陳鳳祥，孫澤昌，趙治國

(同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，新能源汽車工程中心，上海 201804)

0 引言

諸多經(jīng)典自動控制原理的教材中對傳遞函數(shù)頻率特性的幅角定義十分模糊甚至不準(zhǔn)確，如教材[1]和教材[2]定義成

其中，G(jω)=U(ω)+jV(ω)

文獻(xiàn)[3]盡管沒有顯式定義過幅角的具體形式，但是在公式的推導(dǎo)過程中也應(yīng)用到了該結(jié)果。具體如下:

本文通過定義初探來分析這種定義的合理性。

1 定義初探

幅角y=arctan(x)的值域為(－π/2，π/2)，而∠G(jω)的值原則上至少在(－π，π)是沒有任何限制的，顯然式(1)的定義是存在缺陷的。

[例1]考察傳遞函數(shù) G(jω)=1/(jTω －1)的Nyquist曲線:

故曲線是位于圖1所示的第三象限的半圓中。

圖1 1/(jTω－1)的Nyquist曲線

可見∠G(jω)?(－π，－π/2)，若用式(1)則得

它顯然不符上述結(jié)果。由圖可知，正確的計算結(jié)果應(yīng)該是

[例2]:求傳遞函數(shù) G(jω)=1/(1+2ωj)(1+ ωj)的幅角

根據(jù)定義∠G(jω)=arctan[－3ω/(1 －2ω2)]?(－π/2，π/2)，而實際上根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法原理可以得到∠G(jω)= －arctan2ω －arctanω ?(－π，0)。通過畫Nyquist曲線，可以發(fā)現(xiàn)后者是正確的，前者是錯誤的。

既然這樣的定義存在缺陷，又為何沒有引起大家的正視呢?原因在于當(dāng)G1(jω)=1/(jTω+1)或G2(jω)=jτω +1時，它的計算結(jié)果是正確的。因為，此時∠G1(jω)和∠G2(jω)正好落在(-π/2，π/2)范圍內(nèi)，也就是說當(dāng)幅角落在(-π/2，π/2)時，定義式(1)的計算結(jié)果是正確的;另一方面，G(jω)=1/(jTω－1)是一個非最小相位系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)往往在控制論入門級教材中，很少會在課堂上分析其相頻特性和計算幅角。

對于高階系統(tǒng)而言，由于其幅角并沒有完全落在(-π/2，π/2)內(nèi)，因此采用式(1)同樣也是得不到正確的結(jié)果。但這些教材對于高階系統(tǒng)的幅角求取的結(jié)果且是正確的:因為這些教材恰恰并未采用式(1)，而是利用復(fù)數(shù)的乘法原理以及傳遞函數(shù)為有理分式的性質(zhì)進(jìn)行了相關(guān)計算;而且，他們只對如下形式的傳遞函數(shù)幅角進(jìn)行了計算:

上述方法避開了式(1)定義的缺陷。但是從嚴(yán)密的角度而言，作為定義式(1)是需要被明確說明的，因為從式(1)我們無法得到式(5)這樣的結(jié)果。另外，從課堂實際教學(xué)表明，自控專業(yè)的學(xué)生并不一定有扎實的復(fù)變函數(shù)知識，甚至某些專業(yè)的學(xué)生根本沒有學(xué)過復(fù)變函數(shù)的課程，他們對復(fù)數(shù)的掌握還依然停留在高中時的那點(diǎn)基本知識。筆者曾經(jīng)在未解釋式(1)時，讓學(xué)生求取G(jω)=1/(jTω－1)的幅角，最后發(fā)現(xiàn)50位上交作業(yè)的學(xué)生中，沒有一個學(xué)生給出正確的結(jié)果。他們的解答幾乎都采用了式(1)進(jìn)行計算，從而得出∠G(jω)=arctanTω，這也就意味著這樣的定義會誤導(dǎo)學(xué)生，故需要被合理修正或額外的說明，否則容易造成誤解。

2 定義說明

由于幅角本身是一個有無窮多個值，其中任意兩個值相差的整數(shù)倍，而且幅角計算本身也比較復(fù)雜，很難給出簡潔的計算公式[4]。因此，式(1)實際上只是一個形象公式，不能直接用來計算幅角。這是一種非常使人混淆的表述方式。因此，筆者認(rèn)為教材不妨考慮用其它符號式來代替式(1)，來表達(dá)G(jω)的幅角:

此外，考慮到經(jīng)典控制論的傳遞函數(shù)多為一些有理分式

其中 ai，bi，ci，di?R 。考慮到 ai+jbiω ，和 ci+jdiω的幅角值落在(－π，π)之間。因此，幅角計算公式可表述如下:

當(dāng)傳遞函數(shù)中含有純時滯環(huán)節(jié)，則式(8)可表述如下:

這就是現(xiàn)行教課書上所采用的計算方法。我們運(yùn)用公式(8)可計算例一的幅角為∠1/(jTω－1)=－π+arctan(Tω)，即和式(4)完全相同。

3 結(jié)語

本文以G(jω)=1/(jTω－1)和二階系統(tǒng)為例，分析了現(xiàn)存經(jīng)典控制論教課書中傳遞函數(shù)幅角定義的缺陷，最后給出了一個較為完整的幅角定義修正想法和計算公式。雖然式(8)的計算公式比較復(fù)雜，不便記憶，但在實際運(yùn)算時可通過數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行相關(guān)計算。

[1]孔祥東，王益群，控制工程基礎(chǔ)(第3版)，北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2008

[2]Richard C.Dorf Robert H.Bishop著，現(xiàn)代控制系統(tǒng)(第八版)，謝紅衛(wèi)，鄒逢興，張明，等譯，北京:高等教育出版社，2001

[3]胡壽松，自動控制原理(第5版)，北京:科學(xué)出版社，2007

[4]李紅，謝松法，復(fù)變函數(shù)與積分變換，北京:高等教育出版社，施普林格出版社，1999