羅 蓬，劉開華，史偉光，閆 格

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

非規(guī)則部分校準(zhǔn)陣列下的寬帶LFM信號二維DOA估計

羅 蓬，劉開華，史偉光，閆 格

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

提出了一種寬帶線性調(diào)頻(LFM)信號的二維波達(dá)方向(DOA)估計新方法．該方法在空域和時域同時對信號進(jìn)行采樣，并利用觀測樣本的分?jǐn)?shù)階Fourier域峰值構(gòu)造出新的時頻空DOA矩陣，進(jìn)而通過特征值分解的方法實現(xiàn)多個LFM信號的DOA估計．該方法充分地挖掘了觀測信號所包含的時頻信息，降低了對陣列結(jié)構(gòu)和陣元一致性的約束，使其適用于陣元幾何分布不規(guī)則且大部分陣元未經(jīng)校準(zhǔn)的陣列．此外，該方法無需譜峰搜索和二維參數(shù)配對，計算簡單且估計精度較高．仿真結(jié)果顯示，在DOA估計的均方根誤差(RMSE)相同時，與傳統(tǒng)方法相比，該方法可獲得6～8 dB的信噪比增益．

陣列信號處理；二維DOA估計；FrFT；寬帶LFM信號；部分校準(zhǔn)陣列

線性調(diào)頻(linear frequency modulation，LFM)信號廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、聲納和通信等信息系統(tǒng)中[1-3].在這些系統(tǒng)中，LFM 信號的波達(dá)方向(direction of arrival，DOA)估計是一個重要的研究課題．由于LFM 信號具有寬帶非平穩(wěn)的特性，其陣列方向矩陣與時間相關(guān)，因此常規(guī)的子空間算法不再適用于這類信號的 DOA估計．近年來，將信號的時頻特征和空域信息相結(jié)合的時頻空算法成為該領(lǐng)域一個研究熱點．沿著這個方向已經(jīng)出現(xiàn)了一些研究成果[4-6]，其中以國內(nèi)學(xué)者陶然、齊林等提出的基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換(fractional Fourier transform，F(xiàn)rFT)的LFM信號DOA估計方法[7-9]最受關(guān)注．由于FrFT是一種線性變換，不受交叉項的干擾，而且可以理解為LFM基分解，所以在對LFM信號的處理上比其他時頻變換方法更有優(yōu)勢．

現(xiàn)有的LFM信號DOA估計方法都是針對各種規(guī)則陣列結(jié)構(gòu)提出的，而且假設(shè)陣列具有理想的陣列流形(或陣列已被校準(zhǔn))．然而，在實際應(yīng)用中，由于設(shè)備的內(nèi)部空間、載體、工作環(huán)境等因素的限制，陣列的幾何結(jié)構(gòu)往往是不規(guī)則的．另外，陣元實際位置和標(biāo)稱位置之間存在的偏差、各陣元幅度和相位特性的不一致等因素都會使陣列流形產(chǎn)生誤差，導(dǎo)致傳統(tǒng)方法估計性能的急劇下降．

針對上述問題，筆者提出了一種基于FrFT的寬帶 LFM信號二維DOA估計新方法．該方法在空域和時域同時對入射信號進(jìn)行采樣，并利用觀測樣本的FrFT峰值構(gòu)造出新的時頻空DOA矩陣，進(jìn)而通過特征值分解的方法實現(xiàn)各LFM信號的DOA估計．該方法充分地挖掘了觀測信號所包含的時頻信息，降低了對陣列結(jié)構(gòu)和陣元一致性的約束，使其適用于陣元幾何分布不規(guī)則且大部分陣元未經(jīng)校準(zhǔn)的陣列．此外，該方法無需譜峰搜索和二維參數(shù)配對，計算簡單且估計精度較高，適合工程應(yīng)用．最后給出了該方法的實施步驟，并通過仿真實驗驗證了其有效性．

1 陣列結(jié)構(gòu)與信號模型

假設(shè)陣列由M個任意分布的全向陣元構(gòu)成，如圖1所示．令第1個陣元為參考陣元，并將其位置設(shè)為坐標(biāo)原點．遠(yuǎn)場處有K個寬帶LFM信號入射到該陣列上，其中第k個信號的表達(dá)式為

式中fk和 μk分別表示該信號的中心頻率和調(diào)頻率參數(shù)．

圖1 非規(guī)則陣列結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Irregular geometry array

對入射信號進(jìn)行空域與時域聯(lián)合采樣，空域樣本由M個陣元的輸出得到，時域樣本由陣元上的N個延時抽頭的輸出得到，則第 m個陣元上的第 n個延時抽頭的輸出信號為

式中：gm為第 m個陣元的復(fù)增益(幅相誤差)；nm(t)為第 m個陣元上的零均值高斯白噪聲，這里假設(shè)各入射信號之間、各陣元上的噪聲之間以及信號和噪聲之間均不相關(guān)；Ts為時域采樣間隔；τmk為第 k個LFM信號到達(dá)第m個陣元時相對于參考陣元的傳播延時，即

式中：rm為第 m個陣元的位置矢量；θk和 φk分別為第k個入射信號的方位角和俯仰角．

選擇不在同一直線上的3個陣元為引導(dǎo)陣元，不失一般性，假設(shè)它們位于xy平面上，有

并假設(shè)這3個陣元為已校準(zhǔn)陣元，不失一般性，令

需要注意的是，這里假設(shè)除 3個引導(dǎo)陣元外，其余陣元均為非校準(zhǔn)的，即gm與rm(4≤m≤M)均未知．

2 提出的LFM信號二維DOA估計方法

2.1 陣列信號的分?jǐn)?shù)階Fourier變換

一個信號x(t)的旋轉(zhuǎn)角度為α的FrFT定義為

其中Kα(t，u)為變換核函數(shù)，有

對于第k個入射LFM信號，有

令其FrFT為

則 Sk(α，u)在(α，u)平面上將形成一個能量聚集的譜峰[10]，且譜峰位置和譜峰值分別為

式中T為信號的觀測時間長度．

由式(1)和式(2)可知，sk(t)在第 m個陣元上的輸出為

其中

為一個只與延時有關(guān)的常數(shù)．由于 LFM 信號經(jīng)過延時后調(diào)頻率保持不變，令smk(t)的FrFT為Smk(α，u)，則Smk(α，u)的譜峰位置和譜峰值分別為

對比式(13)和式(17)，可以得到

式(18)反映了 LFM 信號經(jīng)過延時后在分?jǐn)?shù)階Fourier域的峰值變化情況，其中

考慮到陣元延時 τmk的二次項很小，在實際應(yīng)用中可以忽略，因此上式可以簡寫為

2.2 非規(guī)則部分校準(zhǔn)陣列下的二維DOA估計

由第2.1節(jié)的分析可知，不同的陣元接收到同一個 LFM 信號后，各陣元的輸出會在相同的分?jǐn)?shù)階Fourier域上達(dá)到能量聚集，而陣元之間的延時則會影響譜峰出現(xiàn)的位置和峰值大?。捎?FrFT是一種線性變換，根據(jù)其可加性可知，K個 LFM 信號在陣元上的疊加會在K個不同的分?jǐn)?shù)階Fourier域上出現(xiàn)峰值，因此通過選取不同的峰值點數(shù)據(jù)即可實現(xiàn)各LFM 信號的分離，從而簡化數(shù)據(jù)模型．對式(2)的兩端進(jìn)行FrFT可以得到

其中

由于不同的入射信號具有不同的時頻特性，在第k個LFM信號對應(yīng)的峰值點處，其他信號均未達(dá)到能量聚集，取值可以忽略，即

為了估計第k個LFM信號的二維DOA參數(shù)，選擇該信號對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Fourier域峰值點數(shù)據(jù)作為陣元上的觀測數(shù)據(jù)，并定義參考陣元與各陣元的時頻輸出的互相關(guān)函數(shù)為

由于 FrFT不改變高斯白噪聲的統(tǒng)計特性[11]，因此式(25)可以化簡為

當(dāng)拉張伸展的方向與前一地質(zhì)歷史時期的擠壓方向近于相反時，基底中的逆沖體系易發(fā)生應(yīng)力集中，從而發(fā)生負(fù)反轉(zhuǎn)作用。在負(fù)反轉(zhuǎn)作用過程中，逆沖斷層能否重新活動取決于兩個主要因素：一是斷層傾角，角度大的較難活動，角度小的較易活動；二是后期疊加的應(yīng)力場方向，應(yīng)力方向垂直于斷層走向的容易，其他方向的較難。前期逆沖上升，上盤地層遭到嚴(yán)重剝蝕，下盤地層保存完整；后期上盤下滑，表現(xiàn)為同期沉積斷層的特征。

對式(26)～式(28)進(jìn)行空時聯(lián)合采樣，即當(dāng) m由 1變到M、n由1變到N時，可以形成相關(guān)矩陣

則式(26)～式(28)的矩陣形式可以分別表示為

式中：Ak為第 k個LFM信號的分?jǐn)?shù)階Fourier域方向向量，Ak=[A1k，A2k，…，AMk]T；Φ1和Φ2分別滿足

定義時頻空DOA矩陣

根據(jù)文獻(xiàn)[12]的結(jié)論，矩陣X和Y的非零特征值分別等于Φ1和Φ2，而且特征值對應(yīng)的特征向量等于信號的方向向量Ak，即

因此，分別對X和Y進(jìn)行特征值分解，即可得到Φ1、Φ2以及 Ak的估計．由式(3)～式(6)以及式(34)、式(35)可得

需要指出的是，該方法利用了不同的 LFM 信號在不同的分?jǐn)?shù)階 Fourier域上達(dá)到能量聚集這一特點，通過不斷改變 FrFT的階次實現(xiàn)各入射 LFM信號的分離，然后逐一估計出它們的二維 DOA參數(shù)，因此該方法無需額外的二維參數(shù)配對過程，減少了計算量．此外，該方法不僅能夠估計出入射信號的DOA參數(shù)，還可以得到各入射信號的陣列響應(yīng)矩陣Ak(k=1，2，…，K)，該矩陣在陣列校正等應(yīng)用中具有重要的作用．

2.3 有色噪聲情況

上述分析均假設(shè)陣元上的噪聲為白噪聲，然而在實際應(yīng)用中，通道輸出中的噪聲經(jīng)常是有色噪聲．針對這一情況，對所提方法進(jìn)行如下修正．

假設(shè)不同陣元間的噪聲互不相關(guān)，即

利用陣元間的不相關(guān)性，將式(26)修正為

同理，式(27)和式(28)也可修正為

因此同樣有式(31)～式(33)成立，接下來仍可采用所提方法實現(xiàn)DOA以及陣列響應(yīng)的估計．需要注意的是，此時向量Ak和RS需要在前述形式的基礎(chǔ)上做相應(yīng)的抽取，導(dǎo)致陣列的有效孔徑略有下降．

2.4 算法的實施步驟

總結(jié)以上的分析，將算法的主要步驟歸納如下：

(1) 對參考陣元上的觀測信號進(jìn)行連續(xù)變化階次的 FrFT，并對(α，u)平面做二維搜索，通過譜峰個數(shù)估計出入射 LFM 信號的個數(shù)，并記錄各入射信號對應(yīng)的譜峰位置(αk，uk)；

(2) 對各個陣元以及陣元上的延時抽頭的輸出信號進(jìn)行角度為αk的FrFT并做一維搜索，得到相應(yīng)的峰值點數(shù)據(jù)作為該陣元的時頻輸出；

(3) 構(gòu)造式(29)所示的相關(guān)矩陣R1、R2以及R3，并按照式(36)和式(37)計算時頻空DOA矩陣X和Y；

(4) 分別對X和Y進(jìn)行特征值分解，通過非零特征值以及對應(yīng)的特征向量估計Φ1、Φ2以及Ak的值，進(jìn)而按照式(41)和式(42)估計出第k個LFM信號的方位角與俯仰角；

(5) 重復(fù)步驟(2)～(4)，直至估計出所有入射信號的二維DOA參數(shù)．

另外，在上述譜峰搜索過程中采用“粗掃描+細(xì)掃描”的二階搜索方法，可以大大減少算法的運算復(fù)雜度．

3 仿真實驗

3.1 本文方法的估計性能分析實驗

構(gòu)造一個8陣元的非規(guī)則立體陣，并選取3個不在同一直線上的陣元作為引導(dǎo)陣元．除引導(dǎo)陣元外，隨機選取其余陣元的復(fù)增益 gm．3個相互獨立的等幅寬帶 LFM 信號分別以入射角(60°，25°)、(45°，55°)、(30°，70°)入射到陣列上，信號的初始參數(shù)分別設(shè)置為：f1=20,MHz，μ1=-0.066,MHz/μs，f2= -10,MHz，μ2=0.08,MHz/μs，f3=10,MHz，μ3= 0.015,MHz/μs．采樣頻率為100,MHz，快拍數(shù)為501，引導(dǎo)陣元上的延時抽頭個數(shù)為20，陣元噪聲為10 dB的高斯白噪聲．圖2為參考陣元上觀測信號的連續(xù)變化階次FrFT的二維掃描譜．

圖2 入射信號的二維FrFT掃描譜Fig.2 2-D FrFT scan spectrum of incident signals

從圖2中可以看出，在(α，u)平面上存在3個明顯的譜峰，分別對應(yīng)于 3個入射信號．利用本文方法對上述3個LFM信號進(jìn)行二維DOA估計，重復(fù)進(jìn)行50次獨立實驗，得到的估計結(jié)果如圖3所示．

圖3 入射信號的二維DOA估計結(jié)果Fig.3 2-D DOA estimation result of incident signals

另外，利用本文方法對3個入射信號的陣列響應(yīng)向量 Ak(k=1，2，3)進(jìn)行估計．為了評價估計精度，定義第k個信號的陣列響應(yīng)的估計誤差為

顯然，有 0≤ERRk≤1成立．表 1給出了幾種信噪比情況下的平均估計誤差．

表1 陣列響應(yīng)估計誤差與信噪比的關(guān)系Tab.1 Estimation error of array response vs SNR

通過圖 3和表 1可以看出，利用本文提出的方法，可以在非規(guī)則部分校準(zhǔn)陣列條件下估計出多個LFM信號的二維DOA以及陣列響應(yīng)，且具有較高的精度．

3.2 本文方法和傳統(tǒng)方法的性能比較實驗

采用 8陣元的雙平行線陣，陣元間距 dx=dy= 10．入射信號以及其他各項參數(shù)的設(shè)置均和第3.1節(jié)相同．分別利用本文方法以及文獻(xiàn)[9]提出的 FrFTESPRIT算法對各入射信號的二維 DOA進(jìn)行估計．圖4和圖5分別給出了2種方法的DOA估計成功概率以及均方根誤差(root mean square error，RMSE)隨信噪比變化的曲線，所有仿真結(jié)果均為100次獨立實驗的平均．這里選擇DOA估計的絕對誤差小于 3°作為成功估計的標(biāo)準(zhǔn)，并定義第 k個入射信號的二維DOA估計的RMSE為

圖4和圖5表明，相比于傳統(tǒng)方法，本文方法具有更低的信噪比門限．在 DOA估計的 RMSE相同時，與傳統(tǒng)方法相比，本文方法可獲得 6～8 dB的信噪比增益．

圖4 DOA估計的成功概率隨信噪比的變化曲線Fig.4 Success probability of DOA estimation versus SNR

圖5 DOA估計的均方根誤差隨信噪比的變化曲線Fig.5 RMSE of DOA estimation versus SNR

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于FrFT的寬帶LFM信號二維DOA估計新方法．該方法通過更加復(fù)雜的空時聯(lián)合采樣結(jié)構(gòu)挖掘觀測信號所包含的有用信息，克服了傳統(tǒng)方法對陣列結(jié)構(gòu)以及陣元一致性的限制，且具有更好的空間分辨性能和更低的信噪比門限．此外，該方法無需譜峰搜索和二維參數(shù)配對過程，能夠在估計信號二維DOA參數(shù)的同時獲得相應(yīng)的陣列響應(yīng)，進(jìn)一步擴展了其應(yīng)用范圍．仿真實驗的結(jié)果證明了本文方法的有效性．

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2-D DOA Estimation of Wideband LFM Signals in Partly Calibrated Irregular Array

LUO Peng，LIU Kai-hua，SHI Wei-guang，YAN Ge
(School of Electronic Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A novel 2-D direction of arrival(DOA)estimation method for wideband linear frequency modulation(LFM)signals was proposed. The incident signals were sampled in spatial domain and time domain synchronously，and a new time-frequency spatial DOA matrix was constructed based on the peak values of the observation samples in fractional Fourier domain. Moreover，the source DOAs were estimated by the eigen-decomposition process. Owing to sufficient mining of the time-frequency information included in observed signals，this method has a lower constraint of array structure，and can be applied to partly calibrated array with arbitrary geometry structure. Moreover，no spectral peak searching is needed in the method，and the parameters match automatically in the process. Simulation results show that the DOA estimation method in this paper can obtain 6—8 dB signal-to-noise ratio gain compared with the conventional method.

array signal processing；2-D DOA estimation；fractional Fourier transform；wideband LFM signal；partly calibrated array

TN911.72

A

0493-2137(2012)04-0325-06

2010-12-02；

2011-04-22.

國家自然科學(xué)基金資助項目(60872001).

羅 蓬（1984— ），男，博士研究生，luopeng1984@sohu.com.

劉開華，liukaihua@tju.edu.cn.