛船沿圓軌道2運行,以下說法正確的是

(A)飛船在Q點的萬有引力大于該點所需的向心力.

(B)飛船在P點的萬有引力大于該點所需的向心力.

(C)飛船在軌道1上P的速度小于在軌道2上P的速度.

(D)飛船在軌道1上P的加速度大于在軌道2上P的加速度.

分析:飛船在軌道1上運行,在近地點Q處飛船速度較大,相對于以近地點到地球球心的距離為半徑的軌道做離心運動,說明飛船在該點所受的萬有引力小于在該點所需的向心力;在遠地點P處飛船的速度較小,相對于以遠地點到地球球心為半徑的軌道飛船做向心運動,說明飛船在該點所受的萬有引力大于在該點所需的向心力;當飛船在軌道1上運動到P點時,飛船向后噴氣使飛船加速,萬有引力提供飛船繞地球做圓周運動的向心力不足,飛船將沿橢圓軌道做離心運動,運行到軌道2上.反之亦然,當飛船在軌道2上的P點向前噴氣使飛船減速,萬有引力提供向心力有余,飛船將做向心運動回到軌道1上,所以飛船在軌道1上P的速度小于在軌道2上P的速度;飛船運行到P點,不論在軌道1還是在軌道2上,所受的萬有引力大小相等,且方向均與線速度垂直,故飛船在兩軌道上的加速度等大.故選(B)、(C).

4.4 超失重問題

宇宙飛船在發(fā)射升空、在軌運行、返回著陸時,宇航員都會有強烈的超重、失重感受.發(fā)射升空過程中需要獲得向上的巨大加速度,飛行員會受到十幾倍于自身的壓力而處于超重的狀態(tài).沒有接受過嚴格訓練的人會兩眼發(fā)黑,動彈不得,甚至失去知覺.這是因為人體里的血液不能正常循環(huán).返回著陸時,也會有強烈的超重感受.宇宙飛船在軌運行期間,來自于地球的萬有引力全部用來提供繞地球運行所需的向心力,此時飛行器內(nèi)物體處于完全失重狀態(tài),輕輕一碰就會“飛”起來.

例7.宇宙飛船正在離地面高度等于地球半徑的軌道上做勻速圓周運動,飛船內(nèi)一彈簧秤下懸掛一質(zhì)量為m的重物,g為地面處重力加速度,則彈簧秤的讀數(shù)為

分析:宇宙飛船在軌運行時,萬有引力全部用來提供繞地球運行所需的向心力,重物m處于完全失重狀態(tài),對支持物的壓力或?qū)覓煳锏睦Χ紴?,故選(D).

1 陳耀.天體問題中要清楚的幾個概念.數(shù)理化學習,2005,(13).

2 范曉波.天體運動中的幾個“另類”問題.中學學科網(wǎng),2008－04.