姚山峰，賀 青，熊瑾煜

(盲信號處理國家重點實驗室，成都610041)

無源時差定位是一種高精度的定位體制，它利用多個傳感器接收來波信號的到達時間差(Time Difference of Arrival，TDOA)和輻射源位置之間存在的幾何關(guān)系來對目標定位，具有高度的隱蔽性、廣泛的實用性和精確的目標識別特性等優(yōu)勢［1－2］。目前，時差定位技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，在軍事、工業(yè)、氣象、移動通信和無線傳感器定位等領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用。近年來，國內(nèi)外關(guān)于時差定位的研究很多，取得了大量成果。根據(jù)時差測量值得到的定位方程組具有非線性特點，通常需要先將其轉(zhuǎn)化為線性方程組之后進行求解。文獻［1］采用二重最小二乘算法給出了定位方程組的非迭代閉式解，在時差測量誤差比較小時，具有最優(yōu)估計性能，但隨著時差測量誤差的增加，該算法性能迅速下降。泰勒級數(shù)展開算法［2］是求解非線性方程的有效方法，具有精度高、魯棒性強等特點。但是它要求迭代運算的初始值必須具有一定的準確度才能夠保證比較快的收斂速度，而且算法是否收斂與初始值有關(guān)。文獻［3］使用最小二乘算法估計目標初始位置，然后通過泰勒迭代算法得到目標真實值，該算法既具有泰勒級數(shù)展開算法精度高、魯棒性強的優(yōu)點，又克服了泰勒級數(shù)展開算法在某些條件下無法收斂的缺點。文獻［4］對多信號交疊環(huán)境下的時差定位算法進行了研究。文獻［5］指出時差定位系統(tǒng)的定位精度與站址誤差及時差測量誤差，目標與觀測站之間幾何位置等因素有關(guān)，文獻［6－8］針對平面時差定位與三星時差定位精度問題，討論了目標位置、觀測站位置、時間測量誤差和觀測站站址誤差對定位精度的影響。針對目標與觀測站之間的幾何位置對定位精度的影響，文獻［9］使用加權(quán)離散搜索優(yōu)化算法求解網(wǎng)內(nèi)各觀測器每一時刻的最佳觀測位置，實現(xiàn)移動平臺無源傳感器網(wǎng)絡(luò)的實時優(yōu)化部署，該算法通過在最佳位置測量目標輻射源的到達時間差，完成目標運動分析，提高了對運動目標的定位跟蹤精度。這些研究成果主要集中在定位求解算法、不同特性信號的時差估計算法、定位精度分析、布站優(yōu)化等方面［1－10］，而對于時差定位系統(tǒng)性能指標的實驗驗證，相關(guān)研究并不多見。目前，在場地和其他條件受限的情況下，縮比實驗是測試時差定位系統(tǒng)性能的途徑之一，具有規(guī)模小、成本低、可行性高等優(yōu)點，是工程實踐中經(jīng)常采用的一種驗證辦法?？s比實驗技術(shù)指在滿足一定條件下，將真實系統(tǒng)按一定縮尺比例縮小(或放大)成便于測試的模型系統(tǒng)，通過對模型系統(tǒng)的研究和測試，得到真實系統(tǒng)中的規(guī)律［11］。縮比實驗以其可實現(xiàn)性強、重復(fù)性好、實驗數(shù)據(jù)可靠等優(yōu)點，在 RCS 測量［12］、空氣動力測量［13］、射頻仿真［14］等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

本文針對時差定位系統(tǒng)性能指標受場地、經(jīng)費等條件所限不能進行實際場景驗證的問題，對時差定位系統(tǒng)的縮比試驗方法展開了研究，從理論上推導(dǎo)縮比模型與真實場景的可比性，為時差定位系統(tǒng)的縮比試驗提供理論支持。論文首先對時差定位原理與定位精度進行分析，得出了時差定位誤差的克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)，然后重點從幾何相似性和時差測量精度相似性兩個方面對縮比模型和實際模型進行了分析比較。本文的研究可為時差定位系統(tǒng)性能測試提供了一種可行的驗證方式。

1 時差定位原理與定位精度

時差定位又稱為雙曲線定位，是一種重要的無源定位方法，它是通過處理三個或更多個觀測站采集到信號之間的到達時間差，通過幾何關(guān)系計算實現(xiàn)定位。對于二維平面內(nèi)的目標輻射源，利用輻射源信號到達兩觀測站的時間差即可確定一對以兩站為焦點的雙曲線，通過布置三個觀測站就可形成兩對雙曲線來產(chǎn)生交點，以確定輻射源的位置。若要確定三維空間內(nèi)任意目標輻射源，輻射源信號到達兩觀測站的時間差確定了一對以兩站為焦點的雙曲面，則至少需要四個站形成三個單邊雙曲面來產(chǎn)生交點，以確定輻射源的位置。二維平面時差定位系統(tǒng)的示意圖如圖1所示。

圖1 時差定位原理示意圖

圖1中，目標輻射源位于x處，N個觀測站分別位于 xi處，而 i=0，1，….N－1，目標輻射源到第 i個觀測站的距離矢量為ri。選定x0為主站，其余觀測站為副站，則根據(jù)目標信號到達主站與副站的時間差就可以得到N－1條單邊雙曲線，這N－1條單邊雙曲線的交點即為目標輻射源位置。根據(jù)觀測站估計出的時差可以寫出如下N－1個定位方程

其中:ri=xi－x;r0=x0－x;c為光速;ni為時差測量噪聲。

通過求解定位方程組即可實現(xiàn)對目標輻射源的定位，寫成矩陣的形式為

其中:t為觀測矢量;x為待估計矢量;n為噪聲矢量;

通過最小二乘即可得到x的估計^x。

根據(jù)統(tǒng)計信號處理理論，任意無偏估計量的估計誤差方差即均方誤差(MSE)都不能低于某個下界，這就是克拉美羅下界(CRLB)［15］。在高斯白噪聲條件下的時差定位系統(tǒng)中，目標位置x的CRLB為:

式中，F(xiàn)(x)為關(guān)于待估計矢量x的Fisher信息矩陣

式中，Qt表示時差測量向量的協(xié)方差矩陣，J為雅可比矩陣

于是，定位誤差的CRLB為［16］

其中，tr(·)表示矩陣求跡運算。

由式(7)可以看出，定位誤差的CRLB與目標位置、觀測站位置以及時差測量精度有關(guān)。

在實際工程中，除了定位誤差之外，還常用相對誤差來衡量無源定位系統(tǒng)的定位精度，相對誤差定義為定位誤差與目標輻射源到主站的距離之間的百分比

2 縮比模型相似性分析

當受測試場地、實驗條件、研究經(jīng)費等因素限制，無法對時差定位系統(tǒng)進行實驗驗證時，可考慮采用縮比實驗，將真實系統(tǒng)按一定縮尺比例縮小(或放大)成便于測試的模型系統(tǒng)，通過對模型系統(tǒng)的研究和測試，驗證真實系統(tǒng)的性能。

對于無源時差定位系統(tǒng)，為了使時差定位縮比實驗結(jié)果能反推出原始系統(tǒng)的定位性能，需要了解縮比模型與原始場景的相似關(guān)系，得到縮比模型與原始場景之間定位誤差的比例關(guān)系。

2.1 幾何相似分析

按照幾何相似原則，將觀測站與目標輻射源位置以1∶δl的比例幾何等比縮小，δl稱為相似比或縮放因子。圖2中目標輻射源由x處縮小δl倍到x'處，N個觀測站分別由xi縮放到x'i，此時目標輻射源到每個觀測站的距離也縮小了δl倍。

圖2 幾何縮比場景示意圖

此時定位方程

其中:r'i=x'－x'i;r'0=x'－x'0;n'i為時差測量噪聲。

同理，x'的 CRLB為

式中，Qt表示時差測量向量的協(xié)方差矩陣，J'為雅可比矩陣

其中，

觀察式(6)、式(14)，可得

也就是說，與原始場景相比，縮比模型條件下的雅可比矩陣并沒有發(fā)生變化，這是不難理解的，

因為當滿足幾何相似縮比時，縮比場景中觀測站與目標輻射源之間的幾何結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)生變化，從而縮比實驗時，幾何因子對CRLB的影響并不會發(fā)生變化。而通過前文對定位誤差CRLB的分析可知，定位精度的CRLB除了與觀測站與目標輻射源之間的幾何關(guān)系有關(guān)之外，還與

時差測量精度有關(guān)，下面將繼續(xù)分析時差測量精度的相似關(guān)系。

2.2 時差測量精度相似性分析

時差測量誤差由相互獨立的系統(tǒng)固有誤差與時差估計算法的誤差兩部分組成。其中，系統(tǒng)固有誤差包括觀測站之間的時間同步誤差與接收預(yù)處理系統(tǒng)中天線、接收機、變頻器、A/D采集卡、放大模塊以及傳輸線纜等將引入的時延差等，與目標位置與輻射信號特性無關(guān)，可通過校正算法消除;時差估計算法的誤差受信號帶寬、積累時間、信噪比等因素的影響，與目標位置與輻射信號特性有關(guān)。

針對矩形譜信號的時差估計誤差，文獻［17］指出，采用最優(yōu)估計所能達到的時差估計精度為

其中:B為帶寬;T為時寬;γ為等效輸出信噪比

可見，信號帶寬、積累時間以及信噪比通過影響時差測量精度可以間接地對定位誤差產(chǎn)生影響。帶寬縮放系數(shù)δB、時寬縮放系數(shù)δT、信噪比δγ的縮放相似比與時差測量誤差縮放相似比之間的關(guān)系為

同時，信噪比由信號功率和噪聲功率決定，而環(huán)境噪聲與熱噪聲對于原始場景與縮比模型中時差定位系統(tǒng)的影響是一致的，當至少一路信噪比較高時，γ≈2γ1γ2/(γ1+γ2)，此時 δγ=δP/δ2l，其中，δP為發(fā)射信號功率的縮放相似比。于是

當信號帶寬縮放因子為δB，積累時寬縮放因子為δT，信號發(fā)射功率縮放因子為δP時，觀測站的接收功率將縮放 δP/δl，輸出信噪比同比縮放 δP/δl，估計誤差縮放因子為

當通過參考源等方法校正系統(tǒng)固有誤差使其可以忽略時，縮比模型中定位誤差將會減小倍，相對誤差將變?yōu)樵瓉淼漠斈繕溯椛湓吹男盘枀?shù)不發(fā)生變化，只是地理位置發(fā)生幾何縮比時，δB=1，δT=1，δP=1，定位誤差將會減小 δl倍，相對誤差將保持不變。

當在原始場景與縮比模型中系統(tǒng)固有誤差對時差測量精度起主要作用時，原始場景與縮比模型的時差測量誤差主要由時間同步誤差與系統(tǒng)傳輸時延差決定。此時，原始場景與縮比模型的時差測量精度一致，Q't=Qt，縮比后x'處定位誤差的CRLB保持不變，相對誤差將增大δl倍。

在實際系統(tǒng)中，每個觀測站的時間頻率基準源大多通過GPS馴服銣原子鐘獲得高精度的秒脈沖與基準頻率，由于觀測站之間相距較遠，在不同的接收位置時鐘頻率基準源的收星條件不同，以及GPS信號在電離層與對流層的延遲不同，導(dǎo)致觀測站之間的秒脈沖存在一定的偏差，即時間同步誤差。在縮比模型中，各個觀測站之間的距離相差不大，收星條件基本相同，此時的時間同步誤差較小。然而，這個偏差一般是緩慢變化的，在一定時間范圍內(nèi)，可以認為是一個固有的時差，工程應(yīng)用中常通過引入?yún)⒖颊镜姆椒ㄓ枰孕Ｕ?。在系統(tǒng)固有誤差得到校正以后，影響實際系統(tǒng)與縮比模型定位精度的因素主要為目標位置與輻射信號參數(shù)。當縮比模型中目標輻射源信號參數(shù)與實際系統(tǒng)中的目標輻射源信號參數(shù)相同，即δB=1，δT=1，δP=1 時，縮比模型中的定位誤差將會減小δl倍，相對誤差保持不變;當縮比模型中目標輻射信號功率縮比因子為δl，帶寬、時寬保持不變時，定位誤差保持不變，相對誤差將會減小δl倍。

3 仿真分析與實驗驗證

下面在前文建立的縮比模型基礎(chǔ)上，針對不同的實驗條件進行三站二維平面時差定位性能仿真分析與外場實驗驗證。

實驗中，觀測站位置信息如下表所示，時差測量精度為50 ns，幾何縮比因子為10，也就是當原始場景的X軸分析范圍為(－200，200)，Y軸分析范圍為(－200，200)時，縮比后X 軸的等效分析范圍為(－20，20)，Y 軸等效分析范圍為(－20，20)，單位為 km。

表1 觀測站位置

在表1的觀測站布站條件下，原始場景的定位誤差分布圖如圖3所示，其中絕對誤差分布圖中絕對誤差等值線的單位為km，相對誤差分布圖中的相對誤差為一無量綱的百分比系數(shù)，下文中的圖5、圖7與之相同。

圖3 原始場景定位誤差分布圖

假設(shè)目標輻射源位于(100，0)處，采用Chan算法直接求解目標位置，經(jīng)過200次蒙特卡洛仿真得到定位結(jié)果如圖4(a)所示，定位誤差曲線如圖4(b)所示。

圖4 原始場景定位結(jié)果統(tǒng)計圖

可見，在表1的觀測站布站條件下，當時差測量精度為50 ns時，對于(100，0)處的目標，定位誤差均值為 976.8 m，相對誤差為 0.98%。

幾何縮比10倍，時差測量精度不變時的誤差分布圖如圖5所示，此時由于時差測量精度不變，在相同的等效分析范圍內(nèi)，定位誤差不變，相對誤差將增大10倍，原本相對誤差小于1%的區(qū)域?qū)?yīng)的縮比等效范圍內(nèi)的相對誤差將達到10%。通過對比圖3、圖5可以發(fā)現(xiàn)，當時差測量誤差保持不變時，原場景與縮比后等效范圍內(nèi)的定位誤差曲線相同，在原場景中的(100，0)處的定位誤差約為1 km，相對誤差為1%，對應(yīng)于縮比模型中的(10，0)km處，縮比模型中的定位誤差同樣為1 km，相對誤差為10%，即定位誤差不變，相對誤差將增大了10倍。

圖5 時差測量精度不變時縮比模型的定位誤差分布圖

外場實驗中，采用一距實驗場地10 km的車載電臺發(fā)射QPSK信號，選擇同一方向的某廣播信號作為參考源校正系統(tǒng)固有誤差。換算到以主站為坐標原點的測站坐標系下，電臺位置為(10，0)，輻射信號帶寬為36 kHz，積累時間為100 ms，調(diào)整車載電臺的發(fā)射功率使得接收信噪比為15 dB，此時，利用CAF算法進行時差估計的精度為50 ns，定位結(jié)果與定位誤差曲線如圖6所示。

圖6 縮比模型下外場實驗定位結(jié)果統(tǒng)計圖

可見，當目標輻射源由原始場景中的(100，0)處縮放10倍，變?yōu)榭s比模型中的(10，0)處時，縮比模型下的定位誤差均值為983.2 m，與相同仿真條件下原始場景中的定位誤差相同，縮比模型下的相對定位誤差為9.83%，與原始場景中的相對定位誤差相比，增大了大于10倍，這與前文的結(jié)論一致。

幾何縮比10倍，忽略固有誤差的影響，當信號參數(shù)與發(fā)射功率保持不變時的誤差分布圖如圖7所示。

圖7 信號參數(shù)不變時的誤差分布(幾何縮比10倍，忽略固有誤差)

此時由于信號發(fā)射功率不變，目標輻射源到觀測站的距離減小了10倍，相當于 δB=1，δT=1，δP=1，δl=10，時差估計誤差將減小10倍，因此，在相同的等效分析范圍內(nèi)絕對定位誤差將減小10倍，相對定位誤差與原場景保持一致。

綜上，文中對原始場景以1∶10的比例幾何等比縮小后，進行了2組仿真實驗并利用外場實驗結(jié)果與仿真分析結(jié)果進行了比對。當幾何縮比10倍，時差測量精度不變時，圖5所示縮比后對應(yīng)分析范圍內(nèi)的絕對誤差分布與原場景絕對誤差分布情況一致，相對誤差分布增大了10倍，外場實驗結(jié)果與仿真分析一致。圖7所示信號參數(shù)條件保持不變時的誤差分布圖反映了當目標輻射源發(fā)射信號不變、發(fā)射功率不變時，在對應(yīng)分析范圍內(nèi)的目標輻射源，縮比模型下的絕對誤差比原始場景的定位誤差減小了10倍，相對誤差保持不變。

4 結(jié)論

縮比實驗是工程實踐中經(jīng)常采用的一種驗證辦法。如果想測試距主站上百公里以外區(qū)域的定位性能，可以利用縮比實驗測試縮放一定倍數(shù)后縮比模型的定位性能，反推出原始場景中的定位性能。本文分析了時差定位系統(tǒng)原始場景與縮比模型的相似性，通過對信號帶寬、積累時間、發(fā)射功率與時差測量誤差、定位誤差之間縮比關(guān)系的分析，得出了縮比模型下定位誤差的變化規(guī)律:①當系統(tǒng)固有誤差可以忽略，目標輻射源的信號參數(shù)不發(fā)生變化時，在幾何縮比模型中，定位誤差將隨著幾何縮比因子同比縮小，相對誤差保持不變;②當時差測量精度不變時，在幾何縮比模型中，絕對誤差分布與原始場景一致，相對誤差同比增大。實驗結(jié)果證明了采取縮比實驗方案的可行性，可為時差定位系統(tǒng)實驗驗證的開展提供參考依據(jù)。

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