楊 剛

（陜西理工學院數(shù)學與計算機科學學院，陜西 漢中723000）

0 引言

同數(shù)理統(tǒng)計教材相比，一般統(tǒng)計學教材中假設檢驗的方法和步驟常常顯得十分簡潔、直觀，但這樣做的缺點也很明顯：一些數(shù)學推理過程被屏蔽起來，解題過程十分抽象、步驟間跨度較大，推理不清晰。這樣的教材對非統(tǒng)計學專業(yè)和非數(shù)學專業(yè)的教師、學生而言無疑大大加重了他們講解、學習這門課程的難度，使他們感到假設檢驗的過程十分抽象，令人困惑。因此在教學過程中，把這些被許多統(tǒng)計學教材沒有涉及到的推理內容搞清楚是十分必要的。

1 假設檢驗的基本思想

1.1 假設檢驗采用的邏輯推理方法是反證法

為了檢驗某假設是否成立，先假定它正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設而導致的結果是否合理，從而判斷是否接受原假設。

假設檢驗使用了一種類似于“反證法”的推理方法，它的特點是[1]：

（1）先假設總體某項假設成立，計算其會導致什么結果產(chǎn)生。若導致不合理現(xiàn)象產(chǎn)生，則拒絕原先的假設。若并不導致不合理的現(xiàn)象產(chǎn)生，則不能拒絕原先假設，從而“接受”原先假設。

（2）它又不同于一般的反證法。所謂不合理現(xiàn)象產(chǎn)生，并非指形式邏輯上的絕對矛盾，而是基于小概率原理。

1.2 進行假設檢驗的基本原理是小概率原理[2]

小概率原理是指發(fā)生概率很小的隨機事件在一次實驗或個別實驗中是幾乎不可能發(fā)生的。如果在原假設成立的前提下發(fā)生了小概率事件，則認為原假設是不合理的；反之，如果小概率事件沒有發(fā)生，則沒有證據(jù)拒絕原假設。

假設檢驗是基于樣本資料來推斷總體特征的，而這種推斷是在一定概率置信度下進行的，而非嚴格的邏輯證明。因此，置信度大小的不同，有可能做出不同的判斷。

2 雙側檢驗拒絕域的確定

在雙側檢驗問題中，一般統(tǒng)計學教材中的解題步驟簡潔、清晰，但推理過程含混、抽象，甚至一些推理略而不提。不妨以一個總體的總體均值和正態(tài)總體方差的假設檢驗為例。

2.1 總體均值的雙側假設檢驗

例1：某機床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為μ0＝0.081mm。今換一種新機床進行加工，抽取n＝200個零件進行檢驗，得到的橢圓度均值為0.076mm，樣本標準差為s＝0.025mm。問新機床加工零件的橢圓度的均值與以前有無顯著差異[2]？（α＝0.05）。

許多統(tǒng)計學教材中對此題的求解過程如下：解：H0：μ＝0.081，認為新舊機床加工零件的橢圓度的均值沒有顯著差異；

H1：μ≠0.081，認為新舊機床加工零件的橢圓度的均值有顯著差異；

由題意可知這是一個雙側檢驗問題，拒絕域應該在抽樣分布曲線的左、右尾部，如圖1所示。

由題意可知，μ0＝0.081mm，s＝0.025mm，＝0.076mm，n＝200。由于大樣本，故可以用z統(tǒng)計量。

在顯著性水平α＝0.05下，拒絕H0，認為新舊機床加工零件的橢圓度的均值有顯著差異。

圖1 雙側檢驗示意圖

在上述解法中，為什么本題是雙側檢驗而不是左單側檢驗或右單側檢驗，因其講述不清，沒有令人可信的數(shù)學推理過程，因此很有必要把上面解題過程中為什么采用雙側檢驗的原因搞清楚。

由于要檢驗的假設涉及總體均值，故可借助于樣本均值來判斷。因為是μ的無偏估計量。所以，若H0為真，則不應太大，又1），故衡量的大小可歸結為衡量的大小[3]。于是可以選定一個適當?shù)恼龜?shù)k，當觀察值滿足時，拒絕假設H0。反之，當觀察值滿足時，接受假設H0。因為當H0為真時），由標準正態(tài)分布分位數(shù)的定義：

令k＝zα／2，當時，拒絕 H0；當時，不拒絕H0。

這就是一般統(tǒng)計學教材中進行雙側假設檢驗時沒有涉及到的內容（甚至一些數(shù)理統(tǒng)計教材中也沒有涉及到）。

2.2 正態(tài)總體方差的雙側假設檢驗

設總體 X ～ N（μ，σ2），其中μ、σ2均未知，X1，X2，…，Xn為來自總體X的樣本（樣本容量為n），由樣本可以計算出樣本方差為s2。（已知顯著性水平為α）

如果遇到如下的雙側檢驗問題：H0：σ2＝，H1：σ2≠，其中σ0為已知常數(shù)。

由于s2是σ2的無偏估計，則當H0為真時，比值在1的附近擺動，此值不應該過分大于1或者過分小于1。由抽樣分布的相關定理可知：

當H0為真時取作為統(tǒng)計量則拒絕域的形式為：

P（當 H0為 真， 拒 絕為了計算方便，習慣上取由χ2分位數(shù)的定義得：

又因為n＝26，α＝0.02，由題意可用χ2檢驗。查表 可 得（n － 1）＝（25）＝ 44.314，（n－1）＝（25）＝11.524，故拒絕域為：

在上述推理的基礎上，關于正態(tài)總體方差的雙側檢驗問題常常在統(tǒng)計學教材中就可以按照下列例2所示的簡潔過程進行假設檢驗。這也是統(tǒng)計學教材中強調統(tǒng)計方法的具體應用，淡化推理推導的思想的具體體現(xiàn)。

例2：某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其壽命長期以來服從方差σ2＝5 000（h2）的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所變化。現(xiàn)隨機取26只電池，測出其壽命的樣本方差s2＝9 200（h2）。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化？（α＝0.02）

解：由題意：H0：σ2＝5 000，H1：σ2≠5 000，

3 單側檢驗拒絕域的確定

不妨以一個總體的總體均值的右單側假設檢驗為例。

例3：某工廠生產(chǎn)的一種電子元件，在正常情況下，其使用壽命X（h）服從正態(tài)分布 N（2 500，1202）。某日從該廠生產(chǎn)的一批這種電子元件中隨機抽取16個，測得樣本均值假定電子元件壽命的方差不變，問能否認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值不小于2 500（h）？（α＝0.05）

首先分析問題：由題意可以設計原假設和備擇假設如下：

H0：μ≥2 500；H1：μ＜2 500，這里μ0＝2 500，σ0＝120。又由抽樣分布的相關定理可選z＝作為統(tǒng)計量。又因為是μ的無偏估計，當H0成立時大一些較為合理，它較小就不合理了，因此較小是小概率事件。如果記P（z＜b）＝α，但是，由于μ≥μ0。因此，μ0不是正態(tài)總體的均值，從而z的分布未知，在此我們無法求得b值。為此，再另選一個統(tǒng)計量它服從標準正態(tài)分布。當H0成立時，有z＊≤z，于是有：P（z＜b）≤P（z＊＜b），這表明事件（z＜b）是比事件（z＊＜b）發(fā)生的概率還要小的小概率事件[4]。因此，只要令P（z＊＜b）＝α，由于z＊服從標準正態(tài)分布，查表得b＝－zα，從而有：P（z＜－zα）≤α，于是H0的拒絕域為：z＜－zα。

在上述推理的基礎上，許多統(tǒng)計學教材上的解法如下：

解：H0：μ≥2 500，認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值不顯著小于2 500（h）；

H1：μ＜2 500，認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值顯著小于2 500（h）；

又因為：μ0＝2 500，σ0＝120，n＝16，故可以采用z統(tǒng)計量

又因為顯著性水平α＝0.05，查表得zd＝z0.05＝1.645，此 時－2.17，故z＜－zα，于是拒絕H0，接受H1。即認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值μ顯著小于2 500（h）。

對于一個總體參數(shù)的其他假設檢驗問題可以按照類似的方法進行推理，此處不再贅述。

4 結語

假設檢驗是推斷統(tǒng)計的重要內容之一，對它進行深入的理解和掌握是十分重要的。但由于現(xiàn)行的許多統(tǒng)計學教材變重應用而輕推理的思想的影響，導致假設檢驗求解過程被簡化、淡化。殊不知這從另一方面反而加重了教師、學生學習統(tǒng)計學的難度，在某些院校一定程度上造成了這門課程教師不愿教或教不透，學生不愿學或學不懂的局面，建議在統(tǒng)計學教材中應該適當補充一些基本的推理、推導過程，這樣才能使這門課程顯得比較通俗易懂。

[1]MBA智庫百科.假設檢驗[OL].廈門：MBA智庫百科，2008[2012－04－26].http：／／wiki.mbalib.com／wiki／假設檢驗.html.

[2]賈俊平，何曉群，金勇進.統(tǒng)計學[M].4版.北京：中國人民大學出版社，2009：212－214.

[3]教學資源庫.遼寧石油化工大學－概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案08[OL].上海：教學資源庫，2008[2012－04－26].http：／／down.math.org.cn／dispbbs.asp？boardid＝40＆Id＝3504.

[4]李曉紅.假設檢驗中原假設的選取問題[J].平原大學學報，2006，23（6）：122－124.