黃葆華，臧國珍，袁志剛

(解放軍理工大學通信工程學院，江蘇 南京 210007)

0 引言

數(shù)字通信系統(tǒng)誤碼率的分析是“數(shù)字通信原理”課程的一個重要教學內(nèi)容。在研究噪聲對數(shù)字基帶系統(tǒng)誤碼性能的影響時，該課程的教材和教學中一般假設系統(tǒng)是無碼間干擾的，且接收信號是寬度等于碼元間隔的矩形脈沖，推導誤碼率所用數(shù)學模型如圖1所示[1-5]。其中n(t)是單邊功率譜密度為n0的高斯白噪聲，si(t)為發(fā)送端發(fā)送的信號(設信道無衰減)。當0≤t≤T時二進制雙極性時的表達式為

推導得到的最佳數(shù)字基帶系統(tǒng)的誤碼率為

式中，Eb=a2Ts是發(fā)“1”碼或“0”碼時接收信號的比特能量。

圖1 最佳數(shù)字基帶接收機結構

而對于帶限信道，個別教材給出了最佳數(shù)字基帶系統(tǒng)的結構和誤碼率公式[6]。系統(tǒng)框圖如圖2所示，其中信道傳輸特性Hc(f)在信號帶寬范圍內(nèi)為常數(shù)。H(f)=HT(f)·HR(f)為帶限無碼間干擾傳輸特性 。如升余弦滾降特性，HT(f)=HR(f)=，其誤碼率公式則與式(2)相同。

由于教材對帶限最佳系統(tǒng)誤碼性能這部分內(nèi)容的討論不是很充分，而實際信道又都是帶限的，因此在實際應用中會遇到這樣的問題:信道的帶限性使得接收信號不再是寬度為TS的矩形信號，而是一個幅度變化的且時域無限延伸的波形，那么該如何計算誤碼率公式中的比特能量Eb呢?尤其在帶限最佳系統(tǒng)的抗噪聲性能仿真中，如何來設置Eb/n0這個參數(shù)呢?要回答這些實際應用中遇到的問題，須對圖2所示帶限最佳系統(tǒng)的誤碼性能進行推導，搞清楚與系統(tǒng)中其它參數(shù)間的關系。

1 帶限最佳數(shù)字基帶系統(tǒng)誤碼率

不失一般性，設數(shù)字信源的輸出為二進制雙極性隨機沖激序列，幅度為A;信道中的噪聲為高斯白噪聲，單邊功率譜密度為n0;系統(tǒng)傳輸特性為升余弦特性，即有

因此，帶限最佳數(shù)字基帶系統(tǒng)的數(shù)學模型如圖3所示。

圖3 最佳數(shù)字基帶系統(tǒng)數(shù)學模型

如想求得圖3所示系統(tǒng)的抗噪聲性能，須求出用于判決的取樣值(即e點信號)的概率密度函數(shù)。下面分兩種情況討論。

1)發(fā)送“1”碼時

“a”點信號 sa(t)=Aδ(t)，“b”點信號 sb(t)=Aδ(t)*hT(t)，其中

由此可得

顯然，“c”點波形為 sc(t)=sb(t)+n(t)，則可得“d”點波形為

其中，nr(t)為高斯隨機過程，方差為

sr(t)為有用信號部分，其表達式為

濾波器輸出信號波形圖如圖4所示。

圖4 接收濾波器輸出信號波形

在位定時信號的控制下，當sr(t)出現(xiàn)最大值時對sd(t)取樣，圖3中“e”點的最佳取樣值為

式中，nr是高斯隨機過程nr(t)的取樣值，方差與nr(t)相同。因此最佳取樣值se是均值為AB的高斯隨機變量。

2)發(fā)送“0”碼時

“a”點信號 sa(t)=-Aδ(t)，按上面相同的分析過程，得到最佳取樣時刻的取樣值為

它是均值為-AB，方差為σn2=0.5n0B 的高斯隨機變量。

由上述分析結果可得到發(fā):“1”碼和發(fā)“0”碼時最佳取樣值的概率密度函數(shù)，如圖5所示。

圖5 發(fā)“1”，“0”時取樣值的概率密度函數(shù)

當“1”和“0”等概時，可以證明最佳判決門限Vr=0，求得相應的誤碼率為

求接收信號sb(t)波形的能量，可以發(fā)現(xiàn)

將其代入式(4)，可得到與式(2)相同的誤碼率表達式。

由式(5)可見，Eb是發(fā)送一個比特時接收到的時域無限延伸信號的總能量。當信道無衰減時，比特能量Eb只與發(fā)送信號幅度及系統(tǒng)傳輸特性曲線下的面積有關。故當給定信號幅度和系統(tǒng)傳輸特性后，即可確定比特能量Eb。

2 基于System View的性能仿真

根據(jù)圖3所示的最佳帶限系統(tǒng)數(shù)學模型，在System View平臺上構建的仿真系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 帶限信道最佳數(shù)字基帶系統(tǒng)System View仿真

圖6中的圖符0、1和2構成信源，產(chǎn)生二進制雙極性隨機沖激序列。圖符5、6分別為平方根升余弦特性的發(fā)送和接收濾波器，圖符7、8和20仿真功率譜密度可變的加性高斯白噪聲信道，圖符14、10實現(xiàn)在最佳時刻取樣，圖符9完成判決，圖符16～19對誤碼率進行統(tǒng)計，圖符19顯示誤碼率。

根據(jù)式(5)，設置信源參數(shù)和升余弦傳輸特性即可確定接收信號的比特能量Eb。本仿真系統(tǒng)中，我們設置升余弦傳輸特性的帶寬為B=2000Hz，A=5×10－7V ，即 Eb=5 ×10－10J。再將圖符 8 中的功率譜密度n0設置為 5×10－10W/Hz，使初始 Eb/n0=0dB。再適當設置可變增益圖符20的參數(shù)以改變n0的大小，使Eb/n0從0dB開始每次遞增1dB至9dB。仿真得到的誤碼率曲線如圖7所示。將其與式(2)所示的理論誤碼率比較，可見仿真結果與理論值幾乎重合。

圖7 仿真誤碼率與理論誤碼率曲線

3 結語

本文對帶限信道最佳數(shù)字基帶系統(tǒng)的誤碼性能進行了推導。通過推導明確了帶限信道最佳數(shù)字基帶系統(tǒng)誤碼率公式中比特能量與系統(tǒng)參數(shù)的關系，并通過仿真驗證了所推結論的正確性。本文可作為數(shù)字基帶系統(tǒng)抗噪聲性能理論教學內(nèi)容的補充，也可用于此部分內(nèi)容的實踐課教學，有利于教學內(nèi)容與實際應用的更好結合。

[1]樊昌信，等.通信原理.北京:國防工業(yè)出版社，2009

[2]宋祖順，等.現(xiàn)代通信原理(第三版).北京:電子工業(yè)出版社，2010

[3]沈振元，等.通信系統(tǒng)原理(第二版).西安:西安電子科技大學出版社，2008

[4]黃葆華，等.通信原理基礎教程.北京:機械工業(yè)出版社，2008

[5]王興亮.通信系統(tǒng)原理教程.西安:西安電子科技大學出版社，2007

[6]周烔磐，龐沁華.通信原理.北京:北京郵電大學出版社，2005.